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Deducción de la fórmula
Para calcular una integral de la forma
debemos recordar que la derivada de una función exponencial está dada por
Por lo tanto, la integral de 
se calcula mediante:
Así, concluimos que la fórmula de la integral para 
es
Para el caso particular, donde 
(número de Euler), tenemos
Por último, si 
es una función, entonces la fórmula con sustitución es
Y cuando la base es 
, tenemos
Observemos que 
debe estar multiplicando al diferencial.
Ejemplos
Calcula la siguiente integral
Observemos que la base del exponencial es . Asimismo, tenemos que 
. Como 
, entonces necesitamos multiplicar al diferencial por 2:
Con esto, ya podemos calcular la integral:
Determina la siguiente integral
Ahora, observemos que la base es 5. Además, el argumento de la exponencial es simplemente 
. Por lo tanto, podemos utilizar la fórmula directamente con 
:
Calcula la siguiente integral de producto de exponenciales:
Recordemos que 
ya que tienen el mismo exponente. Por lo tanto, la integral se calcula como
Es importante notar que, aunque se podría llegar al mismo resultado utilizando la integral por partes, el procedimiento sería más tedioso.
Obtén la siguiente integral
Notemos que 
y que 
. Así, tenemos que 
, por lo que tenemos que multiplicar el diferencial por 3 (al mismo tiempo hay que dividir por 3 para que la función siga siendo la misma):
Por tanto, la integral es
Determina la siguiente integral
Hay dos maneras de terminar esta integral. La más sencilla es notar que 
, por lo tanto,
Notemos que el dominio de 
es 
. Por lo tanto, la solución también está restringida a este dominio.
Sin embargo, como estamos utilizando la fórmula de la integral exponencial, entonces también podemos utilizarla y debemos llegar al mismo resultado. En este caso, notemos que 
. Así, 
(el cuál ya está multiplicando al diferencial), es decir,
Por tanto,
pero, como , entonces tenemos
ya que .
Calcula la siguiente integral
Observemos que 
. Por lo tanto,
el cuál ya está multiplicando al diferencial. De este modo,
Determina la siguiente integral
Observemos que 
. Por tanto, esta integral es bastante sencilla si logramos recordar que
De este modo, la integral se vuelve
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Fe de erratas:
Ej. 3: sobra una raíz de x en el denominador antes del
Resultado final.
Ej.4: En el resultado final falta el signo menos.
Un saludo.
Hola revise los ejemplos de muchas ejercicios y no encontré los errores, podrías hacerme el favor de darme mas detalles para poder encontrarlos y quitar esos errores, seria de mucha ayuda.
Podrían brindarme información sobre el autor y la fecha de publicación del articulo? Estoy realizando una monografía en matemáticas y esta agina me ha servido mucho pero necesito esa información para referenciar correctamente la información.
¡Hola Yanela! 👋 Desde Superprof nos alegra que el artículo te haya sido útil. 😊 Para referenciarlo correctamente en tu monografía, puedes citarlo de la siguiente manera:
«Superprof. Ejercicios resueltos de integrales por sustitución. [En línea] Disponible en: [URL del artículo].»
Por motivos de privacidad, no podemos facilitar datos personales del autor ni fecha exacta de publicación. 📚✨
Veo un error en el ejercicio 9 a la hora de devolver la variable, recuerda que x^2+1 = u^2, no x^2+1 = u
Hola tienes razón, una disculpa y ya se corrigió.
Hay un error en el integral de seno de x multiplicado por coseno de x.
Haciendo sustitución queda u^2/2 lo que indica que es sen(x)^2/2.
Hola en tu razonamiento estas bien, pero hay una cuestión para resolver este ejercicio hay dos formas una como tu dices y otra usando identidades trigonométricas, puedes comprobar que sale el mismo resultado en la integral definida.
holaa, en el caso 4, en la última identidad están mal los signos, sería sen(a)sen(b)=1/2(cos(a-b)-cos(a+b))
Hola la manera en como presentas la fórmula esta bien, pero en la propiedad 4 que mencionas es lo mismo pero escrita de forma diferente, si multiplicas por el signo negativo queda igual a lo que tienes, si tienen alguna duda mencionalo.