Teorema fundamental del cálculo
El teorema fundamental del cálculo dice que la derivada de la integral 
de la función continua 
es la propia .
El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas.
Al integrar una función continua y luego derivarla se recupera la función original.
Ejemplo:
Hallar la derivada de
1 Notamos que 
, por lo que su diferencial 
2 Aplicando el teorema fundamental del cálculo tenemos
Ejemplo:
Hallar la derivada de
1 Primero cambiamos los límites de integración, ello produce que la integral cambie de signo
2 Notamos que , por lo que su diferencial
3 Aplicando el teorema fundamental del cálculo tenemos
Ejemplo:
Hallar la derivada de
1 Notamos que 
, por lo que su diferencial 
2 Aplicando el teorema fundamental del cálculo tenemos
Teorema de la media o del valor medio para integrales
Si una función es continua en un intervalo cerrado 
, entonces existe un punto 
en el interior del intervalo tal que:
Ejemplo:
Hallar el valor de del teorema de la media, para la función 
en el intervalo 
.
1 Calculamos el resultado de la integral definida
2 Como la función es continua en el intervalo , se puede aplicar el teorema de la media.
3 El valor de 
, el cual sustituimos en la igualdad anterior y despejamos
La solución positiva no es válida porque no pertenece al intervalo.
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Fe de erratas:
Ej. 3: sobra una raíz de x en el denominador antes del
Resultado final.
Ej.4: En el resultado final falta el signo menos.
Un saludo.
Hola revise los ejemplos de muchas ejercicios y no encontré los errores, podrías hacerme el favor de darme mas detalles para poder encontrarlos y quitar esos errores, seria de mucha ayuda.
Podrían brindarme información sobre el autor y la fecha de publicación del articulo? Estoy realizando una monografía en matemáticas y esta agina me ha servido mucho pero necesito esa información para referenciar correctamente la información.
¡Hola Yanela! 👋 Desde Superprof nos alegra que el artículo te haya sido útil. 😊 Para referenciarlo correctamente en tu monografía, puedes citarlo de la siguiente manera:
«Superprof. Ejercicios resueltos de integrales por sustitución. [En línea] Disponible en: [URL del artículo].»
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Veo un error en el ejercicio 9 a la hora de devolver la variable, recuerda que x^2+1 = u^2, no x^2+1 = u
Hola tienes razón, una disculpa y ya se corrigió.
Hay un error en el integral de seno de x multiplicado por coseno de x.
Haciendo sustitución queda u^2/2 lo que indica que es sen(x)^2/2.
Hola en tu razonamiento estas bien, pero hay una cuestión para resolver este ejercicio hay dos formas una como tu dices y otra usando identidades trigonométricas, puedes comprobar que sale el mismo resultado en la integral definida.
holaa, en el caso 4, en la última identidad están mal los signos, sería sen(a)sen(b)=1/2(cos(a-b)-cos(a+b))
Hola la manera en como presentas la fórmula esta bien, pero en la propiedad 4 que mencionas es lo mismo pero escrita de forma diferente, si multiplicas por el signo negativo queda igual a lo que tienes, si tienen alguna duda mencionalo.