Recordemos que una integral definida se refiere a un intervalo especifico de una integral, por lo que el proceso se puede resumir de una forma muy simple:

 

Paso 1: Realiza la integración de la función usando las formulas definidas.

 

Paso 2: Evalúa el resultado de tu integración en ambos extremos del intervalo.

 

Paso 3 : Al resultado del punto mayor del intervalo debes restarle el resultado del punto menor del intervalo.

 

Ejemplo:

 

 \int_{_0}^{^2}   (2+x)  dx

 

Usamos las formulas definidas para integrar la función (2+x) :

 

2+x \ \ \ \ \rightarrow  \ \ \ \  2x+\frac{x^2}{2}

 

Ahora , lo siguiente es evaluar esa función en los puntos 0 y 2:

 

2(0)+\frac{(0)^2}{2} = 0+0=0

2(2)+\frac{(2)^2}{2} = 4 + 2 = 6

 

Ahora, al del extremo mayor, le restamos el del extremo menor del intervalo.

 

6-0 = 6

 

La integral definida en ese intervalo es 6. Lo que quiere decir que el área bajo la curva de esa ecuación en tan solo ese intervalo es de 6 unidades.

 

Integral definida de un racional

 

\displaystyle \int_2^3 \frac{x}{x^2-1} dx

 

 

Utilizamos la formula para integrar fracciones: 

 \int   \frac{1}{x}  dx  = ln|x|+ C

 

\int_{_2}^{^3} \frac{x}{x^2-1} = \frac{1}{2}   \left [  ln (x^2-1) \right ]_{_2}^{^3} =

 

=\frac{1}{2}   \left [  ln (3^2-1) \right ] - \frac{1}{2}   \left [  ln (2^2-1) \right ]=

 

=\frac{1}{2}   \left [  ln (8) \right ] - \frac{1}{2}   \left [  ln (3) \right ]=

 

=ln \sqrt\frac{8}{3}

 

 

Integral definida de un polinomio de grado 3

 

\displaystyle \int_{-1}^1 3x^3-x^2+x-1 dx

 

 

\displaystyle \int_{-1}^1 3x^3-x^2+x-1 dx

 

Como se trata de un polinomio, es decir, diferentes términos
algebraicos que se están sumando o restando, podemos
integrar uno por uno :

 

Integración de los términos del polinomio\displaystyle \int_{-1}^1 3x^3-x^2+x-1 dx=\left[ \frac{3x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-x\right]_{-1}^1=

 

Después de evaluar en resultado en 1 y en -1, realizamos la resta:

 

\displaystyle \left(\frac{3}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2} -1 \right)-\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2} +1 \right)=-\frac{8}{3}

 

 

Integral definida de 1 hasta e

 

\displaystyle \int_1^e \frac{dx}{x}

 

 

\displaystyle \int_1^e \frac{dx}{x}

 

Observemos que

 

\int_{_1}^{^e} \frac{dx}{x} = \int_{_1}^{^e} \frac{1}{x} \cdot dx

 

Así que para la integral podemos usar la formula definida:

 

\int \frac{dx}{x} = ln|x|+ C

 

Aplicamos a nuestro ejercicio, evaluamos en 1 y en e,
después restamos

 

\displaystyle \int_1^e \frac{dx}{x} =[\ln x]_1^e=\ln e-\ln 1=1-0=1

 

 

Integral definida de función seno

 

\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\text{sen } x \ dx

 

 

\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\text{sen } x \ dx

 

La formula para integrar la entidad trigonométrico seno es:

 

\int sen \  x \  dx = - cos \ x +C

 

Entonces:

\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\text{sen } x \ dx=[-\cos x]_0^{\frac{\pi}{2}}=-\cos \frac{\pi}{2} + \cos 0 =0+1=1

 

 

Integral definida de entidades trigonométricas

 

\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \text{sen }^3 x\cos^4 x \ dx

 

 

\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \text{sen }^3 x\cos^4 x \ dx

 

\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \text{sen }^3 x\cos^4 x \ dx= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \text{sen } x(1-\cos^2 x)\cos^4 x \ dx

 

\displaystyle  \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 x \text{sen } x-\cos^6 x \text{sen }x \ dx =\left[ -\frac{1}{5}\cos^5 x +\frac{1}{7} \cos^7 x \left]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{5}-\frac{1}{7}=\frac{2}{35}

