1\int\cfrac{{\rm sec}^{2}x}{1+{\rm tg}^{2}x}dx

Para integrar esta función consideremos el siguiente cambio de variable, u(x)={\rm tg}x. Derivando obtenemos que u'(x)={\rm sec}^{2}x. Al reemplazar concluimos que

    $$\int\cfrac{{\rm sec}^{2}x}{1+{\rm tg}^{2}x}dx=\int\cfrac{u'(x)}{1+u(x)^{2}}dx.$$

Al aplicar la formula de la integral trigonométrica inversa de la tangente, concluimos que

    $$\int\cfrac{u'(x)}{1+u(x)^{2}x}dx={\rm arc tg}(u(x))+C$$

    $$={\rm arc tg}({\rm tg}x)+C=x+C.$$

2\int\cfrac{5}{x^{2}-4x+8}dx

Primero expresamos el denominador del integrando de forma distinta

    $$x^{2}-4x+8=x^{2}-4x+4+4=4+(x-2)^{2}.$$

Ahora reemplazos en la integral y hacemos el cambio de variable u(x)=\cfrac{x-2}{2}, u'(x)=\cfrac{1}{2}

    $$\int\cfrac{5}{x^{2}-4x+8}dx=\int\cfrac{5}{4+(x-2)^{2}}dx$$

    $$\cfrac{5}{2}\int\cfrac{1/2dx}{4+\left(\cfrac{x-2}{2}\right)^{2}}=$$

    $$\cfrac{5}{2}\int\cfrac{u'(x)}{1+u(x)^{2}x}dx.$$

Al aplicar la formula de la integral trigonométrica inversa de la tangente, concluimos que

    $$\int\cfrac{5}{x^{2}-4x+8}dx=\cfrac{5}{2}\int\cfrac{u'(x)}{1+u(x)^{2}x}dx$$

    $$=\cfrac{5}{2}{\rm arc tg}(u(x))+C=\cfrac{5}{2}{\rm arc tg}\left(\cfrac{x-2}{2}\right)+C.$$

3
\int\cfrac{2x+5}{\sqrt{9-x^{2}}}dx

Para este caso dividimos la integral en dos partes que integraremos por separado.

    $$\int\cfrac{2x+5}{\sqrt{9-x^{2}}}dx=\int\cfrac{2x}{\sqrt{9-x^{2}}}dx+\int\cfrac{5}{\sqrt{9-x^{2}}}dx.$$

Realizamos el cambio de variable v(x)=9-x^{2}, con derivada v'(x)=-2x y obtenemos

    $$\int\cfrac{2x}{\sqrt{9-x^{2}}}dx=-\int\cfrac{-2x}{\sqrt{9-x^{2}}}dx=-\int\cfrac{1}{\sqrt{v(x)}}dx$$

    $$=-\cfrac{v(x)^{1/2}}{-1/2}+C=\cfrac{(9-x^{2})^{1/2}}{1/2}+C=-2\sqrt{9-x^{2}}+C.$$

Ahora usando la integral trigonométrica inversa del seno, calculamos la otra integral. Primero hacemos la sustitución u(x)=x/3, con derivada u'(x)=1/3.

    $$\int\cfrac{5}{\sqrt{9-x^{2}}}dx=\cfrac{5}{3}\int\cfrac{1}{\sqrt{1-(x/3)^{2}}}dx$$

    $$=\cfrac{5}{3}(3)\int\cfrac{1/3}{\sqrt{1-(x/3)^{2}}}dx=5\int\cfrac{1}{\sqrt{1-u(x)}}dx$$

    $$5\int\cfrac{1}{\sqrt{1-u(x)}}dx=5{\rm arc sen}(x/3)+C.$$

Finalmente el resultado es

    $$\int\cfrac{2x+5}{\sqrt{9-x^{2}}}dx=-2\sqrt{9-x^{2}}+5{\rm arc sen}(x/3)+C.$$

4
\int\cfrac{2^{x}}{\sqrt{1-4^{x}}}dx

Para este caso realizamos la sustitución u(x)=2^{x}, con derivada u'(x)=2^{x}{\rm ln}2. Al reemplazar en la integral se obtiene que

    $$\int\cfrac{2^{x}}{\sqrt{1-4^{x}}}dx=\cfrac{1}{{\rm ln}2}\int\cfrac{2^{x}{\rm ln}2}{\sqrt{1-2^{2x}}}dx$$

    $$=\cfrac{1}{{\rm ln}2}\int\cfrac{2^{x}{\rm ln}2}{\sqrt{1-2^{2x}}}dx=\cfrac{1}{{\rm ln}2}\int\cfrac{1}{\sqrt{1-u(x)^{2}}}dx$$

    $$=\cfrac{1}{{\rm ln}2}{\rm arcsen}(u(x))+C=\cfrac{1}{{\rm ln}2}{\rm arcsen}(2^{x})+C.$$

