Métodos de integración

 

Integración por partes

 

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

 

\displaystyle \int{u \cdot v' dx} = u \cdot v - \int{u' \cdot v dx}

 

En las integrales racionales, donde el numerador y el denominador son polinomios, suponemos que el grado del numerador es menor que del denominador, si no fuera así, se dividiría.

 

Recomendaciones a considerar al utilizar integración por partes:

 

  • Las funciones logarítmicas se eligen como  u.
  • Las funciones trigonométricas inversas (arcoseno, arcocoseno, arcotangente, etc.) se eligen como  u.
  • Los polinomios se eligen como  u.
  • Las funciones exponenciales del tipo seno y coseno, se eligen como v'.
  • Las funciones trigonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.
  • Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.
  • Si tenemos una integral con sólo un logaritmo, integramos por partes tomando: v' = 1.
  • Si tenemos una integral con sólo una trigonométrica inversa, integramos por partes tomando: v' = 1.

 

Integrales por sustitución o cambio de variable

 

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la composición de dos funciones.

 

\displaystyle \int{f(u) du} = F(u) + C.

 

Si nuestro integrando f(u)du podemos expresarlo como f(g(t))g'(t)dt, en donde u = g(t),entonces tendríamos

 

\displaystyle \int{f(g(t))g'(t) dt} = F(g(t)) + C

 

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

 

Pasos para integrar por cambio de variable

 

\displaystyle \int{f(u) du}

 

1Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

 

\displaystyle g(t) = u

 

\displaystyle g'(t)dt = du

 

2 Se despeja du y sutituyendo en la integral u y du:

 

\displaystyle \int{f(u)du} = \int{f(g(t))g'(t)dt}

 

3Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

\displaystyle \int{f(g(t))g'(t) dt} = F(g(t)) + C

 

4 Se vuelve a la variable inicial:

 

\displaystyle F(g(t)) + C = F(u) + C

 

Cambios de variables usuales

 

  • \displaystyle \int{\sqrt{a^2 - x^2} dx}, \qquad x = a \sin(t)

 

  • \displaystyle \int{\sqrt{a^2 + x^2} dx}, \qquad x = a \tan(t)

 

  • \displaystyle \int{\sqrt{x^2 - a^2} dx}, \qquad x = a \sec(t)

 

  • \displaystyle \int{\sqrt[n]{\frac{ax + b}{cx + d}} dx}, \qquad t  = \frac{ax + b}{cx + d}

 

 

En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un mismo radicando lineal ax + b, el cambio de variable es t elevado al mínimo común múltiplo de los índices.

 

 

Superprof

Integrales racionales

 

Las integrales racionales tienen la forma

 

\displaystyle \int{\frac{P(x)}{Q(x)}dx}

 

en donde P(x) y Q(x) son polinomios.

 

Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores.

 

Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes tipos de integrales racionales:

 

Caso 1: Integrales racionales con raíces reales simples

 

La fracción  \frac{P(X)}{Q(X)} puede escribirse así:

 

 \displaystyle \frac{P(X)}{Q(X)} = \frac{A}{(x-a)} + \frac{B}{(x - b)} + \frac{C}{(x - c)} + \cdots

 

Los coeficientes A, B y C son números que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x.

 

Ejemplo 

 

\displaystyle\int{\frac{3x^3 + 5x}{x^2 - x - 2 }dx}

 

1 Notemos que como el grado del denominador no es mayor que el del numerador, entonces primero debemos realizar la división para poder transformar esta fracción en la suma de un polinomio con otra fracción que si tenga un denominador con grado mayor que el numerador. Si realizamos la división de los polinomios dentro de la integral tenemos que

 

 \displaystyle \frac{3x^3 + 5x}{x^2 - x - 2 } = 3x + 3 + \frac{14x + 6}{x^2 - x- 2}

 

2 por lo que nuestra integral la podríamos escribir como

 

 \displaystyle \int{\frac{3x^3 + 5x}{x^2 - x - 2 }dx} = \int{ \left( 3x + 3 + \frac{14x + 6}{x^2 - x- 2} \right) dx}

 

3 Ahora, tenemos que la fracción \frac{14x + 6}{x^2 - x- 2} si cumple que el denominador es de mayor grado que el numerador.  Tenemos que podemos factorizar el denominador como el producto x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1),  así

 

 \displaystyle \frac{14x + 6}{x^2 - x- 2} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}.

