Deducción de la fórmula

 

Para calcular una integral de la forma

 

\displaystyle \int{a^x}dx

 

debemos recordar que la derivada de una función exponencial está dada por

 

\displaystyle \frac{d}{dx} \left[ a^x \right] = a^x \ln a

 

Por lo tanto, la integral de a^x se calcula mediante:

 

\displaystyle \int{a^x}dx = \int{a^x \cdot \frac{\ln a}{\ln a}}dx = \frac{1}{\ln a} \int{a^x \ln a \;}dx = \frac{a^x}{\ln a} + C

 

Así, concluimos que la fórmula de la integral para f(x) = a^x es

 

\displaystyle \int{a^x}dx = \frac{a^x}{\ln a} + C

 

Para el caso particular, donde a = e (número de Euler), tenemos

 

\displaystyle \int{e^x}dx = e^x + C

 

Por último, si u(x) es una función, entonces la fórmula con sustitución es

 

\displaystyle \int{a^{u(x)} \cdot u'(x)}dx = \frac{a^{u(x)}}{\ln a} + C

 

Y cuando la base es e, tenemos

 

\displaystyle \int{e^{u(x)} \cdot u'(x)}dx = e^{u(x)} + C

 

Observemos que u'(x) debe estar multiplicando al diferencial.

 

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Vamos

Ejemplos

 

1 Calcula la siguiente integral

 

\displaystyle \int{e^{2x + 2}}dx

 

Observemos que la base del exponencial es e. Asimismo, tenemos que u(x) = 2x + 2. Como u'(x) = 2, entonces necesitamos multiplicar al diferencial por 2:

 

\displaystyle \int{e^{2x + 2}}dx = \int{e^{2x + 2} \cdot \frac{2}{2}}dx = \frac{1}{2}\int{e^{2x + 2} \cdot 2}dx

 

Con esto, ya podemos calcular la integral:

 

\displaystyle \int{e^{2x + 2}}dx = \frac{1}{2}\int{e^{2x + 2} \cdot 2}dx = \frac{1}{2} e^{2x + 2} + C

 

2 Determina la siguiente integral

 

\displaystyle \int{5^x}dx

 

Ahora, observemos que la base es 5. Además, el argumento de la exponencial es simplemente x. Por lo tanto, podemos utilizar la fórmula directamente con a = 5:

 

\displaystyle \int{5^x}dx = \frac{5^x}{\ln 5} + C

 

3 Calcula la siguiente integral de producto de exponenciales:

 

\displaystyle \int{2^x 5^x}dx

 

Recordemos que a^c b^c = (ab)^c ya que tienen el mismo exponente. Por lo tanto, la integral se calcula como

 

\displaystyle \int{2^x 5^x}dx = \int{(2 \cdot 5)^x}dx = \int{10^x}dx = \frac{10^x}{\ln 10} + C

 

Es importante notar que, aunque se podría llegar al mismo resultado utilizando la integral por partes, el procedimiento sería más tedioso.

 

4 Obtén la siguiente integral

 

\displaystyle \int{8^{3x + 1}}dx

 

Notemos que a = 8 y que u(x) = 3x + 1. Así, tenemos que u'(x) = 3, por lo que tenemos que multiplicar el diferencial por 3 (al mismo tiempo hay que dividir por 3 para que la función siga siendo la misma):

 

\displaystyle \int{8^{3x + 1}}dx = \int{8^{3x + 1} \cdot \frac{3}{3}}dx = \frac{1}{3}\int{8^{3x + 1}3dx}

 

Por tanto, la integral es

 

    \begin{align*} \int{8^{3x + 1}}dx & = \frac{1}{3}\int{8^{3x + 1}3dx}\\& = \frac{1}{3} \frac{8^{3x + 1}}{\ln 8} + C\\& = \frac{8^{3x + 1}}{3\ln 8} + C\end{align*}

 

5 Determina la siguiente integral

 

\displaystyle \int{\frac{e^{ln x}}{x}}dx

 

Hay dos maneras de terminar esta integral. La más sencilla es notar que e^{\ln x} = x, por lo tanto,

 

\displaystyle \int{\frac{e^{ln x}}{x}}dx = \int{\frac{x}{x}}dx = \int{dx} = x + C

 

Notemos que el dominio de \ln x es (0, \infty). Por lo tanto, la solución también está restringida a este dominio.

 

Sin embargo, como estamos utilizando la fórmula de la integral exponencial, entonces también podemos utilizarla y debemos llegar al mismo resultado. En este caso, notemos que u(x) = \ln x. Así, u'(x) = 1/x (el cuál ya está multiplicando al diferencial), es decir,

 

\displaystyle du = \frac{1}{x}dx

 

Por tanto,

 

\displaystyle \int{\frac{e^{ln x}}{x}}dx = \int{e^{u(x)} u'(x)}dx = e^{u(x)} + C

 

pero, como u(x) = \ln x, entonces tenemos

 

\displaystyle \int{\frac{e^{ln x}}{x}}dx = e^{u(x)} + C = e^{\ln x} + C = x + C

 

ya que e^{\ln x} = x.

 

6 Calcula la siguiente integral

 

\displaystyle \int{e^{\sin x} \cos x}dx

 

Observemos que u(x) = \sin x. Por lo tanto,

 

\displaystyle u'(x) = \cos x

 

el cuál ya está multiplicando al diferencial. De este modo,

 

    \begin{align*} \int{e^{\sin x} \cos x}dx &= \int{e^{u(x)} u'(x)}dx\\& = e^{u(x)} + C = e^{\sin x} + C\end{align*}

 

7 Determina la siguiente integral

 

\displaystyle \int{\frac{e^{\arcsin x}}{ \sqrt{1 - x^2} }}dx

 

Observemos que u(x) = \arcsin x. Por tanto, esta integral es bastante sencilla si logramos recordar que

 

\displaystyle u'(x) = \frac{d}{dx} \left[ \arcsin x \right] = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

 

De este modo, la integral se vuelve

 

    \begin{align*} \int{\frac{e^{\arcsin x}}{ \sqrt{1 - x^2} }}dx & = \int{e^{u(x)} u'(x)}dx\\& = e^{u(x)} + C\\& = e^{\arcsin x} + C\end{align*}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