5\int\cfrac{x}{\sqrt{9-2x^{4}}}dx

Lo primero que haremos es expresar el denominador de una manera diferente,

    $$9-2x^{4}=9\left(1-\left(\cfrac{\sqrt{2}x^{2}}{3}\right)^{2}\right).$$

Ahora reemplazamos en la integral hacemos la sustitución u(x)=\cfrac{\sqrt{2}x^{2}}{3}, con derivada
u'(x)=\cfrac{2\sqrt{2}x}{3},

    $$\int\cfrac{x}{\sqrt{9-2x^{4}}}dx=\int\cfrac{x}{\sqrt{9\left(1-\left(\cfrac{\sqrt{2}x^{2}}{3}\right)^{2}\right)}}dx$$

    $$=\cfrac{1}{3}\cfrac{3}{2\sqrt{2}}\int\cfrac{\cfrac{2\sqrt{2}}{3}x}{\sqrt{1-\left(\cfrac{\sqrt{2}x^{2}}{3}\right)^{2}}}dx$$

    $$=\cfrac{1}{3}\cfrac{3}{2\sqrt{2}}\int\cfrac{1}{\sqrt{1-u(x)^{2}}}dx$$

    $$=\cfrac{1}{2\sqrt{2}}{\rm arcsen}(u(x))+C=\cfrac{1}{2\sqrt{2}}{\rm arcsen}\left(\cfrac{\sqrt{2}x^{2}}{3}\right)+C.$$

6\int\cfrac{dx}{x\sqrt{1-{\rm ln}^{2}x}}dx

Realizamos la sustitución u(x)={\rm ln}x, con derivada u'(x)=\cfrac{1}{x}, obtenemos

    $$\int\cfrac{dx}{x\sqrt{1-{\rm ln}^{2}x}}dx=\int\cfrac{\cfrac{1}{x}}{\sqrt{1-{\rm ln}^{2}x}}dx$$

    $$=\int\cfrac{dx}{\sqrt{1-u(x)^{2}}}={\rm arcsen}(u(x))+C$$

    $$={\rm arcsen}({\rm ln}x)+C.$$

7\int\cfrac{dx}{1+4x^{2}}

Primero hacemos una sustitución u(x)=2x, con derivada u'(x)=2. Reemplazamos en la integral y utilizamos la formula para la integral inversa de la tangente,

    $$\int\cfrac{dx}{1+4x^{2}}=\cfrac{1}{2}\int\cfrac{2dx}{1+(2x)^{2}}$$

    $$=\cfrac{1}{2}\int\cfrac{dx}{1+u(x)^{2}}={\rm arctg}(u(x))+C={\rm arctg}(2x)+C.$$

8\int\cfrac{5}{3\sqrt{4x^{2}-1}}dx

Antes de integrar, hacemos la sustitución u(x)=2x, con derivada u'(x)=2. Utilizamos la formula para la integral inversa del seno y obtenemos

    $$\int\cfrac{5}{3\sqrt{4x^{2}-1}}dx=\cfrac{5}{3}\cfrac{1}{2}\int\cfrac{2}{\sqrt{(2x)^{2}-1}}dx$$

    $$=\cfrac{5}{6}\int\cfrac{1}{\sqrt{u(x)^{2}-1}}dx=\cfrac{5}{6}{\rm arcsen}(u(x))+C$$

    $$=\cfrac{5}{6}{\rm arcsen}(2x)+C.$$

9\int\cfrac{{\rm e}^{x}}{\sqrt{1-{\rm e}^{2x}}}dx

Antes de integrar, hacemos la sustitución u(x)={\rm e}^{x}, con derivada u'(x)={\rm e}^{x}. Utilizamos la formula para la integral inversa del seno y obtenemos

    $$\int\cfrac{{\rm e}^{x}}{\sqrt{1-{\rm e}^{2x}}}dx=\int\cfrac{dx}{\sqrt{1-u(x)^{2}}}$$

    $$={\rm arcsen}(u(x))+C={\rm arcsen}({\rm e}^{x})+C.$$

10\int\cfrac{dx}{\sqrt{4-9x^{2}}}

 

