Resolver las siguientes integrales trigonométricas tipo seno y coseno:

1 \int \sin (3x) \cos (2x + 1) dx

Recordemos primeramente la siguiente igualdad

(1)   \begin{equation*} \sin \alpha + \cos \beta = 2 \sin (\frac{\alpha + \beta}{2})\cos(\frac{\alpha - \beta}{2}). \end{equation*}

Ahora bien, notemos que si consideramos

    \[ \alpha = 5x + 1, \quad \quad \beta = x- 1 \]

entonces

    \[ \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{(5x+1)+(x-1)}{2} = \frac{6x}{2} = 3x, \]

    \[ \frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{(5x+1)-(x-1)}{2} = \frac{4x+2}{2} = 2x+1. \]

Utilizando lo anterior y la igualdad (1) obtenemos que

    \[ \sin (5x+1) + \sin(x-1) = 2\sen (3x) \cos(2x+1) \]

por tanto

    \begin{align*} \int \sin (3x) \cos (2x + 1) dx &= \frac{1}{2} \int \sin (5x+1) + \sin(x-1) dx, \\ &= \frac{1}{2} \left[\int \sin (5x+1) dx + \int \sin(x-1) dx,\right] \\ &= \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{5} \cos(5x+1) - \cos(x-1)\right] + C,\\ &= -\frac{1}{10}\cos(5x+1) - \frac{1}{2}\cos(x-1) + C. \end{align*}

2 \int \frac{dx}{\sin^2 x \cos^2 x}

Las siguientes identidades trigonométricas nos serán de utilidad en la resolución de este ejercicio

    \begin{equation*} \sin^2 x + \cos^2 x = 1, \quad \quad \cos x \sec x = 1, \quad \quad \sin x \csc x = 1. \end{equation*}

Ahora bien,

    \begin{align*} \int \frac{dx}{\sin^2 x \cos^2 x} &= \int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x }{\sin^2 x \cos^2 x} dx,\\ &= \int \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx + \int \frac{\cos^2 x }{\sin^2 x \cos^2 x} dx,\\ &= \int \frac{dx}{\cos^2 x} + \int \frac{dx}{\sin^2 x}, \\ &= \int \sec^2 x dx + \int \csc^2 x dx, \\ &= \tan x - \cot x + C. \end{align*}

3 \int \frac{1-\cos x}{1 + \cos x}dx

Recordemos que

    \begin{equation*} \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \end{equation*}

la cual nos será de utilidad más adelante. Entonces,

    \begin{align*} \int \frac{1-\cos x}{1 + \cos x}dx &= \int \frac{1-\cos x}{1 + \cos x} \left[\frac{1-\cos x}{1-\cos x}\right] dx , \\ &= \int \frac{(1-\cos x)^2}{1 - \cos^2 x} dx, \\ &= \int \frac{1- 2\cos x + \cos^2 x}{\sin^2 x} dx,\\ &= \int \frac{1}{\sin^2 x} dx - 2 \int \frac{\cos x}{\sin^2 x}dx + \int \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}dx,\\ &= \int \csc^2 x dx - 2 \int \cos x \sin^{-2} x dx + \int \cot^2 x dx. \end{align*}

Dado que el valor de la primera integral es conocido

    \begin{equation*} \int \csc^2 x dx = -2\cot x +C, \end{equation*}

continuaremos resolviendo la segunda integral paso a paso utilizando integración por partes. Consideremos

    \begin{align*} u = \sin^{-2} x \quad &\Rightarrow \quad du = -2(\sin x)^{-3}\cos x dx \\ dv = \cos x dx \quad &\Rightarrow \quad v = \sin x \end{align*}

entonces

    \begin{align*} \int \cos x \sin^{-2} x dx &= \sin^{-2}x \sin x + 2\int \sin x (\sin x)^{-3} \cos x dx \\ &= \sin^{-1} x + 2\int \sin^{-2} x (\cos x) dx , \end{align*}

despejando obtenemos

    \[ \int \cos x \sin^{-2} x dx = -\sin^{-1} x .\]

