Marta

10 febrero 2020

Resuelve las siguientes integrales inmediatas:

 

1 \displaystyle \int \cos x\, \sqrt{\sin x}\, dx

 

\displaystyle \int \cos x\, \sqrt{\sin x}\, dx

 

1 Reescribimos el radical como potencia y hacemos y=\sin x y y'=\cos x

 

\displaystyle \int \cos x\, \sqrt{\sin x}\, dx=\int \left ( \sin x \right )^{ \frac{1}{2}}\cos x\, dx=\cfrac{\left ( \sin x \right )^{\frac{3}{2}}}{\cfrac{3}{2}}

 

=\cfrac{2}{3}\sin x\, \sqrt{\sin x}+C

 

2 \displaystyle \int \sec^{3}x\, \tan x\, dx

 

\displaystyle \int \sec^{3}x\, \tan x\, dx

 

1 Aplicamos un cambio de variable e integramos

 

y=\sec x              y'=\sec x\tan x

 

\displaystyle \int \sec^{2}x\,\sec x \tan x\, dx=\cfrac{1}{3}\sec^{3}x+C

3 \displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{x}\cos^{2}\sqrt{x}}

 

\displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{x}\cos^{2}\sqrt{x}}

 

1 Aplicamos y=\sqrt{x} y y'=\cfrac{1}{2\sqrt{x}} e integramos

 

\displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{x}\cos^{2}\sqrt{x}}=2\int \cfrac{\cfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}\cos^{2}\sqrt{x}}\, dx=2\tan\sqrt{x}+C

4 \displaystyle \int \cfrac{dx}{x(1+ \ln x)^{3}}

 

\displaystyle \int \cfrac{dx}{x(1+ \ln x)^{3}}

 

1 Reacomodamos la función y hacemos y=\ln x y y'=\cfrac{1}{x}

 

\displaystyle \int \cfrac{dx}{x( 1+\ln x)^{3}}=\int (1+\ln x)^{-3}\cdot\cfrac{1}{x}\, dx=-\cfrac{(1+\ln x)^{-2}}{2}

 

=\cfrac{1}{2(1+\ln x)^{2}}+C

5 \displaystyle\int \cfrac{\sin^{2}x}{\cos^{4}x}\, dx

 

\displaystyle\int \cfrac{\sin^{2}x}{\cos^{4}x}\, dx

 

1 Hacemos \cos^{4}x=\cos^{2}x\cdot \cos^{2}x y aplicamos identidades trigonométricas

 

\displaystyle\int \cfrac{\sin^{2}x}{\cos^{4}x}\, dx=\int \cfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}\cdot \cfrac{1}{\cos^{2}x}\, dx=\int \tan^{2}x\cdot \sec^{2}x\, dx

 

=\cfrac{1}{3}\tan^{3}x+C

6 \displaystyle\int \cfrac{\sin x+\tan x}{\cos x}\, dx

 

\displaystyle\int \cfrac{\sin x+\tan x}{\cos x}\, dx

 

1 Separamos la función en dos fracciones y aplicamos identidades trigonométricas

 

\displaystyle\int \cfrac{\sin x+\tan x}{\cos x}\, dx=\int \cfrac{\sin x}{\cos x}\, dx+\int \cfrac{\tan x}{\cos x}\, dx

 

\displaystyle=\int\cfrac{\sin x}{\cox x}\, dx+\int \tan x\cdot \sec x\, dx=-\ln(\cos x)+\sec x + \textup{C}

7 \displaystyle\int \cfrac{dx}{\sin x\cdot \cos x}

 

\displaystyle\int \cfrac{dx}{\sin x\cdot \cos x}

 

1 Utilizamos 1=\sin ^{2}x+\cos^{2}x en el numerador, separamos en 2 fracciones y aplicamos identidades trigonométricas

 

\displaystyle\int \cfrac{dx}{\sin x\cdot \cos x}=\int \cfrac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin x\cdot \cos x}\, dx=\int \frac{\sin x}{\cos x}\, dx+\int \cfrac{\cos x}{\sin x}\, dx

 

=-\ln(\cos x)+\ln(\sin x)=\ln(\tan x)+\textup{C}

8 \displaystyle\int \sqrt{x\sqrt{x}}\, dx

 

