Fórmula de la integral del coseno

 

Recordemos que la derivada de la función \sin x es \cos x. Esto nos indica que la integral del coseno es

 

\displaystyle \int \cos xdx = \sin x + C

 

donde C es una constante arbitraria. Recordemos que la constante de integración es necesaria pues la derivada de cualquier constante es 0.

 

Similarmente, si el argumento del coseno es otra función u(x), entonces la integral es

 

\displaystyle \int \cos u du = \int \cos u \cdot u' dx = \sin u + C

 

Observemos que u'(x)dx = du debe multiplicar al coseno para poder integrar.

 

Los/las mejores profesores/as de Matemáticas que están disponibles
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (24 opiniones)
Francisco javier
10€
/h
¡1a clase gratis!
José arturo
4,9
4,9 (33 opiniones)
José arturo
12€
/h
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (73 opiniones)
José angel
5€
/h
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (43 opiniones)
Alex
12€
/h
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (11 opiniones)
Fátima
12€
/h
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (21 opiniones)
Santiago
9€
/h
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (94 opiniones)
Julio
14€
/h
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (51 opiniones)
Amin
10€
/h
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (24 opiniones)
Francisco javier
10€
/h
¡1a clase gratis!
José arturo
4,9
4,9 (33 opiniones)
José arturo
12€
/h
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (73 opiniones)
José angel
5€
/h
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (43 opiniones)
Alex
12€
/h
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (11 opiniones)
Fátima
12€
/h
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (21 opiniones)
Santiago
9€
/h
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (94 opiniones)
Julio
14€
/h
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (51 opiniones)
Amin
10€
/h
1ª clase gratis>

Ejercicios con la integral del coseno

 

Integra la siguientes funciones

 

1 \displaystyle \int{\left( 2x + \cos x \right)dx}

 

Para resolver la integral, primero utilizamos al propiedad lineal de las integrales:

 

\displaystyle I = \int{\left( 2x + \cos x \right)dx} = \int{2xdx} + \int{\cos x dx}

 

Luego resolvemos cada una de las integrales por separado:

 

\displaystyle I = x^2 + \sin x + C

 

Por tanto,

 

\displaystyle \int{\left( 2x + \cos x \right)dx} = x^2 + \sin x + C

 

2 \displaystyle \int{\cos\left( 2x + 5 \right)dx}

 

Para resolver esta integral, observemos primero que u(x) = 2x + 5, por lo tanto, u'(x) debe multiplicar al coseno. Notemos que

 

\displaystyle u'(x) = 2

 

Así, la integral se puede escribir como

 

    \begin{align*} I = \int{\cos\left( 2x + 5 \right)dx} & = \int{\frac{1}{2} \cdot 2\cos\left( 2x + 5 \right)dx}\\& = \frac{1}{2}\int{2\cos\left( 2x + 5 \right)dx}\\& = \frac{1}{2}\int{\cos u du}\end{align*}

 

Luego, la integral se vuelve

 

\displaystyle I = \frac{1}{2}\sin u + C = \frac{1}{2}\sin(2x + 5) + C

 

En consecuencia

 

\displaystyle \int{\cos\left( 2x + 5 \right)dx} = \frac{1}{2}\sin(2x + 5) + C

 

3 \displaystyle \int{(x + 1)\cos \left( x^2 + 2x + 1 \right)dx}

 

En este caso, el argumento del coseno es u(x) = x^2 + 2x + 1. La derivada del argumento es

 

\displaystyle u'(x) = 2x + 2

 

Observemos que el coseno está siendo multiplicado por x + 1, por tanto, podemos escribir la integral de la forma

 

    \begin{align*} I & = \int{(x + 1)\cos \left( x^2 + 2x + 1 \right)dx}\\& = \frac{1}{2}\int{2(x + 1)\cos \left( x^2 + 2x + 1 \right)dx}\\& = \frac{1}{2}\int{(2x + 2)\cos \left( x^2 + 2x + 1 \right)dx}\\& = \int{cos u dx}\end{align*}

 

Así, la integral es

 

\displaystyle I = \sin u + C = \sin(x^2 + 2x + 1) + C

 

Por tanto,

 

\displaystyle \int{(x + 1)\cos \left( x^2 + 2x + 1 \right)dx} = \sin(x^2 + 2x + 1) + C

 

4 \displaystyle \int{\frac{\cos(\ln x)}{x} dx}

 

Aquí tenemos que el argumento del seno es u(x) = \ln x. Luego, la derivada del argumento es

 

\displaystyle u'(x) = \frac{1}{x}

 

De este modo, la integral se puede escribir como

 

\displaystyle I = \int{\cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x} dx} = \int{\cos u du}

 

Integramos:

 

\displaystyle I = \sin u + C = \sin (\ln u) + C

 

Luego, el resultado es

 

\displaystyle \int{\frac{\cos(\ln x)}{x} dx} = \sin (\ln u) + C

 

5 \displaystyle \int{\cos^2 xdx}

 

En este caso tenemos \cos^2 x. Primero debemos notar que no se puede aplicar la fórmula de la integral del coseno directamente. Por tanto, debemos utilizar una identidad trigonométrica, que en este caso es

 

\displaystyle \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}

 

De aquí, la integral se vuelve

 

    \begin{align*} I & = \int{\cos^2 xdx} = \int{\frac{1 + \cos 2x}{2}dx}\\& = \frac{1}{2}\int{(1 + \cos 2x)dx}\\\end{align*}

 

Por tanto, al integrar, tenemos

 

\displaystyle I = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x + C

 

De este modo, la respuesta es

 

\displaystyle \int{\cos^2 xdx} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x + C

 

Siempre que tengamos un coseno elevado a una potencia par, utilizaremos un procedimiento similar hasta que tengamos una expresión con puros cosenos sin elevar a ninguna potencia.

 

6 \displaystyle \int{\cos^3 3xdx}

 

Notemos ahora que tenemos \cos^3 3x. Se trata de un coseno elevado a una potencia impar, por lo tanto debemos escribirlo como

 

\displaystyle \cos^3 3x = \cos^2 3x \cos 3x

 

Luego, utilizamos la identidad pitagórica en el \cos^2 3x, pata obtener

 

\displaystyle \cos^3 3x = (1 - \sin^2 3x) \cos 3x

 

Así, podemos escribir la integral como

 

\displaystyle I = \int{\cos^3 3xdx} = \int{(1 - \sin^2 3x) \cos 3xdx}

 

Notemos que no es una integral de coseno, sin embargo, tenemos la sustitución u(x) = \sin 3x. Luego, su integral es

 

\displaystyle u'(x) = 3\cos 3x

 

Así, al sustituir, la integral se vuelve

 

\displaystyle I = \frac{1}{3}\int{(1 - u^2)du}

 

Que, al integrar, tenemos

 

\displaystyle I = \frac{1}{3}\left( u - \frac{1}{3}u^3 \right) + C

 

Por tanto, el resultado es

 

\displaystyle \int{\cos^3 3xdx} = \frac{1}{3}\sin 3x - \frac{1}{9}\sin^3 3x + C

 

Cuando tenemos un coseno elevado a una potencia impar m, siempre debemos escribir \cos^m x = \cos^{m - 1} x \cos x y luego utilizar una identidad pitagórica para resolver la integral.

 

¿Necesitas un profesor de Matemáticas?

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 3,50/5 - 4 vote(s)
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