Sustituimos u(x)=3x, con u'(x)=3,

    $$\int\cfrac{dx}{\sqrt{4-9x^{2}}}=\cfrac{1}{3}\int\cfrac{dx}{\sqrt{4-(u(x))^{2}}}$$

    $$=\int\cfrac{dx}{\sqrt{4-(u(x))^{2}}}.$$

Ahora usamos la integral inversa de la función seno

    $$\cfrac{1}{3}\int\cfrac{dx}{\sqrt{4-(u(x))^{2}}}$$

    $$=\cfrac{1}{3}{\rm arcsen}\left(\cfrac{u(x)}{2}\right)+C$$

    $$=\cfrac{1}{3}{\rm arcsen}\left(\cfrac{3x}{2}\right)+C.$$

11\int^{\sqrt{3}}_{\sqrt{3}/3}\cfrac{dx}{1+x^{2}}

En este caso es facíl calcular la integral. Dado que solo debemos recordar la formula para la integral trigonométrica inversa de la tangente,

    $$\int^{\sqrt{3}}_{\sqrt{3}/3}\cfrac{dx}{1+x^{2}}={\rm arctg}(x)|^{\sqrt{3}}_{\sqrt{3}/3}.$$

Al evaluar se obtiene

    $${\rm arctg}(x)|^{\sqrt{3}}_{\sqrt{3}/3}={\rm arctg}(\sqrt{3})-{\rm arctg}(\sqrt{3}/3)=\cfrac{\pi}{6}.$$

12\int\cfrac{dx}{9+x^{2}}

Primero factorizamos el denominador

    $$9+x^{2}=9(1+\left(\cfrac{x}{3}\right)^{2}).$$

Al reemplazar se obtiene que

    $$\int\cfrac{dx}{9+x^{2}}=\int\cfrac{dx}{9(1+\left(\cfrac{x}{3}\right)^{2})}.$$

Ahora hacemos la sustitución u(x)=x/3, con derivada u'(x)=\cfrac{1}{3}, integrando se sigue que

    $$\int\cfrac{dx}{9(1+\left(\cfrac{x}{3}\right)^{2})}=\cfrac{1}{3}\int\cfrac{dx}{3(1+\left(\cfrac{x}{3}\right)^{2})}$$

    $$=\cfrac{1}{3}\int\cfrac{dx}{1+u(x)^{2}}=\cfrac{1}{3}{\rm tg}u\left(x\right)+C$$

    $$=\cfrac{1}{3}{\rm tg}\left(\cfrac{x}{3}\right)+C.$$

13\int\cfrac{5}{2x^{2}+4x+9}dx

Primero modificamos el denominador usando diferencia de cuadrados

    $$2x^{2}+4x+9=2(x^{2}+2x+\cfrac{9}{2})=2((x^{2}+2x+1)-1+\cfrac{9}{2})$$

    $$=2((x+1)^{2}+\cfrac{7}{2})$$

Ahora reemplazamos en la integral

    $$\int\cfrac{5}{2x^{2}+4x+9}dx=\cfrac{5}{2}\int\cfrac{dx}{(x+1)^{2}+\cfrac{7}{2}}.$$

Ahora realizamos la sustitución u(x)=x+1, con derivada u'(x)=1.

    $$\cfrac{5}{2}\int\cfrac{dx}{(x+1)^{2}+\cfrac{7}{2}}=\cfrac{5}{2}\int\cfrac{dx}{u(x)^{2}+\sqrt{\cfrac{7}{2}}^{2}}$$

    $$=\sqrt{\cfrac{2}{7}}\cdot\cfrac{5}{2}{\rm arctg}\left(\cfrac{u(x)}{\sqrt{\cfrac{7}{2}}}\right)+C$$

    $$=\cfrac{5\sqrt{14}}{14}{\rm arctg}\left(\cfrac{\sqrt{14}(x+1)}{7}\right)+C$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