 

 

Integral definida de un logaritmo

 

\displaystyle \int_2^4 \log x \ dx

 

 

\displaystyle \int_2^4 \log x \ dx

 

\displaystyle u=\log x \hspace{1cm} \overset{\text{derivar}}{\longrightarrow} \hspace{1cm} u'=\frac{1}{x} \log e

 

\displaystyle v'=1 \hspace{1cm} \overset{\text{integrar}}{\longrightarrow} \hspace{1cm} v=x

 

\displaystyle \int_2^4 \log x \ dx =[x\log x ]_2^4-\int_2^4 \log e \ dx = [x\log x-x\log e ]_2^4=

 

\displaystyle =4\log 2^2 -4\log e-2\log 2 +2\log e=

 

\displaystyle 8\log 2-4\log e- 2\log 2+2\log e=6\log 2-2\log e

 

 

Integral definida en el intervalo [0 , n²]

 

\displaystyle \int_0^{\pi^2} \text{sen } \sqrt{x} \ dx

 

 

\displaystyle \int_0^{\pi^2} \text{sen } \sqrt{x} \ dx

 

Calculamos la integral definida por cambio de variable.

 

 

\displaystyle x=t^2

 

\displaystyle dx=2t \, dt

 

Hallamos los nuevos límites de integración.

 

\displaystyle x=0 \hspace{1cm} t^2=0 \hspace{2cm} t=0

 

\displaystyle x=\pi^2 \hspace{1cm} t^2=\pi^2 \hspace{2cm} t=\pi

 

\displaystyle \int \text{sen } t \, 2t \ dt =2\int t\text{ sen }t \ dt

 

Integramos por partes.

 

\displaystyle u=t \hspace{1cm} \overset{\text{derivar}}{\longrightarrow} \hspace{1cm} u'=1

 

\displaystyle v'=\text{sen } t \hspace{1cm} \overset{\text{integrar}}{\longrightarrow} \hspace{1cm} v=-\cos t

 

\displaystyle 2\int t \text{ sen } t \ dt =2(-t \cos t+\int \cos t \ dt)=2(-t\cos t + \text{ sen }t)+C

 

\displaystyle 2 \int_0^\pi t\text{ sen } t\ dt =2[-t\cos t+ \text{ sen }t ]_0^\pi =2\pi

 

También se puede hacer sin transformar los límites de integración y volviendo a la variable inicial.

 

\displaystyle t=\sqrt{x}

 

\displaystyle \text{sen }\sqrt{x} \, dx=2(-\sqrt{x}\cos \sqrt{x}+\text{sen } \sqrt{x})+C

 

\displaystyle \int_0^{\pi^2} \text{sen } \sqrt{x} \ dx =2[-\sqrt{x}\cos \sqrt{x}+\text{sen }\sqrt{x}]_0^{\pi^2}=2\pi

 

 

Calcular la derivada de las siguientes funciones

 

1\displaystyle F(x)=\int_1^{x^3}\frac{1}{1+t^2} dt

 

2\displaystyle F(x)=\int_1^{x^2} e^{t^2} dt

 

 

1 \displaystyle F(x)=\int_1^{x^3}\frac{1}{1+t^2} dt

\displaystyle t=x^3

 

\displaystyle dt=3x^2

 

\displaystyle F'(x)=\frac{1}{1+x^6}\cdot 3x^2

 

 

2 \displaystyle t=x^2

 

\displaystyle dt=2x

 

\displaystyle F'(x)=e^{x^4}\cdot 2x

 

 

Teorema del valor medio

 

¿Es aplicable el teorema del valor medio del cálculo integral a la siguiente función en el intervalo [0, 1]?

 

\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}

 

 

¿Es aplicable el teorema del valor medio del cálculo integral
a la siguiente función en el intervalo [0, 1]?

 

\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}

 

Como la función es continua en [0, 1], se puede aplicar el teorema de la media.

 

\displaystyle \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\ dx = \int_0^1 \frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}\ dx =\sqrt{2}-1

 

\displaystyle f(c)=(1-0)(\sqrt{2}-1) \hspace{2cm} f(c)=\sqrt{2}-1

 

\displaystyle \frac{c}{\sqrt{1+c^2}}=\sqrt{2}-1 \hspace{2cm} c=\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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