 

4Se efectúa la suma para conseguir los valores de A y B:

 

\displaystyle \frac{14x + 6}{x^2 - x- 2} = \frac{A(x+1) + B(x-2)}{(x - 2)(x+1)}

5 Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

 

\displaystyle 14x + 6= A(x + 1)+ B(x - 2 )

6 Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la  x los valores que anulan al denominador.

 

\displaystyle x = -1, \qquad -8 = -3B,  \qquad B = \frac{8}{3}

 

\displaystyle x = 2, \qquad 34 = 3A, \qquad A = \frac{34}{3}

 

7Así,  finalmente tenemos que nuestra integral la podemos expresar como

 

 \displaystyle \int{\frac{3x^3 + 5x}{x^2 - x - 2 }dx}  = \int{\left( 3x + 3 \right)dx} +  \frac{34}{3} \int{\frac{1}{(x-2)}dx} + \frac{8}{3} \int{\frac{1}{x + 1}dx} .

 

8 Notemos que estas son sumas de integrales más fáciles de resolver, en donde

 

     \begin{align*} & \int{\left( 3x + 3 \right)dx} +  \frac{34}{3} \int{\frac{1}{(x-2)}dx} + \frac{8}{3} \int{\frac{1}{x + 1}dx}\\ & = \frac{3}{2}x^2 + 3x + \frac{34}{3}\ln{(x-2)} + \frac{8}{3}\ln{(x + 1)} + C. \end{align*}

 

9 O bien, en términos de nuestra integral inicial

 

\displaystyle \int{\frac{3x^3 + 5x}{x^2 - x - 2 }dx}  = \frac{3}{2}x^2 + 3x + \frac{34}{3}\ln{(x-2)} + \frac{8}{3}\ln{(x + 1)} + C.

 

Caso 2: Integrales racionales con raíces reales múltiples

 

 

La fracción  \frac{P(X)}{Q(X)} , en donde Q(x) tiene n  veces el factor (x - a), puede escribirse así:

 

 \displaystyle \frac{P(X)}{Q(X)} = \frac{A_1}{(x - a)} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \cdots + \frac{A_n}{(x - a)^n} + \frac{B}{(x-b)} +  \frac{C}{(x - c)} + \cdots

 

Ejemplo 

 

 \displaystyle \int{\frac{3x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1}dx}

 

1 Notemos que el denominador lo podemos expresar como el producto

 

 \displaystyle x^3 - x^2 - x + 1 = (x - 1)^2 (x + 1),

 

2 Por lo tanto podemos expresar la fracción como

 

 \displaystyle \frac{3x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1} = \frac{A_1}{(x-1)} + \frac{A_2}{(x-1)^2} + \frac{B}{(x + 1)}.

 

3 Realizando la suma de las fracciones tenemos

 

\displaystyle 3x + 5 = A_1(x-1)(x+1) + A_2(x+1) + B(x-1)^2.

 

4 Para calcular los valores de A_1A_2  y B, damos a x los valores que anulan al denominador y otro más:

 

\displaystyle x = 1, \qquad 8 = 2A_2, \qquad A_2 = 4

 

\displaystyle x = -1, \qquad 2 = 4B, \qquad B = \frac{1}{2}

 

\displaystyle x = 0, \qquad 5 =- A_1 + A_2 + B, \qquad A_1 = -\frac{1}{2}

 

5 Así, podemos expresar nuestra integral como

 

 \displaystyle \int{\frac{3x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1}dx} = -\frac{1}{2}\int{\frac{1}{(x-1)} dx} + 4 \int{\frac{1}{(x-1)^2}dx} + \frac{1}{2} \int{\frac{1}{(x + 1)}dx}.

