En este artículo tenemos varios problemas en los cuales se involucra la integral, aún cuando estos nos piden directamente "integrar" una función. En la mayoría de los casos se mencionará el término de primitiva, en caso de no tener claro este término, te invitamos a leer nuestros artículos relacionados, de igual forma en los primeros ejercicios se mencionará rápidamente la idea de lo que es una primitiva.

 

1 De las infinitas funciones primitivas de la función y = x^2 - x + 1, ¿cuál toma el valor 5 cuando es evaluada en x = 3?

 

Primero recordemos que la primitiva de una función f(x) es una función F(x) la cual cumple que F'(x) = f(x), Dicho esto, encontremos la forma general de las primitivas de la función y = x^2 - x + 1. Las primitivas las encontramos usando integrales no definidas:

 

    \begin{align*} F(x) &= \int{y dx}\\&= \int{(x^2 - x + 1) dx}\\&= \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x + C\\\end{align*}

 

Por lo tanto, tenemos que F(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x + C. Sin embargo, nos pide encontrar la primitiva que cumpla que F(3) = 5. Esto lo hacemos al evaluar la primitiva general y encontrar el valor exacto de C que haga que se cumpla dicha igualdad. Así, tenemos que

 

    \begin{align*} F(3) &= 5\\\frac{1}{3}(3)^3 - \frac{1}{2}(3)^2 + 3 + C &= 5\\\frac{1}{3}(27) - \frac{1}{2}(9) + 3 + C &= 5\\9 - \frac{9}{2} + 3 + C &= 5\\12 - \frac{9}{2} + C &= 5\\\frac{24}{2} - \frac{9}{2} + C &= 5\\\frac{15}{2} + C &= 5\\C &= 5 - \frac{15}{2}\\C &= \frac{10}{2} - \frac{15}{2}\\C &= - \frac{5}{2}\end{align*}

 

Hemos encontrado nuestro valor de \displaystyle C = - \frac{5}{2}, así, la primitiva que buscamos es

 

\displaystyle F(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x - \frac{5}{2}.

 

2 Obten la primitiva de la función y = x^2 + 2x que pasa por el punto (1, 3).

 

Obtengamos la forma general de las primitivas por medio de la integral con límites no definidos, esto es

 

    \begin{align*} F(x) &= \int{y dx}\\&= \int{(x^2 + 2x) dx}\\&= \frac{1}{3}x^3 + x^2 + C\\\end{align*}

 

Por lo tanto, tenemos que F(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 + C. Sin embargo, nos pide encontrar la primitiva que pase por el punto (1, 3), esto es, que cumpla que F(1) = 3. Esto lo hacemos al evaluar la primitiva general y encontrar el valor exacto de C que haga que se cumpla dicha igualdad. Así, tenemos que

 

    \begin{align*} F(1) &= 3\\\frac{1}{3}(1)^3 + (1)^2 + C &= 3\\\frac{1}{3} + 1 + C &= 3\\\frac{4}{3} + C &= 3\\C &= 3 - \frac{4}{3}\\C &= \frac{5}{3}\end{align*}

 

Hemos encontrado nuestro valor de \displaystyle C = \frac{5}{3}, así, la primitiva que buscamos es

 

\displaystyle F(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 + \frac{5}{3}.

 

3 Hallar una función F(x) que al ser evaluada en x = 2 toma el valor de 25 y cuya derivada sea f(x) = x + 6.

 

Notemos que el problemas nos dice que F(x) es una primitiva de f(x), por lo tanto, para encontrar F(x) primero debemos encontrar las primitivas de f(x), esto lo logramos integrando

 

    \begin{align*} F(x) &= \int{f(x) dx}\\&= \int{(x + 6) dx}\\&= \frac{1}{2}x^2 + 6x + C\\\end{align*}

 

Ahora, F(x) debe cumplir que F(2) = 25. Evaluemos y encontremos para que C se cumple dicha igualdad

 

    \begin{align*} F(2) &= 25\\\frac{1}{2}(2)^2 + 6(2) + C &= 25\\\frac{1}{2}(4) + 12 + C &= 25\\2 + 12 + C &= 25\\14 + C &= 25\\C &= 11\\\end{align*}

 

Así, nuestra función buscada es

 

\displaystyle F(x) = \frac{1}{2}x^2 + 6x + 11

 

4 Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por él punto (0, 4).

 

Aunque este problema se puede resolver directamente usando la fórmula general de la recta, aquí haremos uso de la integral. Primero, la derivada de toda recta es su pendiente, es constante, así, si tenemos la recta

 

\displaystyle y = ax + b

 

su derivada será su pendiente y' = a. Dicho esto, tenemos en nuestro problema que la pendiente de la recta es 2, esto es, su derivada es 2, así que procedamos obteniendo las primitivas de esta constante

 

    \begin{align*} F(x) &= \int{2 dx}\\&= 2x + C\end{align*}

 

entonces, todas las rectas con pendiente igual a 2 tienen la forma F(x) = 2x + C; sin embargo, esta recta debe pasar por el punto (0,4), por lo tanto

 

    \begin{align*} F(0) &= 4\\2(0) + C &= 4\\C &= 4\end{align*}

 

así, la recta que buscamos está dada por

 

\displaystyle F(x) = 2x + 4

 

5 Hallar la primitiva de la función

 

\displaystyle f(x) = x \sqrt{x^2 - 1}

 

que se anula para x = 2.

 

Para resolver este problema debemos encontrar las primitivas de f(x) primero. Encontraremos las primitivas a través de la integral, integraremos por el método de sustitución, tomaremos

 

\displaystyle u = x^2 - 1 \quad \Rightarrow \quad du = 2x dx, \; \frac{du}{2} = x dx

 

Sustituyendo tenemos

 

    \begin{align*} F(x) &= \int{x \sqrt{x^2 - 1} dx}\\&= \int{\sqrt{x^2 - 1} xdx}\\&= \int{\sqrt{u} \frac{du}{2}}\\&= \frac{1}{2}\int{\sqrt{u} du}\\&= \frac{1}{2}\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C\\&= \frac{1}{3} (x^2 - 1)^{\frac{3}{2}} + C\\\end{align*}

 

Ahora, tenemos que la curva se anula en x = 2, esto significa que cuando se valúa en x = 2 toma el valor de 0, por lo tanto, F(2) = 0, encontremos el valor de C para el cual se cumple esto

 

    \begin{align*} F(2) &= 0\\\frac{1}{3} ((2)^2 - 1)^{\frac{3}{2}} + C &= 0\\\frac{1}{3} (4 - 1)^{\frac{3}{2}} + C &= 0\\\frac{1}{3} (3)^{\frac{3}{2}} + C &= 0\\\frac{1}{3} 3\sqrt{3} + C &= 0\\\sqrt{3} + C &= 0\\C &= -\sqrt{3}\end{align*}

 

Así, finalmente, nuestra curva es

 

\displaystyle F(x) = \frac{1}{3} (x^2 - 1)^{\frac{3}{2}} - \sqrt{3}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