\displaystyle\int \sqrt{x\sqrt{x}}\, dx

 

1 Aplicamos propiedades de los radicales para dejar una sola x, convertimos a potencia e integramos

 

\displaystyle\int \sqrt{x\sqrt{x}}\, dx=\int \sqrt{\sqrt{x^{2}\cdot x}}\, dx=\int \sqrt[4]{x^{3}}\, dx=\int x^{\frac{3}{4}}\, dx=\cfrac{x^{\frac{3}{4}+1}}{\cfrac{3}{4}+1}

 

=\cfrac{x^{\frac{7}{4}}}{\cfrac{7}{4}}=\cfrac{4}{7}\,\sqrt[4]{x^{7}}=\cfrac{4}{7}\,x\sqrt[4]{x^{3}}+\textup{C}

9 \displaystyle\int \sqrt[3]{x\, \sqrt{\cfrac{2}{x}}}\, dx

 

\displaystyle\int \sqrt[3]{x\, \sqrt{\cfrac{2}{x}}}\, dx

 

1 Introducimos la x en la raíz más interna, simplificamos la expresión y pasamos la raíz a potencia para poder integrar.

 

\displaystyle\int \sqrt[3]{x\, \sqrt{\cfrac{2}{x}}}\, dx=\int \sqrt[3]{\sqrt{\cfrac{2x^{2}}{x}}}\, dx=\int \sqrt[6]{2x}\, dx=\sqrt[6]{2}\int x^{\frac{1}{6}}\, dx=\sqrt[6]{2}\cdot \cfrac{x^{\frac{1}{6}+1}}{\cfrac{1}{6}+1}

 

=\cfrac{6}{7}\sqrt[6]{2}x^{\frac{7}{6}}=\cfrac{6}{7}\sqrt[6]{2}\sqrt[6]{x^{7}}=\cfrac{6}{7}\, x\sqrt[6]{2x}+C

10 \displaystyle\int \cfrac{\cos x}{\sqrt{\sin^{3}x}}\, dx

 

\displaystyle\int \cfrac{\cos x}{\sqrt{\sin^{3}x}}\, dx

 

1 Reescribimos \sqrt[]{\sin^{3}x} como \sin ^{\frac{3}{2}}x y hacemos y=\sin x y y'=\cos x.

 

\displaystyle\int \cfrac{\cos x}{\sqrt{\sin^{3}x}}\, dx=\int \cos x\, \sin^{-\frac{3}{2}}x\, dx=\cfrac{\sin^{-\frac{1}{2}}x}{-\cfrac{1}{2}}=\cfrac{-2}{\sqrt{\sin x}}+\textup{C}

11 \displaystyle\int \cfrac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\, dx

 

\displaystyle\int \cfrac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\, dx

 

1 Tomamos el signo menos como factor común y hacemos y=\sin x + \cos x y y'=\cos x - \sin x.

 

\displaystyle\int \cfrac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\, dx=-\int \cfrac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}\, dx

 

=-\ln(\sin x+\cos x)+\textup{C}

 

12 \displaystyle\int \cfrac{dx}{(1+x^{2})\arctan x}

 

\displaystyle\int \cfrac{dx}{(1+x^{2})\arctan x}

 

1 Reacomodamos la expresión y hacemos y=\arctan x y y'=\cfrac{1}{1+x^{2}}

 

\displaystyle\int \cfrac{dx}{(1+x^{2})\arctan x}=\int \cfrac{\cfrac{1}{1+x^{2}}}{\arctan x}\, dx=\ln(\arctan x)+\textup{C}

13 \displaystyle\int \cfrac{\sec^{2}x}{1+\tan x}\, dx

 

\displaystyle\int \cfrac{\sec^{2}x}{1+\tan x}\, dx

 

1 Hacemos y=1+\tan x y y'=\sec^{2}x

 

\displaystyle\int \cfrac{\sec^{2}x}{1+\tan x}\, dx=\ln (\tan x)+\textup{C}

14 \displaystyle\int \cfrac{(2\ln x)^{2}}{4x}\, dx

 

\displaystyle\int \cfrac{(2\ln x)^{2}}{4x}\, dx

 

1 Realizamos la potencia, simplificamos y realizamos y=\ln x y y'=\cfrac{1}{x}

 

