El estudio de las integrales que involucran funciones trigonométricas, especialmente seno y coseno, es una parte fundamental del cálculo integral. Estas funciones aparecen con frecuencia en problemas de física, ingeniería y matemáticas aplicadas, por lo que dominar su integración es esencial para el desarrollo académico y profesional en estas áreas.
En este artículo, se presentan ejercicios resueltos paso a paso enfocados en integrales que contienen funciones seno y coseno, en diversas combinaciones y formas. Se abordan métodos como la sustitución trigonométrica, identidades trigonométricas, y técnicas de integración directa, con el fin de proporcionarte una visión clara de cuándo y cómo aplicar cada uno.
Resolver las siguientes integrales trigonométricas tipo seno y coseno:
Recordemos primeramente la siguiente igualdad
Ahora bien, notemos que si consideramos
entonces
Utilizando lo anterior y la igualdad (1) obtenemos que
por tanto
Las siguientes identidades trigonométricas nos serán de utilidad en la resolución de este ejercicio
Ahora bien,
Recordemos que
la cual nos será de utilidad más adelante. Entonces,
Dado que el valor de la primera integral es conocido
continuaremos resolviendo la segunda integral paso a paso utilizando integración por partes.
Consideremos
entonces
despejando obtenemos
Por lo tanto
Para la resolución de esta integral, recordemos la identidad
Entonces,
Similarmente al ejercicio anterior, tenemos que la primera integral es inmediata y la segunda la podemos calcular utilizando integración por partes.
Considerando
obtenemos
Por lo tanto
Consideremos que de la identidad
Entonces, sustituyendo (2) en la integral que queremos resolver, obtenemos
A continuación, resolveremos la integral utilizando sustitución.
Consideraremos
y obtenemos
Sustituyendo la identidad
la integral que queremos resolver toma la forma
Nuevamente resolveremos la integral utilizando sustitución. Consideramos
y obtenemos
Para este ejercicio las siguientes identidades serán muy importantes, pues las utilizaremos varias veces
Tenemos
Similarmente a ejercicios anteriores utilizamos sustitución para resolver la ultima integral y finalmente obtenemos que
Consideremos que de la identidad
Entonces la integral que queremos resolver toma la forma
Para la segunda integral utilizamos sustitución considerando 
entonces llegamos a que
Consideremos que de la identidad
Entonces la integral que queremos resolver toma la forma
Para la segunda integral utilizamos sustitución considerando 
entonces llegamos a que
Consideremos que de la identidad
Sustituyendo esta última igualdad en la integral que queremos resolver, obtenemos que
Del ejercicio 9 conocemos el resultado de la primera integral, mientras que la segunda y tercera se obtienen integrando por sustitución utilizando 
, entonces
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Podrían brindarme información sobre el autor y la fecha de publicación del articulo? Estoy realizando una monografía en matemáticas y esta agina me ha servido mucho pero necesito esa información para referenciar correctamente la información.
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«Superprof. Ejercicios resueltos de integrales por sustitución. [En línea] Disponible en: [URL del artículo].»
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Veo un error en el ejercicio 9 a la hora de devolver la variable, recuerda que x^2+1 = u^2, no x^2+1 = u
Hola tienes razón, una disculpa y ya se corrigió.
Hay un error en el integral de seno de x multiplicado por coseno de x.
Haciendo sustitución queda u^2/2 lo que indica que es sen(x)^2/2.
Hola en tu razonamiento estas bien, pero hay una cuestión para resolver este ejercicio hay dos formas una como tu dices y otra usando identidades trigonométricas, puedes comprobar que sale el mismo resultado en la integral definida.
holaa, en el caso 4, en la última identidad están mal los signos, sería sen(a)sen(b)=1/2(cos(a-b)-cos(a+b))
Hola la manera en como presentas la fórmula esta bien, pero en la propiedad 4 que mencionas es lo mismo pero escrita de forma diferente, si multiplicas por el signo negativo queda igual a lo que tienes, si tienen alguna duda mencionalo.