En este artículo repasaremos brevemente el procedimiento para integrar por medio del método de sustitución y, además, resolveremos ejercicios utilizando este método.

 

Introducción al método de sustitución

 

Antes de entrar a la integración por método de sustición tenemos que volver un poco atrás y recordar la derivación por el método de regla de cadena. Recordemos que la derivación por regla de cadena se aplica cuando buscamos derivar una composición de funciones.

 

Si tenemos una función compuesta de la forma

 

\displaystyle F(x) = f(u(x))

 

entonces su derivada, respecto a x está dada por

 

\displaystyle F'(x) = f'(u)u'(x)

 

o en notación con diferenciales

 

\displaystyle \frac{dF}{dx} = \frac{df}{du}\frac{du}{dx}

 

entonces, siguiente el proceso inverso, tenemos que la antiderivada de F'(x) respecto a x está dada por

 

\displaystyle \int{f'(u)u'(x)dx} = \int{F'(x)dx} = F(x) + C

 

esto quiere decir que

 

\displaystyle \int{f'(u)u'(x)dx} = F(x) + C

 

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Pasos del método de sustitución

 

Dada la función f(x), el método consiste en identificar una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable u, de modo que obtengamos una integral más sencilla.

 

1 Primero intentamos definir f(x) como una composición de la forma f(x) = g(u(x)).

 

2 Consigamos el diferencial de u. Notemos que al diferenciar u(x) respecto a x tenemos que

 

\displaystyle u'(x) = \frac{du}{dx} \qquad \Rightarrow \qquad du = u'dx

 

3 Escribamos la integral en términos de u

 

\displaystyle \int{f(x)u'dx} = \int{g(u(x))u'dx} = \int{g(u)du}

 

4 Si la integral sobre g(u) es más sencilla, procemos a integrar

 

\displaystyle \int{g(u)du} = G(u) + C

 

5 Regresamos a la variable inicial

 

\displaystyle G(u) + C = G(u(x)) + C = F(x) + C

 

Ejercicios

 

1 Resuelve la siguiente integral

 

\displaystyle \int{x\sqrt{1 + x}dx}

 

Como indican los pasos, hagamos cambio de variable

 

\displaystyle x + 1 = u \qquad \Rightarrow \qquad dx = du

 

notemos que de aquí también tenemos que x = u - 1. Sustituyamos en la integral

 

    \begin{align*} \int{x\sqrt{1 + x}dx} &= \int{(u - 1)\sqrt{u}du}\\&= \int{(u\sqrt{u} - \sqrt{u})du}\\&= \int{(\sqrt{u^3} - \sqrt{u})du}\\&= \int{\left(u^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{1}{2}}\right)du}\\\end{align*}

 

Notemos que la integral

 

\displaystyle \int{\left(u^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{1}{2}}\right)du}

 

es más sencilla de integrar respecto a u, integremos

 

\displaystyle \int{\left(u^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{1}{2}}\right)du} = \frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C.

 

Regresemos a nuestra variable original

 

\displaystyle \int{x\sqrt{1 + x}dx} = \frac{2}{5}(x + 1)^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3}(x + 1)^{\frac{3}{2}} + C.

 

2 Resuelve la siguiente integral

 

\displaystyle \int{\frac{x^3 \sqrt{1 + x^4}}{\sqrt{1 + x^4} + 1}dx}

 

Como indican los pasos, hagamos cambio de variable

 

\displaystyle \sqrt{1 + x^4} = u

 

diferenciando obtenemos

 

    \begin{align*} du &= \frac{1}{2\sqrt{1 + x^4}}4x^3 dx\\du &= \frac{1}{2u}4x^3 dx\\du &= \frac{1}{u}2x^3 dx\\udu &= 2x^3dx\\\frac{udu}{2} &= x^3dx\end{align*}

 

Sustituyamos en la integral obtenemos

 

    \begin{align*} \int{\frac{x^3 \sqrt{1 + x^4}}{\sqrt{1 + x^4} + 1}dx} &=\int{\frac{ \sqrt{1 + x^4}}{\sqrt{1 + x^4} + 1}x^3dx}\\&= \int{\frac{u}{u + 1}\frac{udu}{2}}\\&= \frac{1}{2}\int{\frac{u^2}{u + 1}du}\\&= \frac{1}{2}\int{\left(u - 1 + \frac{1}{u + 1} \right)du}\\\end{align*}

 

Notemos que la integral

 

\displaystyle \frac{1}{2}\int{\left(u - 1 + \frac{1}{u + 1} \right)du}

 

es más sencilla de integrar respecto a u, por lo tanto integramos

 

    \begin{align*} \frac{1}{2}\int{\left(u - 1 + \frac{1}{u + 1} \right)du} &= \frac{1}{2}\left(\frac{u^2}{2} - u + \ln{(u + 1)} \right) + C\\&= \frac{u^2}{4} - \frac{u}{2} + \frac{1}{2}\ln{(u + 1)}  + C\\\end{align*}

