Teorema fundamental del cálculo

 

El teorema fundamental del cálculo dice que la derivada de la integral {F(x)} de la función continua {f(x)} es la propia {f(x)}.

 

{F'(x)=f(x)}

 

El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas.

 

Al integrar una función continua y luego derivarla se recupera la función original.

 

Ejemplo:

Hallar la derivada de

{F(x)=\displaystyle\int_{1}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}\, dt}

 

1Notamos que {t=x}, por lo que su diferencial {dt = dx}

 

2Aplicando el teorema fundamental del cálculo tenemos

 

{F'(x)=\displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}}

 

Ejemplo:

Hallar la derivada de

{F(x)=\displaystyle\int_{x}^{1}\frac{1}{1+t^{2}}\, dt}

 

1Primero cambiamos los límites de integración, ello produce que la integral cambie de signo

 

{F(x)=\displaystyle\int_{x}^{1}\frac{1}{1+t^{2}}\, dt= -\displaystyle\int_{1}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}\, dt}

 

2Notamos que {t=x}, por lo que su diferencial {dt = dx}

 

3Aplicando el teorema fundamental del cálculo tenemos

 

{F'(x)=-\displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}}

 

Ejemplo:

Hallar la derivada de

{F(x)=\displaystyle\int_{1}^{x^{2}}\frac{1}{1+t^{2}}\, dt}

 

1Notamos que {t=x^{2}}, por lo que su diferencial {dt = 2x\, dx}

 

2Aplicando el teorema fundamental del cálculo tenemos

 

{F'(x)=\displaystyle\frac{1}{1+(x^{2})^{2}}\cdot 2x = \displaystyle\frac{2x}{1+x^{4}}}

 

 

Si una función es continua en un intervalo cerrado {[a,b]}, entonces existe un punto {c} en el interior del intervalo tal que:

 

{\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, dx=(b-a)\cdot f(c)}

 

grafica de una funcion continua

 

Ejemplo:

Hallar el valor de {c} del teorema de la media, para la función {f(x)=3x^{2}} en el intervalo {[-4,-1]}.

 

1Calculamos el resultado de la integral definida

 

{\displaystyle\int_{-4}^{-1}3x^{2} \, dx= \left. x^{3}\right |_{-4}^{-1}=-1+64=63}

 

2Como la función es continua en el intervalo {[-4,-1]}, se puede aplicar el teorema de la media.

 

{\begin{array}{rcl}63&=&[-1-(-4)]\cdot f(c) \\ && \\ 21 &=& f(c) \end{array}}

 

3El valor de {f(c)=3c^{2}}, el cual sustituimos en la igualdad anterior y despejamos {c}

 

{\begin{array}{rcl}21 &=& 3c^{2} \\ && \\ 7 &=& c^{2} \\ && \\ \pm\sqrt{7}&=& c \end{array}}

 

La solución positiva no es válida porque no pertenece al intervalo.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