Name: 20 Ejercicios de integrales
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Los/as profes

Resuelve las siguientes integrales inmediatas:

1 $\displaystyle \int \cos x\, \sqrt{\sin x}\, dx$

$\displaystyle \int \cos x\, \sqrt{\sin x}\, dx$

1 Reescribimos el radical como potencia y hacemos $y=\sin x$ y $y'=\cos x$

$\displaystyle \int \cos x\, \sqrt{\sin x}\, dx=\int \left ( \sin x \right )^{ \frac{1}{2}}\cos x\, dx=\cfrac{\left ( \sin x \right )^{\frac{3}{2}}}{\cfrac{3}{2}}$

$=\cfrac{2}{3}\sin x\, \sqrt{\sin x}+C$

2 $\displaystyle \int \sec^{3}x\, \tan x\, dx$

$\displaystyle \int \sec^{3}x\, \tan x\, dx$

1 Aplicamos un cambio de variable e integramos

$y=\sec x$ $y'=\sec x\tan x$

$\displaystyle \int \sec^{2}x\,\sec x \tan x\, dx=\cfrac{1}{3}\sec^{3}x+C$

3 $\displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{x}\cos^{2}\sqrt{x}}$

$\displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{x}\cos^{2}\sqrt{x}}$

1 Aplicamos $y=\sqrt{x}$ y $y'=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}$ e integramos

$\displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{x}\cos^{2}\sqrt{x}}=2\int \cfrac{\cfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}\cos^{2}\sqrt{x}}\, dx=2\tan\sqrt{x}+C$

4 $\displaystyle \int \cfrac{dx}{x(1+ \ln x)^{3}}$

$\displaystyle \int \cfrac{dx}{x(1+ \ln x)^{3}}$

1 Reacomodamos la función y hacemos $y=\ln x$ y $y'=\cfrac{1}{x}$

$\displaystyle \int \cfrac{dx}{x( 1+\ln x)^{3}}=\int (1+\ln x)^{-3}\cdot\cfrac{1}{x}\, dx=-\cfrac{(1+\ln x)^{-2}}{2}$

$=\cfrac{1}{2(1+\ln x)^{2}}+C$

5 $\displaystyle\int \cfrac{\sin^{2}x}{\cos^{4}x}\, dx$

$\displaystyle\int \cfrac{\sin^{2}x}{\cos^{4}x}\, dx$

1 Hacemos $\cos^{4}x=\cos^{2}x\cdot \cos^{2}x$ y aplicamos identidades trigonométricas

$\displaystyle\int \cfrac{\sin^{2}x}{\cos^{4}x}\, dx=\int \cfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}\cdot \cfrac{1}{\cos^{2}x}\, dx=\int \tan^{2}x\cdot \sec^{2}x\, dx$

$=\cfrac{1}{3}\tan^{3}x+C$

6 $\displaystyle\int \cfrac{\sin x+\tan x}{\cos x}\, dx$

$\displaystyle\int \cfrac{\sin x+\tan x}{\cos x}\, dx$

1 Separamos la función en dos fracciones y aplicamos identidades trigonométricas

$\displaystyle\int \cfrac{\sin x+\tan x}{\cos x}\, dx=\int \cfrac{\sin x}{\cos x}\, dx+\int \cfrac{\tan x}{\cos x}\, dx$

$\displaystyle=\int\cfrac{\sin x}{\cox x}\, dx+\int \tan x\cdot \sec x\, dx=-\ln(\cos x)+\sec x + \textup{C}$

7 $\displaystyle\int \cfrac{dx}{\sin x\cdot \cos x}$

$\displaystyle\int \cfrac{dx}{\sin x\cdot \cos x}$

1 Utilizamos $1=\sin ^{2}x+\cos^{2}x$ en el numerador, separamos en 2 fracciones y aplicamos identidades trigonométricas

$\displaystyle\int \cfrac{dx}{\sin x\cdot \cos x}=\int \cfrac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin x\cdot \cos x}\, dx=\int \frac{\sin x}{\cos x}\, dx+\int \cfrac{\cos x}{\sin x}\, dx$

$=-\ln(\cos x)+\ln(\sin x)=\ln(\tan x)+\textup{C}$

8 $\displaystyle\int \sqrt{x\sqrt{x}}\, dx$

$\displaystyle\int \sqrt{x\sqrt{x}}\, dx$

1 Aplicamos propiedades de los radicales para dejar una sola $x$ , convertimos a potencia e integramos

$\displaystyle\int \sqrt{x\sqrt{x}}\, dx=\int \sqrt{\sqrt{x^{2}\cdot x}}\, dx=\int \sqrt[4]{x^{3}}\, dx=\int x^{\frac{3}{4}}\, dx=\cfrac{x^{\frac{3}{4}+1}}{\cfrac{3}{4}+1}$

$=\cfrac{x^{\frac{7}{4}}}{\cfrac{7}{4}}=\cfrac{4}{7}\,\sqrt[4]{x^{7}}=\cfrac{4}{7}\,x\sqrt[4]{x^{3}}+\textup{C}$

9 $\displaystyle\int \sqrt[3]{x\, \sqrt{\cfrac{2}{x}}}\, dx$

$\displaystyle\int \sqrt[3]{x\, \sqrt{\cfrac{2}{x}}}\, dx$

1 Introducimos la $x$ en la raíz más interna, simplificamos la expresión y pasamos la raíz a potencia para poder integrar.