\displaystyle\int \cfrac{(2\ln x)^{2}}{4x}\, dx=\int \ln^{2}(x)\cdot \cfrac{1}{x}\, dx=\cfrac{1}{3}\ln^{3}x+\textup{C}

15 \displaystyle \int \cfrac{\ln x^{2}}{x}\, dx

 

 \displaystyle \int \cfrac{\ln x^{2}}{x}\, dx

 

1 Aplicamos la propiedad de logaritmos de potencia y hacemos y=\ln x y y'=\cfrac{1}{x}.

 

\displaystyle \int \cfrac{\ln x^{2}}{x}\, dx=\int 2\ln x\cdot \cfrac{1}{x}\, dx=\ln^{2}x+\textup{C}

16 \displaystyle\int \cfrac{dx}{\sqrt{x}\cos^{2}\sqrt{x}}

 

\displaystyle\int \cfrac{dx}{\sqrt{x}\cos^{2}\sqrt{x}}

 

1 Reacomodamos la función y hacemos y=\sqrt{x} y y'=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}

 

\displaystyle\int \cfrac{dx}{\sqrt{x}\cos^{2}\sqrt{x}}=2\int \cfrac{1}{\cos^{2}\sqrt{x}}\cdot \cfrac{1}{2\sqrt{x}}\, dx=2\tan\sqrt{x}+\textup{C}

17 \displaystyle\int \cfrac{4^{x}+5\cdot 16^{x}}{1+16^{x}}\, dx

 

\displaystyle\int \cfrac{4^{x}+5\cdot 16^{x}}{1+16^{x}}\, dx

 

1 Reacomodamos las potencias, separamos en dos fracciones para integrar cada una por separado e integramos

 

\displaystyle\int \cfrac{4^{x}+5\cdot 16^{x}}{1+16^{x}}\, dx=\int \cfrac{4^{x}}{1+(4^{x})^{2}}\, dx+5\int \cfrac{4^{2x}}{1+4^{2x}}\, dx

 

=\cfrac{1}{\ln 4}\, \ln(4^{x})+\cfrac{5}{2\ln 4}\, \ln(1+4^{2x})+\textup{C}

18 \displaystyle\int \cfrac{\tan\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\, dx

 

\displaystyle\int \cfrac{\tan\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\, dx

 

1 Usamos una identidad trigonométrica de cociente y hacemos y=\cos \sqrt{x} y y'=\sin \sqrt{x}\cdot \cfrac{1}{2\sqrt{x}}

 

\displaystyle\int \cfrac{\tan\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\, dx=-2\int \cfrac{-\sin\sqrt{x}}{\cos\sqrt{x}}\cdot \cfrac{1}{2\sqrt{x}}\, dx=-2\ln(\cos\sqrt{x})+\textup{C}

19 \displaystyle\int \cfrac{\sqrt{7+2\tan x}}{\cos^{2}x}\, dx

 

\displaystyle\int \cfrac{\sqrt{7+2\tan x}}{\cos^{2}x}\, dx

 

1 Reacomodamos la integral para hacer y=7+2\tan x y y'=2\sec^{2}x= \cfrac{2}{\cos^{2}x}

 

\displaystyle\int \cfrac{\sqrt{7+2\tan x}}{\cos^{2}x}\, dx=\cfrac{1}{2}\int (7+2\tan x)^{\frac{1}{2}}\cdot \cfrac{2}{\cos^{2}x}\, dx

 

=\cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{(7+2\tan x)^{\frac{3}{2}}}{\cfrac{3}{2}}=\cfrac{1}{3}\, (7+2\tan x)\sqrt{7+2\tan x}+\textup{C}

20 \displaystyle\int \cfrac{dx}{x\sqrt{1-\ln^{2}x}}

 

\displaystyle\int \cfrac{dx}{x\sqrt{1-\ln^{2}x}}

 

1 Hacemos y=\ln x y y'=\cfrac{1}{x}

 

\displaystyle\int \cfrac{dx}{x\sqrt{1-\ln^{2}x}}=\int \cfrac{\cfrac{1}{x}}{\sqrt{1-\ln^{2}x}}\, dx=\arcsin(\ln x)+\textup{C}

¿Necesitas un profesor de Matemáticas?

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,45/5 - 11 vote(s)
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