En el estudio de las integrales, existen ciertas expresiones cuya antiderivada no puede obtenerse mediante técnicas elementales como la sustitución simple o la integración por partes. En estos casos, es necesario recurrir a funciones especiales conocidas como funciones inversas trigonométricas.
Dos de las formas más comunes que aparecen en problemas de integración son aquellas que involucran las funciones arcoseno (arcsin) y arcotangente (arctan). Estas integrales surgen típicamente al enfrentar expresiones racionales que contienen raíces cuadradas de binomios del tipo 
o cocientes que involucran sumas cuadráticas como 
.
Para integrar esta función consideremos el siguiente cambio de variable, 
.
Derivando obtenemos que 
. Al reemplazar concluimos que
Al aplicar la formula de la integral trigonométrica inversa de la tangente, concluimos que
Primero expresamos el denominador del integrando de forma distinta
Ahora reemplazos en la integral y hacemos el cambio de variable 
, 
Al aplicar la formula de la integral trigonométrica inversa de la tangente, concluimos que
Para este caso dividimos la integral en dos partes que integraremos por separado.
Realizamos el cambio de variable 
, con derivada 
y obtenemos
Ahora usando la integral trigonométrica inversa del seno, calculamos la otra integral. Primero hacemos la sustitución 
, con derivada 
Finalmente el resultado es
Para este caso realizamos la sustitución 
, con derivada 
Al reemplazar en la integral se obtiene que
Lo primero que haremos es expresar el denominador de una manera diferente,
Ahora reemplazamos en la integral hacemos la sustitución 
, con derivada 
,
Realizamos la sustitución 
, con derivada 
, obtenemos
Primero hacemos una sustitución 
, con derivada 
.
Reemplazamos en la integral y utilizamos la formula para la integral inversa de la tangente,
Antes de integrar, hacemos la sustitución , con derivada .
Utilizamos la formula para la integral inversa del seno y obtenemos
Antes de integrar, hacemos la sustitución 
, con derivada 
.
Utilizamos la formula para la integral inversa del seno y obtenemos
Sustituimos 
, con 
,
Ahora usamos la integral inversa de la función seno
En este caso es facíl calcular la integral. Dado que solo debemos recordar la formula para la integral trigonométrica inversa de la tangente,
Al evaluar se obtiene
Primero factorizamos el denominador
Al reemplazar se obtiene que
Ahora hacemos la sustitución , con derivada 
, integrando se sigue que
Primero modificamos el denominador usando diferencia de cuadrados
Ahora reemplazamos en la integral
Ahora realizamos la sustitución 
, con derivada 
.
Primero hacemos una sustitución 
, con derivada 
.
Reemplazamos en la integral y utilizamos la formula para la integral inversa de la tangente,
Antes de integrar, hacemos la sustitución 
, con derivada 
.
Utilizamos la formula para la integral inversa del seno y obtenemos
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Veo un error en el ejercicio 9 a la hora de devolver la variable, recuerda que x^2+1 = u^2, no x^2+1 = u
Hola tienes razón, una disculpa y ya se corrigió.
Hay un error en el integral de seno de x multiplicado por coseno de x.
Haciendo sustitución queda u^2/2 lo que indica que es sen(x)^2/2.
Hola en tu razonamiento estas bien, pero hay una cuestión para resolver este ejercicio hay dos formas una como tu dices y otra usando identidades trigonométricas, puedes comprobar que sale el mismo resultado en la integral definida.
holaa, en el caso 4, en la última identidad están mal los signos, sería sen(a)sen(b)=1/2(cos(a-b)-cos(a+b))
Hola la manera en como presentas la fórmula esta bien, pero en la propiedad 4 que mencionas es lo mismo pero escrita de forma diferente, si multiplicas por el signo negativo queda igual a lo que tienes, si tienen alguna duda mencionalo.