$\displaystyle\int \sqrt[3]{x\, \sqrt{\cfrac{2}{x}}}\, dx=\int \sqrt[3]{\sqrt{\cfrac{2x^{2}}{x}}}\, dx=\int \sqrt[6]{2x}\, dx=\sqrt[6]{2}\int x^{\frac{1}{6}}\, dx=\sqrt[6]{2}\cdot \cfrac{x^{\frac{1}{6}+1}}{\cfrac{1}{6}+1}$

$=\cfrac{6}{7}\sqrt[6]{2}x^{\frac{7}{6}}=\cfrac{6}{7}\sqrt[6]{2}\sqrt[6]{x^{7}}=\cfrac{6}{7}\, x\sqrt[6]{2x}+C$

10 $\displaystyle\int \cfrac{\cos x}{\sqrt{\sin^{3}x}}\, dx$

$\displaystyle\int \cfrac{\cos x}{\sqrt{\sin^{3}x}}\, dx$

1 Reescribimos $\sqrt[]{\sin^{3}x}$ como $\sin ^{\frac{3}{2}}x$ y hacemos $y=\sin x$ y $y'=\cos x$ .

$\displaystyle\int \cfrac{\cos x}{\sqrt{\sin^{3}x}}\, dx=\int \cos x\, \sin^{-\frac{3}{2}}x\, dx=\cfrac{\sin^{-\frac{1}{2}}x}{-\cfrac{1}{2}}=\cfrac{-2}{\sqrt{\sin x}}+\textup{C}$

11 $\displaystyle\int \cfrac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\, dx$

$\displaystyle\int \cfrac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\, dx$

1 Tomamos el signo menos como factor común y hacemos $y=\sin x + \cos x$ y $y'=\cos x - \sin x$ .

$\displaystyle\int \cfrac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\, dx=-\int \cfrac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}\, dx$

$=-\ln(\sin x+\cos x)+\textup{C}$

12 $\displaystyle\int \cfrac{dx}{(1+x^{2})\arctan x}$

$\displaystyle\int \cfrac{dx}{(1+x^{2})\arctan x}$

1 Reacomodamos la expresión y hacemos $y=\arctan x$ y $y'=\cfrac{1}{1+x^{2}}$

$\displaystyle\int \cfrac{dx}{(1+x^{2})\arctan x}=\int \cfrac{\cfrac{1}{1+x^{2}}}{\arctan x}\, dx=\ln(\arctan x)+\textup{C}$

13 $\displaystyle\int \cfrac{\sec^{2}x}{1+\tan x}\, dx$

$\displaystyle\int \cfrac{\sec^{2}x}{1+\tan x}\, dx$

1 Hacemos $y=1+\tan x$ y $y'=\sec^{2}x$

$\displaystyle\int \cfrac{\sec^{2}x}{1+\tan x}\, dx=\ln (\tan x)+\textup{C}$

14 $\displaystyle\int \cfrac{(2\ln x)^{2}}{4x}\, dx$

$\displaystyle\int \cfrac{(2\ln x)^{2}}{4x}\, dx$

1 Realizamos la potencia, simplificamos y realizamos $y=\ln x$ y $y'=\cfrac{1}{x}$

$\displaystyle\int \cfrac{(2\ln x)^{2}}{4x}\, dx=\int \ln^{2}(x)\cdot \cfrac{1}{x}\, dx=\cfrac{1}{3}\ln^{3}x+\textup{C}$

15 $\displaystyle \int \cfrac{\ln x^{2}}{x}\, dx$

$\displaystyle \int \cfrac{\ln x^{2}}{x}\, dx$

1 Aplicamos la propiedad de logaritmos de potencia y hacemos $y=\ln x$ y $y'=\cfrac{1}{x}$ .

$\displaystyle \int \cfrac{\ln x^{2}}{x}\, dx=\int 2\ln x\cdot \cfrac{1}{x}\, dx=\ln^{2}x+\textup{C}$

16 $\displaystyle\int \cfrac{dx}{\sqrt{x}\cos^{2}\sqrt{x}}$

$\displaystyle\int \cfrac{dx}{\sqrt{x}\cos^{2}\sqrt{x}}$

1 Reacomodamos la función y hacemos $y=\sqrt{x}$ y $y'=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}$

$\displaystyle\int \cfrac{dx}{\sqrt{x}\cos^{2}\sqrt{x}}=2\int \cfrac{1}{\cos^{2}\sqrt{x}}\cdot \cfrac{1}{2\sqrt{x}}\, dx=2\tan\sqrt{x}+\textup{C}$

17 $\displaystyle\int \cfrac{4^{x}+5\cdot 16^{x}}{1+16^{x}}\, dx$

$\displaystyle\int \cfrac{4^{x}+5\cdot 16^{x}}{1+16^{x}}\, dx$

1 Reacomodamos las potencias, separamos en dos fracciones para integrar cada una por separado e integramos

$\displaystyle\int \cfrac{4^{x}+5\cdot 16^{x}}{1+16^{x}}\, dx=\int \cfrac{4^{x}}{1+(4^{x})^{2}}\, dx+5\int \cfrac{4^{2x}}{1+4^{2x}}\, dx$

$=\cfrac{1}{\ln 4}\, \ln(4^{x})+\cfrac{5}{2\ln 4}\, \ln(1+4^{2x})+\textup{C}$

18 $\displaystyle\int \cfrac{\tan\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\, dx$

$\displaystyle\int \cfrac{\tan\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\, dx$

1 Usamos una identidad trigonométrica de cociente y hacemos $y=\cos \sqrt{x}$ y $y'=\sin \sqrt{x}\cdot \cfrac{1}{2\sqrt{x}}$

$\displaystyle\int \cfrac{\tan\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\, dx=-2\int \cfrac{-\sin\sqrt{x}}{\cos\sqrt{x}}\cdot \cfrac{1}{2\sqrt{x}}\, dx=-2\ln(\cos\sqrt{x})+\textup{C}$