En este artículo tenemos varios problemas en los cuales se involucra la integral, aún cuando estos nos piden directamente "integrar" una función. En la mayoría de los casos se mencionará el término de primitiva, en caso de no tener claro este término, te invitamos a leer nuestros artículos relacionados, de igual forma en los primeros ejercicios se mencionará rápidamente la idea de lo que es una primitiva.
De las infinitas funciones primitivas de la función 
, ¿cuál toma el valor 
cuando es evaluada en 
?
Primero recordemos que la primitiva de una función 
es una función 
la cual cumple que 
, Dicho esto, encontremos la forma general de las primitivas de la función . Las primitivas las encontramos usando integrales no definidas:
Por lo tanto, tenemos que 
. Sin embargo, nos pide encontrar la primitiva que cumpla que 
. Esto lo hacemos al evaluar la primitiva general y encontrar el valor exacto de 
que haga que se cumpla dicha igualdad. Así, tenemos que
Hemos encontrado nuestro valor de 
, así, la primitiva que buscamos es
Obten la primitiva de la función 
que pasa por el punto 
.
Obtengamos la forma general de las primitivas por medio de la integral con límites no definidos, esto es
Por lo tanto, tenemos que 
. Sin embargo, nos pide encontrar la primitiva que pase por el punto , esto es, que cumpla que 
. Esto lo hacemos al evaluar la primitiva general y encontrar el valor exacto de que haga que se cumpla dicha igualdad. Así, tenemos que
Hemos encontrado nuestro valor de 
, así, la primitiva que buscamos es
Hallar una función que al ser evaluada en 
toma el valor de 
y cuya derivada sea 
.
Notemos que el problemas nos dice que es una primitiva de , por lo tanto, para encontrar primero debemos encontrar las primitivas de , esto lo logramos integrando
Ahora, debe cumplir que 
. Evaluemos y encontremos para que se cumple dicha igualdad
Así, nuestra función buscada es
Hallar una recta cuya pendiente es 
y pasa por él punto 
.
Aunque este problema se puede resolver directamente usando la fórmula general de la recta, aquí haremos uso de la integral. Primero, la derivada de toda recta es su pendiente, es constante, así, si tenemos la recta
su derivada será su pendiente 
. Dicho esto, tenemos en nuestro problema que la pendiente de la recta es , esto es, su derivada es , así que procedamos obteniendo las primitivas de esta constante
entonces, todas las rectas con pendiente igual a tienen la forma 
; sin embargo, esta recta debe pasar por el punto 
, por lo tanto
así, la recta que buscamos está dada por
Hallar la primitiva de la función
que se anula para .
Para resolver este problema debemos encontrar las primitivas de primero. Encontraremos las primitivas a través de la integral, integraremos por el método de sustitución, tomaremos
Sustituyendo tenemos
Ahora, tenemos que la curva se anula en , esto significa que cuando se valúa en toma el valor de 
, por lo tanto, 
, encontremos el valor de para el cual se cumple esto
Así, finalmente, nuestra curva es
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Podrían brindarme información sobre el autor y la fecha de publicación del articulo? Estoy realizando una monografía en matemáticas y esta agina me ha servido mucho pero necesito esa información para referenciar correctamente la información.
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«Superprof. Ejercicios resueltos de integrales por sustitución. [En línea] Disponible en: [URL del artículo].»
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Veo un error en el ejercicio 9 a la hora de devolver la variable, recuerda que x^2+1 = u^2, no x^2+1 = u
Hola tienes razón, una disculpa y ya se corrigió.
Hay un error en el integral de seno de x multiplicado por coseno de x.
Haciendo sustitución queda u^2/2 lo que indica que es sen(x)^2/2.
Hola en tu razonamiento estas bien, pero hay una cuestión para resolver este ejercicio hay dos formas una como tu dices y otra usando identidades trigonométricas, puedes comprobar que sale el mismo resultado en la integral definida.
holaa, en el caso 4, en la última identidad están mal los signos, sería sen(a)sen(b)=1/2(cos(a-b)-cos(a+b))
Hola la manera en como presentas la fórmula esta bien, pero en la propiedad 4 que mencionas es lo mismo pero escrita de forma diferente, si multiplicas por el signo negativo queda igual a lo que tienes, si tienen alguna duda mencionalo.