En este artículo repasaremos brevemente el procedimiento para integrar por medio del método de sustitución y, además, resolveremos ejercicios utilizando este método.
Introducción al método de sustitución
Antes de entrar a la integración por método de sustición tenemos que volver un poco atrás y recordar la derivación por el método de regla de cadena. Recordemos que la derivación por regla de cadena se aplica cuando buscamos derivar una composición de funciones.
Si tenemos una función compuesta de la forma
entonces su derivada, respecto a 
está dada por
o en notación con diferenciales
entonces, siguiente el proceso inverso, tenemos que la antiderivada de 
respecto a está dada por
esto quiere decir que
Pasos del método de sustitución
Dada la función 
, el método consiste en identificar una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable 
, de modo que obtengamos una integral más sencilla.
1 Primero intentamos definir como una composición de la forma 
.
2 Consigamos el diferencial de . Notemos que al diferenciar 
respecto a tenemos que
3 Escribamos la integral en términos de
4 Si la integral sobre 
es más sencilla, procemos a integrar
5 Regresamos a la variable inicial
Ejercicios
Resuelve la siguiente integral
Como indican los pasos, hagamos cambio de variable
notemos que de aquí también tenemos que 
. Sustituyamos en la integral
Notemos que la integral
es más sencilla de integrar respecto a , integremos
Regresemos a nuestra variable original
Resuelve la siguiente integral
Como indican los pasos, hagamos cambio de variable
diferenciando obtenemos
Sustituyamos en la integral obtenemos
Notemos que la integral
es más sencilla de integrar respecto a , por lo tanto integramos
Regresemos a nuestra variable original
Resuelve la siguiente integral
Como indica los pasos, hagamos cambio de variable
Encontremos los diferenciales, para esto aplicaremos logaritmo primero y luego diferenciamos
Sustituyamos en la integral
Notemos que la integral
es más sencilla de integrar respecto a , integremos
Regresemos a nuestra variable original
Resuelve la siguiente integral
Como indica los pasos, hagamos cambio de variable
Encontremos los diferenciales, para esto aplicaremos logaritmo primero y luego diferenciamos
Notemos que la última igualdad se da porque 
. Sustituyamos en la integral
Aplicando fracciones parciales, tenemos que
de donde se sigue el siguiente sistema de ecuaciones
cuya solución es
así nuestra integral en términos de sería
Notemos que la integral
es más sencilla de integrar respecto a , integremos
Regresemos a nuestra variable original
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Podrían brindarme información sobre el autor y la fecha de publicación del articulo? Estoy realizando una monografía en matemáticas y esta agina me ha servido mucho pero necesito esa información para referenciar correctamente la información.
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Veo un error en el ejercicio 9 a la hora de devolver la variable, recuerda que x^2+1 = u^2, no x^2+1 = u
Hola tienes razón, una disculpa y ya se corrigió.
Hay un error en el integral de seno de x multiplicado por coseno de x.
Haciendo sustitución queda u^2/2 lo que indica que es sen(x)^2/2.
Hola en tu razonamiento estas bien, pero hay una cuestión para resolver este ejercicio hay dos formas una como tu dices y otra usando identidades trigonométricas, puedes comprobar que sale el mismo resultado en la integral definida.
holaa, en el caso 4, en la última identidad están mal los signos, sería sen(a)sen(b)=1/2(cos(a-b)-cos(a+b))
Hola la manera en como presentas la fórmula esta bien, pero en la propiedad 4 que mencionas es lo mismo pero escrita de forma diferente, si multiplicas por el signo negativo queda igual a lo que tienes, si tienen alguna duda mencionalo.