 

 

6 Esta es una suma de integrales más sencillas cuyo resultado es

 

     \begin{align*} & -\frac{1}{2}\int{\frac{1}{(x-1)} dx} + 4 \int{\frac{1}{(x-1)^2}dx} + \frac{1}{2} \int{\frac{1}{(x + 1)}dx} \\ & = -\frac{1}{2} \ln{(x - 1)} - \frac{4}{x - 1}  + \frac{1}{2}\ln{(x + 1)} + C. \end{align*}

 

7 O bien, en términos de nuestra integral inicial

 

\displaystyle \int{\frac{3x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1}dx} = -\frac{1}{2} \ln{(x - 1)} - \frac{4}{x - 1}  + \frac{1}{2}\ln{(x + 1)} + C.

 

 

Caso 3: Integrales racionales con raíces complejas simples

 

La fracción  \frac{P(x)}{Q(x)}, en donde Q(x) tiene alguna raíz compleja  (no se pude expresar en factores simples reales),  puede escribirse así:

 

\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{Ax + B}{ax^2 + bx + c} + \frac{C}{(x- c)} + \frac{D}{(x - d)} + \cdots

Esta integral se descompone en la suma de integrales de tipo logarítmico y de trigonométricas inversas.

 

Ejemplo

 

\displaystyle  \int{\frac{2x^2 - 3x + 2}{x^3 + x}dx}

 

1 Notemos que el denominador lo podemos factorizar como x^3 + x = x(x^2 + 1). No podemos factorizar más x^2 + 1 en producto de factores simples reales, por lo que lo dejamos como un factor de grado dos. Así

 

\displaystyle  \frac{2x^2 - 3x + 2}{x^3 + x} = \frac{Ax + B}{x^2 + 1} + \frac{C}{x}

2 Realizando la suma tenemos que

 

\displaystyle  2x^2 - 3x + 2 = (Ax + B)x + C(x^2 + 1)).

 

3 Hallamos los coeficientes realizando las operaciones e igualando coeficientes:

 

\displaystyle 2x^2 - 3x + 2 = (A + C)x^2 + Bx + C.

 

4 Entonces obtenemos que

 

     \begin{align*} C & = 2\\ B & = -3 \end{align*}

 

5 Además

 

\displaystyle A + C = A + 2 = 2

 

6 por lo que tenemos que

 

\displaystyle A = 0.

7 Así, podemos escribir nuestra integral como

 

\displaystyle \int{\frac{2x^2 - 3x + 2}{x^3 + x}dx} = -3 \int{\frac{1}{x^2 + 1}dx} + 2 \int{\frac{1}{x}dx}

 

8 la cual es más fácil de integral y cuyo resultado es

 

\displaystyle -3 \int{\frac{1}{x^2 + 1}dx} + 2 \int{\frac{1}{x}dx} = 2 \ln{(x)} - 3 \arctan{(x)} + C.

 

9 O bien, en términos de nuestra integral inicial

 

\displaystyle \int{\frac{2x^2 - 3x + 2}{x^3 + x}dx} = 2 \ln{(x)} - 3 \arctan{(x)} + C.

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) (11 votes, average: 4,36 out of 5)
Cargando…

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

¿Te ha gustado
este material?

¡Bravo!

¡Descárgatelo en formato PDF poniendo tu correo electrónico!

{{ downloadEmailSaved }}

Tu correo electrónico no es válido

3
Publicar un comentario

avatar
  S’abonner  
Notifier de
marrer
marrer
Invité
21 Nov.

Muchas gracias, es de mucha utilidad sus clases

hurtado
hurtado
Invité
26 Nov.

hola, en el resultado del segundo caso, la última integral no seria el logaritmo neperiano de la función al cuadrado?

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
22 Feb.

Hola Hurtado,
 
si te refieres a la integral intermedia de 4/(x-1)^2 esta se resuelve aplicando previamente las propiedades de los exponentes 4/(x-1)^2=4(x-1)^(-2) con la fórmula int (u)^(n) u’dx = [u^(n+1)]/(n+1) + c.
 
Espero haber resuelto tu duda, en caso de que la duda sea otra, te invito a indicárnosla.
 
Espero haber sido de ayuda.