Métodos de integración

Integración por partes

 

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

 

En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador es menor que del denominador, si no fuera así se dividiría.

 

 

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

 

Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

 

Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como y se repite el proceso n veces.

 

Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando: v' = 1.

 

Integrales por sustitución o cambio de variable

 

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

 

 

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

 

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

 

 

Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:

 

 

2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

 

 

 

3º Se vuelve a la variable inicial:

 

 

Cambios de variables usuales

 

1

2

3

4

En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un mismo radicando lineal ax + b, el cambio de variable es t elevado al mínimo común múltiplo de los índices.

6 es par:

 

7 no es par:

 

Integrales racionales

 

 

 

Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores.

 

Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes tipos de integrales racionales:

 

Caso 1: Integrales racionales con raíces reales simples

La fracción puede escribirse así:

Los coeficientes A, B y C son números que que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x.

Ejemplo

Se efectúa la suma:

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la x los valores que anulan al denominador.

 

Caso 2: Integrales racionales con raíces reales múltiples

La fracción puede escribirse así:

Ejemplo

Para calcular los valores de A, B y C, damos a x los valores que anulan al denominador y otro más.

 

Caso 3: Integrales racionales con raíces complejas simples

La fracción puede escribirse así:

Esta integral se descompone en una de tipo logarítmico y otra de tipo arcotangente.

Ejemplo

Hallamos los coeficientes realizando las operaciones e igualando coeficientes:

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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