 

Regresemos a nuestra variable original

 

    \begin{align*} \int{\frac{x^3 \sqrt{1 + x^4}}{\sqrt{1 + x^4} + 1}dx} &= \frac{1 + x^4}{4} - \frac{\sqrt{1 + x^4}}{2}\\&+ \frac{1}{2}\ln{(\sqrt{1 + x^4} + 1)}  + C\\\end{align*}

 

3 Resuelve la siguiente integral

 

\displaystyle \int{\frac{3^x}{1 + 3^x} dx}

 

Como indica los pasos, hagamos cambio de variable

 

\displaystyle 3^x = u

 

Encontremos los diferenciales, para esto aplicaremos logaritmo primero y luego diferenciamos

 

    \begin{align*} \ln{3^x} &= \ln{u}\\x\ln{3} &= \ln{u}\\\ln{3}dx &= \frac{du}{u}\\u dx &= \frac{du}{\ln{3}}\\3^x dx &= \frac{du}{\ln{3}}\\\end{align*}

 

Sustituyamos en la integral

 

    \begin{align*} \int{\frac{3^x}{1 + 3^x} dx} &= \int{\frac{1}{1 + 3^x} 3^x dx}\\&= \int{\frac{1}{1 + u} \frac{du}{\ln{3}}}\\&= \frac{1}{\ln{3}}\int{\frac{1}{1 + u}du}\\\end{align*}

 

Notemos que la integral

 

\displaystyle \frac{1}{\ln{3}}\int{\frac{1}{1 + u}du}

 

es más sencilla de integrar respecto a u, integremos

 

\displaystyle \frac{1}{\ln{3}}\int{\frac{1}{1 + u}du} = \frac{1}{\ln{3}} \ln{(u + 1)} + C.

 

Regresemos a nuestra variable original

 

\displaystyle \int{\frac{3^x}{1 + 3^x} dx} = \frac{\ln{(3^x + 1)}}{\ln{3}}  + C.

 

4 Resuelve la siguiente integral

 

\displaystyle \int{\frac{1}{\sqrt{1 + e^x}} dx}

 

Como indica los pasos, hagamos cambio de variable

 

\displaystyle u = \sqrt{1 + e^x}

 

Encontremos los diferenciales, para esto aplicaremos logaritmo primero y luego diferenciamos

 

    \begin{align*} du &= \frac{1}{2\sqrt{1 + e^x}}e^xdx\\\frac{2\sqrt{1 + e^x}}{e^x}du &= dx\\\frac{2u}{u^2 - 1}du &= dx\\\end{align*}

 

Notemos que la última igualdad se da porque u^2 = 1 + e^x. Sustituyamos en la integral

 

    \begin{align*} \int{\frac{1}{\sqrt{1 + e^x}} dx} &= \int{\frac{1}{u} \frac{2u}{u^2 - 1}du}\\&= \int{\frac{2}{u^2 - 1}du}\\&= \int{\frac{2}{(u - 1)(u + 1)}du}\\&= 2\int{\frac{1}{(u - 1)(u + 1)}du}\\\end{align*}

 

Aplicando fracciones parciales, tenemos que

 

    \begin{align*} \frac{1}{(u - 1)(u + 1)} &= \frac{A}{u - 1} + \frac{B}{u + 1}\\&= \frac{A(u + 1)}{(u - 1)(u + 1)} + \frac{B(u - 1)}{(u + 1)(u - 1)}\\&= \frac{A(u + 1) + B(u - 1)}{(u - 1)(u + 1)}\\&= \frac{(A + B)u + (A - B)}{(u - 1)(u + 1)}\\\end{align*}

 

de donde se sigue el siguiente sistema de ecuaciones

 

    \begin{align*} A + B &= 0\\A - B &= 1\end{align*}

 

cuya solución es

 

    \begin{align*} A &= \frac{1}{2}\\B &= -\frac{1}{2}\\\end{align*}

 

así nuestra integral en términos de u sería

 

\displaystyle 2\int{ \left(\frac{1}{2(u - 1)} - \frac{1}{2(u + 1)} \right)du} = \int{ \left(\frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u + 1} \right)du}

 

Notemos que la integral

 

\displaystyle \int{ \left(\frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u + 1} \right)du}

 

es más sencilla de integrar respecto a u, integremos

 

    \begin{align*} \int{ \left(\frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u + 1} \right)du} &= \ln{(u - 1)} - \ln{(u + 1)} + C\\&= \ln{\frac{u - 1}{u + 1}} + C\\\end{align*}

 

Regresemos a nuestra variable original

 

\displaystyle \int{\frac{1}{\sqrt{1 + e^x}} dx} = \ln{\frac{\sqrt{1 + e^x} - 1}{\sqrt{1 + e^x} + 1}} + C

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