Por lo tanto

    \begin{align*} \int \frac{1-\cos x}{1 + \cos x}dx &= -\cot x -2(-\sin^{-1} x) + \int [(1+ \cot^2 x) - 1] dx,\\ &= -\cot x + \frac{2}{\sin x} + \int \csc^2 x dx - \int dx, \\ &= -\cot x + \frac{2}{\sin x} - \cot x - x + C,\\ &= -2\cot x + \frac{2}{\sin x} - x + C. \end{align*}

4 \int \frac{1+\sin x}{1 - \sin x}dx

Para la resolución de esta integral, recordemos la identidad

    \begin{equation*} \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}. \end{equation*}

Entonces,

    \begin{align*} \int \frac{1+\sin x}{1 - \sin x}dx &= \int \frac{1+\sin x}{1 - \sin x}\left[\frac{1+\sin x}{1+\sin x}\right] dx , \\ &= \int \frac{(1+\sin x)^2}{1 - \sin^2 x} dx, \\ &= \int \frac{1+ 2\sin x + \sin^2 x}{\cos^2 x} dx,\\ &= \int \frac{1}{\cos^2 x} dx + 2 \int \frac{\sin x}{\cos^2 x}dx + \int \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 dx,\\ &= \int \sec^2 x dx + 2 \int \sin x \cos^{-2} x dx + \int \tan^2 x dx. \end{align*}

Similarmente al ejercicio anterior, tenemos que la primera integral es inmediata y la segunda la podemos calcular utilizando integración por partes. Considerando

    \begin{align*} u = \cos^{-2} x \quad &\Rightarrow \quad du = 2(\cos x)^{-3}\sin x dx \\ dv = \sin x dx \quad &\Rightarrow \quad v = -\cos x \end{align*}

obtenemos

    \begin{equation*} \int \sin x \cos^{-2} x dx = \cos^{-1} x . \end{equation*}

Por lo tanto

    \begin{align*} \int \frac{1+\sin x}{1 - \sin x}dx &= \tan x + \frac{2}{\cos x} + \int [(1+\tan^2 x) - 1] dx,\\ &= \tan x + \frac{2}{\cos x} + \int \sec^2 x dx - \int dx, \\ &= \tan x + \frac{2}{\cos x} + \tan x - x + C,\\ &= 2\tan x + \frac{2}{\cos x} - x + C. \end{align*}

5 \int \frac{\cos^3 x}{\sin x}dx

Consideremos que de la identidad

(2)   \begin{eqnarray*} \cos^2 x +\sin^2 x &=& 1,\nonumber\\ \cos^2 x &=& 1-\sin^2 x. \end{eqnarray*}

Entonces, sustituyendo (2) en la integral que queremos resolver, obtenemos

    \begin{align*} \int \frac{\cos^3 x}{\sin x}dx &= \int \frac{\cos^2 x}{\sin x} \cos x dx , \\ &= \int \frac{1- \sin^2 x}{\sin x} \cos x dx, \\\end{align*}

A continuación, resolveremos la integral utilizando sustitución. Consideraremos

    \begin{equation*} u = \sin x \quad \Rightarrow \quad du = \cos x dx \end{equation*}

y obtenemos

    \begin{align*} \int \frac{\cos^3 x}{\sin x}dx &= \int \frac{1-u^2}{u} du,\\ &= \int \frac{1}{u} du - \int u du, \\ &= \ln |u| - \frac{u^2}{2} + C\\ &= \ln |\sin x| - \frac{\sin^2 x}{2} + C. \end{align*}

6 \int \frac{\tan x}{\cos x - 1}dx

Sustituyendo la identidad

    \begin{equation*} \tan x =\frac{\sin x}{\cos x} \end{equation*}

la integral que queremos resolver toma la forma

    \begin{equation*} \int \frac{\tan x}{\cos x - 1}dx = \int \frac{\sin x}{\cos x(\cos x - 1)}dx. \end{equation*}

Nuevamente resolveremos la integral utilizando sustitución. Consideramos

    \begin{equation*} u = \cos x \quad \Rightarrow \quad du = -\sin x dx \end{equation*}

y obtenemos

    \begin{align*} \int \frac{\sin x}{\cos x(\cos x - 1)}dx &= \int \frac{-du}{u(u-1)},\\ &= \int \left[ \frac{1}{u} - \frac{1}{u-1}\right] du, \\ &= \int \frac{du}{u} - \int \frac{du}{u-1}, \\ &= \ln |u| - \ln|u-1| + C\\ &= \ln |\cos x| - \ln|\cos x -1| + C. \end{align*}

