Nota:

Recordemos que una integral definida se refiere a un intervalo especifico de
una integral, por lo que el proceso se puede resumir de una forma muy simple:

 

Paso 1: Realiza la integración de la función usando las formulas definidas.

 

Paso 2: Evalúa el resultado de tu integración en ambos extremos del intervalo

 

Paso 3 : Al resultado del punto mayor del intervalo debes restarle el resultado
del punto menor del intervalo

 

Ejemplo:

 

\int_{_0}^{^2}   (2+x)  dx

 

Usamos las formulas definidas para integrar la función (2+x) :

 

2+x \ \ \ \ \rightarrow  \ \ \ \  2x+\frac{x^2}{2}

 

Ahora , lo siguiente es evaluar esa función en los puntos 0 y 2:

 

2(0)+\frac{(0)^2}{2} = 0+0=0

2(2)+\frac{(2)^2}{2} = 4 + 2 = 6

 

Ahora, al del extremo mayor, le restamos el del extremo menor del intervalo.

 

6-0 = 6

 

La integral definida en ese intervalo es 6. Lo que quiere decir que el área bajo
la curva de esa ecuación en tan solo ese intervalo es de 6 unidades.

 

Integral definida de un racional

 

Integral definida de una función racional

 

 

Integral definida de una función racional

 

Utilizamos la formula para integrar fracciones:

 

\int   \frac{1}{x}  dx  = ln|x|+ C

 

\int_{_2}^{^3} \frac{x}{x^2-1} = \frac{1}{2}   \left [  ln (x^2-1) \right ]_{_2}^{^3} =

 

=\frac{1}{2}   \left [  ln (3^2-1) \right ] - \frac{1}{2}   \left [  ln (2^2-1) \right ]=

 

=\frac{1}{2}   \left [  ln (8) \right ] - \frac{1}{2}   \left [  ln (3) \right ]=

 

=ln \sqrt\frac{8}{3}

 

 

Integral definida de un polinomio de grado 3

 

Integral definida de un polinomio

 

 

Integral definida de un polinomio

 

Como se trata de un polinomio, es decir, diferentes términos
algebraicos que se están sumando o restando, podemos
integrar uno por uno :

 

Integración de los términos del polinomio

 

Después de evaluar en resultado en 1 y en -1, realizamos la resta:

 

Resultado de la integral definida de un polinomio

 

 

Integral definida de 1 hasta e

 

Integral definida de 1 hasta e

 

 

Integral definida de 1 hasta e

 

Observemos que

 

\int_{_1}^{^e} \frac{dx}{x} = \int_{_1}^{^e} \frac{1}{x} \cdot dx

 

Así que para la integral podemos usar la formula definida:

 

\int \frac{dx}{x} = ln|x|+ C

 

Aplicamos a nuestro ejercicio, evaluamos en 1 y en e,
después restamos

 

Resultado de la integral definida de 1 hasta e

 

 

Integral definida de función seno

 

Integral definida de la función seno

 

 

Integral definida de la función seno

 

La formula para integrar la entidad trigonométrico seno es:

 

\int sen \  x \  dx = - cos \ x +C

 

Entonces:

Resultado de la integral definida de la función seno

 

 

Integral definida de entidades trigonométricas

 

Integral definida del producto de entidades trigonométricas

 

 

Integral definida del producto de entidades trigonométricas

 

Aplicando la formula definida para seno cuadrado de x

 

Resultado de la integral definida del producto de entidades trigonométricas

 

 

Integral definida de un logaritmo

 

Integral de un logaritmo

 

 

Integral de un logaritmo

 

Derivada de u

 

integral de v'

 

Aplicando las formulas definidas para integración

 

Desarrollando las funciones conocidas

 

Resultado de la integral de un logaritmo

 

 

Integral definida en el intervalo [0 , n²]

 

Integral de 0 a n cuadrada

 

 

Integral de 0 a n cuadrada

 

Calculamos la integral definida por cambio de variable.

 

 

Cambio de variable

 

Derivada de la nueva variable

 

Hallamos los nuevos límites de integración.

 

Nuevo limite inferior para la nueva variable

 

Nuevo limite superior para la nueva variable

 

extrayendo el factor constante

 

Integramos por partes.

 

Derivada de u

 

Integral de v'

 

Desarrollando mediante la formula de integración

 

Resultado de la integral con punto superior en n cuadrada

 

También se puede hacer sin transformar los límites de
integración y volviendo a la variable inicial.

 

Regresando a la variable original

 

Evaluando con la variable original

 

Resultado de la integral con punto superior en n cuadrada

 

 

Calcular la derivada de las siguientes funciones

 

1Derivar la integral definida de una función racional

 

2Derivar la integral definida de una función con e

 

 

1Derivar la integral definida de una función racional

Cambio de variable

 

Derivada de la nueva variable .

 

Derivada de la función

 

 

2Cambo de variable

 

Derivada de la nueva variable

 

Derivada de la función .

 

 

Teorema del valor medio

 

¿Es aplicable el teorema del valor medio del cálculo integral
a la siguiente función en el intervalo [0, 1]?

 

 

 

¿Es aplicable el teorema del valor medio del cálculo integral
a la siguiente función en el intervalo [0, 1]?

 

 

Como la función es continua en [0, 1], se puede aplicar el teorema de la media.

 

 

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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