Resuelve las siguientes integrales inmediatas:

 

1 \displaystyle \int \cos x\, \sqrt{\sin x}\, dx

 

\displaystyle \int \cos x\, \sqrt{\sin x}\, dx

 

1 Reescribimos el radical como potencia y hacemos y=\sin x y y'=\cos x

 

\displaystyle \int \cos x\, \sqrt{\sin x}\, dx=\int \left ( \sin x \right )^{ \frac{1}{2}}\cos x\, dx=\cfrac{\left ( \sin x \right )^{\frac{3}{2}}}{\cfrac{3}{2}}

 

=\cfrac{2}{3}\sin x\, \sqrt{\sin x}+C

 

2 \displaystyle \int \sec^{3}x\, \tan x\, dx

 

\displaystyle \int \sec^{3}x\, \tan x\, dx

 

1 Aplicamos un cambio de variable e integramos

 

y=\sec x              y'=\sec x\tan x

 

\displaystyle \int \sec^{2}x\,\sec x \tan x\, dx=\cfrac{1}{3}\sec^{3}x+C

3 \displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{x}\cos^{2}\sqrt{x}}

 

\displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{x}\cos^{2}\sqrt{x}}

 

1 Aplicamos y=\sqrt{x} y y'=\cfrac{1}{2\sqrt{x}} e integramos

 

\displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{x}\cos^{2}\sqrt{x}}=2\int \cfrac{\cfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}\cos^{2}\sqrt{x}}\, dx=2\tan\sqrt{x}+C

4 \displaystyle \int \cfrac{dx}{x(1+ \ln x)^{3}}

 

\displaystyle \int \cfrac{dx}{x(1+ \ln x)^{3}}

 

1 Reacomodamos la función y hacemos y=\ln x y y'=\cfrac{1}{x}

 

\displaystyle \int \cfrac{dx}{x( 1+\ln x)^{3}}=\int (1+\ln x)^{-3}\cdot\cfrac{1}{x}\, dx=-\cfrac{(1+\ln x)^{-2}}{2}

 

=\cfrac{1}{2(1+\ln x)^{2}}+C

5 \displaystyle\int \cfrac{\sin^{2}x}{\cos^{4}x}\, dx

 

\displaystyle\int \cfrac{\sin^{2}x}{\cos^{4}x}\, dx

 

1 Hacemos \cos^{4}x=\cos^{2}x\cdot \cos^{2}x y aplicamos identidades trigonométricas

 

\displaystyle\int \cfrac{\sin^{2}x}{\cos^{4}x}\, dx=\int \cfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}\cdot \cfrac{1}{\cos^{2}x}\, dx=\int \tan^{2}x\cdot \sec^{2}x\, dx

 

=\cfrac{1}{3}\tan^{3}x+C

6 \displaystyle\int \cfrac{\sin x+\tan x}{\cos x}\, dx

 

\displaystyle\int \cfrac{\sin x+\tan x}{\cos x}\, dx

 

1 Separamos la función en dos fracciones y aplicamos identidades trigonométricas

 

\displaystyle\int \cfrac{\sin x+\tan x}{\cos x}\, dx=\int \cfrac{\sin x}{\cos x}\, dx+\int \cfrac{\tan x}{\cos x}\, dx

 

\displaystyle=\int\cfrac{\sin x}{\cox x}\, dx+\int \tan x\cdot \sec x\, dx=-\ln(\cos x)+\sec x + \textup{C}

7 \displaystyle\int \cfrac{dx}{\sin x\cdot \cos x}

 

\displaystyle\int \cfrac{dx}{\sin x\cdot \cos x}

 

1 Utilizamos 1=\sin ^{2}x+\cos^{2}x en el numerador, separamos en 2 fracciones y aplicamos identidades trigonométricas

 

\displaystyle\int \cfrac{dx}{\sin x\cdot \cos x}=\int \cfrac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin x\cdot \cos x}\, dx=\int \frac{\sin x}{\cos x}\, dx+\int \cfrac{\cos x}{\sin x}\, dx

 

=-\ln(\cos x)+\ln(\sin x)=\ln(\tan x)+\textup{C}

8 \displaystyle\int \sqrt{x\sqrt{x}}\, dx

 

\displaystyle\int \sqrt{x\sqrt{x}}\, dx

 

1 Aplicamos propiedades de los radicales para dejar una sola x, convertimos a potencia e integramos

 

\displaystyle\int \sqrt{x\sqrt{x}}\, dx=\int \sqrt{\sqrt{x^{2}\cdot x}}\, dx=\int \sqrt[4]{x^{3}}\, dx=\int x^{\frac{3}{4}}\, dx=\cfrac{x^{\frac{3}{4}+1}}{\cfrac{3}{4}+1}

 

=\cfrac{x^{\frac{7}{4}}}{\cfrac{7}{4}}=\cfrac{4}{7}\,\sqrt[4]{x^{7}}=\cfrac{4}{7}\,x\sqrt[4]{x^{3}}+\textup{C}

9 \displaystyle\int \sqrt[3]{x\, \sqrt{\cfrac{2}{x}}}\, dx

 

\displaystyle\int \sqrt[3]{x\, \sqrt{\cfrac{2}{x}}}\, dx

 

1 Introducimos la x en la raíz más interna, simplificamos la expresión y pasamos la raíz a potencia para poder integrar.

 

\displaystyle\int \sqrt[3]{x\, \sqrt{\cfrac{2}{x}}}\, dx=\int \sqrt[3]{\sqrt{\cfrac{2x^{2}}{x}}}\, dx=\int \sqrt[6]{2x}\, dx=\sqrt[6]{2}\int x^{\frac{1}{6}}\, dx=\sqrt[6]{2}\cdot \cfrac{x^{\frac{1}{6}+1}}{\cfrac{1}{6}+1}

 

=\cfrac{6}{7}\sqrt[6]{2}x^{\frac{7}{6}}=\cfrac{6}{7}\sqrt[6]{2}\sqrt[6]{x^{7}}=\cfrac{6}{7}\, x\sqrt[6]{2x}+C

10 \displaystyle\int \cfrac{\cos x}{\sqrt{\sin^{3}x}}\, dx

 

\displaystyle\int \cfrac{\cos x}{\sqrt{\sin^{3}x}}\, dx

 

1 Reescribimos \sqrt[]{\sin^{3}x} como \sin ^{\frac{3}{2}}x y hacemos y=\sin x y y'=\cos x.

 

\displaystyle\int \cfrac{\cos x}{\sqrt{\sin^{3}x}}\, dx=\int \cos x\, \sin^{-\frac{3}{2}}x\, dx=\cfrac{\sin^{-\frac{1}{2}}x}{-\cfrac{1}{2}}=\cfrac{-2}{\sqrt{\sin x}}+\textup{C}

11 \displaystyle\int \cfrac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\, dx

 

\displaystyle\int \cfrac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\, dx

 

1 Tomamos el signo menos como factor común y hacemos y=\sin x + \cos x y y'=\cos x - \sin x.

 

\displaystyle\int \cfrac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\, dx=-\int \cfrac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}\, dx

 

=-\ln(\sin x+\cos x)+\textup{C}

 

12 \displaystyle\int \cfrac{dx}{(1+x^{2})\arctan x}

 

\displaystyle\int \cfrac{dx}{(1+x^{2})\arctan x}

 

1 Reacomodamos la expresión y hacemos y=\arctan x y y'=\cfrac{1}{1+x^{2}}

 

\displaystyle\int \cfrac{dx}{(1+x^{2})\arctan x}=\int \cfrac{\cfrac{1}{1+x^{2}}}{\arctan x}\, dx=\ln(\arctan x)+\textup{C}

13 \displaystyle\int \cfrac{\sec^{2}x}{1+\tan x}\, dx

 

\displaystyle\int \cfrac{\sec^{2}x}{1+\tan x}\, dx

 

1 Hacemos y=1+\tan x y y'=\sec^{2}x

 

\displaystyle\int \cfrac{\sec^{2}x}{1+\tan x}\, dx=\ln (\tan x)+\textup{C}

14 \displaystyle\int \cfrac{(2\ln x)^{2}}{4x}\, dx

 

\displaystyle\int \cfrac{(2\ln x)^{2}}{4x}\, dx

 

1 Realizamos la potencia, simplificamos y realizamos y=\ln x y y'=\cfrac{1}{x}

 

\displaystyle\int \cfrac{(2\ln x)^{2}}{4x}\, dx=\int \ln^{2}(x)\cdot \cfrac{1}{x}\, dx=\cfrac{1}{3}\ln^{3}x+\textup{C}

15 \displaystyle \int \cfrac{\ln x^{2}}{x}\, dx

 

 \displaystyle \int \cfrac{\ln x^{2}}{x}\, dx

 

1 Aplicamos la propiedad de logaritmos de potencia y hacemos y=\ln x y y'=\cfrac{1}{x}.

 

\displaystyle \int \cfrac{\ln x^{2}}{x}\, dx=\int 2\ln x\cdot \cfrac{1}{x}\, dx=\ln^{2}x+\textup{C}

16 \displaystyle\int \cfrac{dx}{\sqrt{x}\cos^{2}\sqrt{x}}

 

\displaystyle\int \cfrac{dx}{\sqrt{x}\cos^{2}\sqrt{x}}

 

1 Reacomodamos la función y hacemos y=\sqrt{x} y y'=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}

 

\displaystyle\int \cfrac{dx}{\sqrt{x}\cos^{2}\sqrt{x}}=2\int \cfrac{1}{\cos^{2}\sqrt{x}}\cdot \cfrac{1}{2\sqrt{x}}\, dx=2\tan\sqrt{x}+\textup{C}

17 \displaystyle\int \cfrac{4^{x}+5\cdot 16^{x}}{1+16^{x}}\, dx

 

\displaystyle\int \cfrac{4^{x}+5\cdot 16^{x}}{1+16^{x}}\, dx

 

1 Reacomodamos las potencias, separamos en dos fracciones para integrar cada una por separado e integramos

 

\displaystyle\int \cfrac{4^{x}+5\cdot 16^{x}}{1+16^{x}}\, dx=\int \cfrac{4^{x}}{1+(4^{x})^{2}}\, dx+5\int \cfrac{4^{2x}}{1+4^{2x}}\, dx

 

=\cfrac{1}{\ln 4}\, \ln(4^{x})+\cfrac{5}{2\ln 4}\, \ln(1+4^{2x})+\textup{C}

18 \displaystyle\int \cfrac{\tan\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\, dx

 

\displaystyle\int \cfrac{\tan\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\, dx

 

1 Usamos una identidad trigonométrica de cociente y hacemos y=\cos \sqrt{x} y y'=\sin \sqrt{x}\cdot \cfrac{1}{2\sqrt{x}}

 

\displaystyle\int \cfrac{\tan\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\, dx=-2\int \cfrac{-\sin\sqrt{x}}{\cos\sqrt{x}}\cdot \cfrac{1}{2\sqrt{x}}\, dx=-2\ln(\cos\sqrt{x})+\textup{C}

19 \displaystyle\int \cfrac{\sqrt{7+2\tan x}}{\cos^{2}x}\, dx

 

\displaystyle\int \cfrac{\sqrt{7+2\tan x}}{\cos^{2}x}\, dx

 

1 Reacomodamos la integral para hacer y=7+2\tan x y y'=2\sec^{2}x= \cfrac{2}{\cos^{2}x}

 

\displaystyle\int \cfrac{\sqrt{7+2\tan x}}{\cos^{2}x}\, dx=\cfrac{1}{2}\int (7+2\tan x)^{\frac{1}{2}}\cdot \cfrac{2}{\cos^{2}x}\, dx

 

=\cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{(7+2\tan x)^{\frac{3}{2}}}{\cfrac{3}{2}}=\cfrac{1}{3}\, (7+2\tan x)\sqrt{7+2\tan x}+\textup{C}

20 \displaystyle\int \cfrac{dx}{x\sqrt{1-\ln^{2}x}}

 

\displaystyle\int \cfrac{dx}{x\sqrt{1-\ln^{2}x}}

 

1 Hacemos y=\ln x y y'=\cfrac{1}{x}

 

\displaystyle\int \cfrac{dx}{x\sqrt{1-\ln^{2}x}}=\int \cfrac{\cfrac{1}{x}}{\sqrt{1-\ln^{2}x}}\, dx=\arcsin(\ln x)+\textup{C}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