7 \int 7\sin^4 (3x) \cos^2 (3x)dx

Para este ejercicio las siguientes identidades serán muy importantes, pues las utilizaremos varias veces

    \begin{equation*} \sin^2 x = \frac{1- \cos 2x}{2}, \quad \quad \quad \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x \end{equation*}

Tenemos

    \begin{align*} \int 7\sin^4 (3x) \cos^2 (3x)dx &= 7\int \sin^2 (3x)\sin^2 (3x) \cos^2 (3x)dx,\\ &= 7\int [\sin (3x) \cos (3x)]^2 \sin^2 (3x)dx, \\ &= 7\int \left[\frac{1}{2}\sin 6x\right]^2 \left[\frac{1-\cos 6x}{2}\right] dx, \\ &= \frac{7}{8}\int \sin^2 6x (1-\cos 6x) dx,\\ &= \frac{7}{8}\int \sin^2 6x - \sin^2 6x \cos 6x dx,\\ &= \frac{7}{8}\int \sin^2 6x dx - \frac{7}{8}\int \sin^2 6x \cos 6x dx,\\ &= \frac{7}{8}\int \frac{1-\cos 12x}{2}dx - \frac{7}{8}\int \sin^2 6x \cos 6x dx,\\ &= \frac{7}{16}\int 1-\cos 12x dx - \frac{7}{8}\int \sin^2 6x \cos 6x dx,\\ &= \frac{7}{16}\int dx- \frac{7}{16}\int \cos 12x dx - \frac{7}{8}\int \sin^2 6x \cos 6x dx,\\\end{align*}

Similarmente a ejercicios anteriores utilizamos sustitución para resolver la ultima integral y finalmente obtenemos que

    \begin{equation*} \int 7\sin^4 (3x) \cos^2 (3x)dx = \frac{7}{16} x - \frac{7}{192}\sin (12x) - \frac{7}{144} \sin^3 6x + C \end{equation*}

8 \int \sin^3 x dx

Consideremos que de la identidad

    \begin{eqnarray*} \cos^2 x +\sin^2 x &=& 1,\\ \sin^2 x &=& 1-\cos^2 x. \end{eqnarray*}

Entonces la integral que queremos resolver toma la forma

    \begin{align*} \int \sin^3 x dx &= \int \sin^2 x \sin x dx,\\ &= \int (1-\cos^2 x) \sin x dx,\\ &= \int (\sin x - \cos^2 x \sin x)dx, \\ &= \int \sin x dx - \int (\cos^2 x \sin x)dx, \\ \end{align*}

Para la segunda integral utilizamos sustitución considerando u= \cos x entonces llegamos a que

    \begin{equation*} \int \sin^3 x dx = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C \end{equation*}

9 \int \sin^5 x dx

Consideremos que de la identidad

    \begin{eqnarray*} \cos^2 x +\sin^2 x &=& 1,\\ \sin^2 x &=& 1-\cos^2 x. \end{eqnarray*}

Sustituyendo esta última igualdad en la integral que queremos resolver, obtenemos que

    \begin{align*} \int \sin^5 x dx &= \int \sin^2 x \sin^3 x dx,\\ &= \int (1-\cos^2 x) \sin^3 x dx,\\ &= \int (\sin^3 x - \cos^2 x \sin^3 x)dx, \\ &= \int \sin^3 x dx - \int \cos^2 x \sin x \sin^2 xdx, \\ &= \int \sin^3 x dx - \int \cos^2 x \sin x (1-\cos^2 x) dx, \\ &= \int \sin^3 x dx - \int \cos^2 x \sin x dx + \int \cos^4 x \sin x dx, \\\end{align*}

Del ejercicio 8 conocemos el resultado de la primera integral, mientras que la segunda y tercera se obtienen integrando por sustitución utilizando u = cos, entonces

    \begin{align*} \int \sin^5 x dx &= -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + \frac{\cos^3 x}{3} - \frac{1}{5} \cos^5 x + C\\ &= -\cos x + \frac{2\cos^3 x}{3} - \frac{1}{5} \cos^5 x + C \end{align*}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