Integral de una constante

La integral de una constante es igual a la constante por la variable x.

{ \int k dx = k\cdot x + C }

Superprof

Integral de cero

La integral de cero es igual a la constante C.

{ \int 0 dx = C }

 

Integral de una potencia

La integral de una potencia es igual a la variable elevada a la potencia n+1 sobre n+1 sumando una constante.

\displaystyle { \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad\quad n\neq 1}

 

\displaystyle { \int u^n \cdot u^{'} du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \qquad\quad n\neq 1}

 

Ejemplos de integrales

 

1{ \int 7 dx }

{ \int 7 dx = 7x + C }

 

2{ \int x^6 dx }

\displaystyle { \int x^6 dx = \frac{x^{6+1}}{6+1} + C = \frac{x^7}{7} + C }

 

3{ \int 7 x^3 dx }

\displaystyle { \int 7 x^3 dx = \frac{7 x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{7 x^4}{4} + C }

 

4\displaystyle { \int x^{\frac{2}{3}} dx }

\displaystyle { \int x^{\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} + C = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C = \frac{3 \sqrt[3]{x^5}}{5} + C = \frac{3 \sqrt[3]{x^3\cdot x^2}}{5} + C = \frac{3 x\cdot \sqrt[3]{x^2}}{5} + C}

 

5\displaystyle { \int \frac{3}{x^4} dx }

\displaystyle { \int \frac{3}{x^4} dx = \int 3x^{-4} dx = \frac{3x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{3x^{-3}}{-3} + C = -x^{-3} + C = -\frac{1}{x^{3}} + C }

 

6{ \int \sqrt[3]{x} dx }

\displaystyle { \int \sqrt[3]{x} dx = \int x^{\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + C = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{{\frac{4}{3}}} + C = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C =\frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} + C }

 

7\displaystyle { \int \frac{1}{\sqrt[4]{x}} dx }

\displaystyle { \int \frac{1}{\sqrt[4]{x}} dx = \int x^{\frac{-1}{4}} dx = \frac{x^{\frac{-1}{4}+1}}{\frac{-1}{4}+1} + C = \frac{x^{\frac{3}{4}}}{\frac{3}{4}}} + C = \frac{4}{3}x^{\frac{3}{4}} + C =\frac{4}{3}\sqrt[4]{x^3} + C}

 

8\displaystyle { \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} dx }

\displaystyle { \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} dx = \int x^{\frac{-2}{3}} dx = \frac{x^{\frac{-2}{3}+1}}{\frac{-2}{3}+1}}+ C = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} + C = 3\sqrt[3]{x} + C }

 

9\displaystyle { \int \frac{1}{x^2 \sqrt[5]{x^2}} dx }

\displaystyle { \int \frac{1}{x^2 \sqrt[5]{x^2}} dx = \int x^{-2} x^{\frac{-2}{5}} dx = \int x^{\frac{-12}{5}} dx = \frac{x^{\frac{-7}{5}}}{\frac{-7}{5}} + C = -\frac{5}{7 \sqrt[5]{x^7}} +C }

 

10{ \int (x^4 - 6x^2 -2x + 4) dx }

\displaystyle { \int (x^4 - 6x^2 -2x + 4) dx = \frac{x^5}{5} - \frac{6x^3}{3} -\frac{2x^2}{2} + 4x + C = \frac{x^5}{5} - 2x^3 - x^2 + 4x + C }

 

11\displaystyle { \int (3\sqrt{x} + \frac{10}{x^6}) dx }

\displaystyle { \int (3\sqrt{x} + \frac{10}{x^6}) dx = \int (3x^{\frac{1}{2}} + 10x^{-6}) dx = \frac{3x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{10 x^{-5}}{5} + C = 2x\sqrt{x} - \frac{2}{x^5} + C }

 

12\displaystyle { \int (\frac{x^2 + \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x}}) dx }

\displaystyle { \int (\frac{x^2 + \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x}}) dx = \int (\frac{x^2}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x}}) dx = \int (x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{6}}) dx = }

\displaystyle { = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + \frac{x^{\frac{7}{6}}}{\frac{7}{6}} + C = \frac{2\sqrt{x^5}}{5} + \frac{6\sqrt[6]{x^7}}{7} +C = \frac{2x^2\sqrt{x}}{5} + \frac{6x\sqrt[6]{x}}{7} + C }

 

13\displaystyle { \int (\sqrt{5x} + \sqrt{\frac{5}{x}}) dx }

\displaystyle { \int (\sqrt{5x} + \sqrt{\frac{5}{x}}) dx = \int (\sqrt{5}x^{\frac{1}{2}} +\sqrt{5}x^{\frac{-1}{2}}) dx = \sqrt{5}\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + \sqrt{5}\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = }

\displaystyle { \frac{2\sqrt{5}x\sqrt{x}}{3} + 2\sqrt{5}\sqrt{x} + C = \frac{2x\sqrt{5x}}{3} + 2\sqrt{5x} + C }

 

14\displaystyle { \int (\frac{3\sqrt{x}- 5\sqrt[3]{x^2}}{2\sqrt[4]{x}}) dx }

\displaystyle { \int (\frac{3\sqrt{x}- 5\sqrt[3]{x^2}}{2\sqrt[4]{x}}) dx = \int (\frac{3\sqrt{x}}{2\sqrt[4]{x}} - \frac{5\sqrt[3]{x^2}}{2\sqrt[4]{x}}) dx = \int (\frac{3}{2}x^{\frac{1}{4}} - \frac{5}{2}x^{\frac{5}{12}}) dx = }

\displaystyle { = \frac{3}{2}\frac{x^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} - \frac{5}{2}\frac{x^{\frac{17}{12}}}{\frac{17}{12}} + C = \frac{6}{5}\sqrt[4]{x^5} - \frac{30}{17}\sqrt[12]{x^{17}} + C}

 

15{ \int \sin x \cos x dx }

\displaystyle { \int \sin x \cos x dx = \frac{1}{2}\sin^2 x + C }

 

16\displaystyle { \int \sin^2 \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} dx }

\displaystyle { \int \sin^2 \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} dx = 2 \int \sin^2 \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} dx = \frac{2}{3}\sin^{3} (\frac{x}{2}) +C }

 

17{ \int (\tan^3 x + \tan^5 x) dx }

\displaystyle { \int (\tan^3 x + \tan^5 x) dx = \int \tan^3 x (1+ \tan^2 x) dx = \frac{1}{4}\tan^4 x + C }

 

18{ \int \sec^2 x \sqrt{\tan x} dx }

\displaystyle { \int \sec^2 x \sqrt{\tan x} dx = \int \sec^2 x (\tan x)^{\frac{1}{2}} dx = \frac{(\tan x)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}\sqrt{\tan^3 x} +C }

 

19{ \int \cot x \sqrt{In \sin x} dx }

\displaystyle { \int \cot x \sqrt{In \sin x} dx = \int\cot x (In \sin x)^{\frac{1}{2}} dx = \frac{(In \sin x)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}\sqrt{(In \sin x)^3} + C }

 

20\displaystyle { \int \frac{\sin 3x}{\sqrt{2 + \cos 3x}} dx }

\displaystyle { \int \frac{\sin 3x}{\sqrt{2 + \cos 3x}} dx = -\frac{1}{3} \int (2 + \cos 3x)^{\frac{-1}{2}} \sin 3x (-3) dx = -\frac{2}{3} \sqrt{2+\cos 3x} + C }

 

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Marta

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Poe
Poe
Invité
3 Sep.

Gracias por los ejercicios

Superprof
Superprof
Administrateur
5 Sep.

¡Estamos muy contentos de que te hayan gustado, Poe!

FAJARDO
FAJARDO
Invité
1 Abr.

Muchas gracias, excelente articulo

bocarejo
bocarejo
Invité
3 Abr.

∫(ln (x) )/〖2x〗^3 dx quisera preguntar si el dos se multiplica por el 3 y queda 6x o x-6

Karla Paulette Flores Silva
Karla Paulette Flores Silva
Editor
9 Jun.

Hola,

Esta integral no es inmediata, de hecho necesitas integración por partes. Nota que en este último link, el ejercicio de al final es prácticamente idéntico excepto por el 2 del denominador, pero el procedimiento es igual: tomas u=ln x y v’=1/2x³ y calculas los diferenciales considerando este cambio.

Espero haber sido de ayuda,
Saludos

Garzón
Garzón
Invité
5 Abr.

Integral definida ^ 1 d/dt [e^t+2t-1/3+ln(1+t)] dt Por favor su ayuda explicando este ejercicio
v 0

Karla Paulette Flores Silva
Karla Paulette Flores Silva
Editor
10 Jun.

Hola Garzón,

Primero calculamos la derivada de los paréntesis cuadrados

01 d/dt [et+2t-1/3+ln (1+t)] dt =∫ 01 et+2+1/(1+t) dt

Calculamos la integral

01 et+2+1/(1+t) dt= et+2t+ln (1+t)|01

Evaluamos en los límites 1 y 0

[e1+2(1)+ln (1+1)]-[e0+2(0)+ln (1+0)]=e+2+ln (2)-1=e+1+ln 2

Espero haber sido de ayuda,
Saludos

Garzón
Garzón
Invité
5 Abr.

Integral diefinida ^1v0 d/dt [e^t+2t-1/3+ln (1+t)] dt Como puedo resolver este ejercicio

Karla Paulette Flores Silva
Karla Paulette Flores Silva
Editor
10 Jun.

Hola Garzón,

Primero calculamos la derivada de los paréntesis cuadrados

01 d/dt [et+2t-1/3+ln (1+t)] dt =∫ 01 et+2+1/(1+t) dt

Calculamos la integral

01 et+2+1/(1+t) dt= et+2t+ln (1+t)|01

Evaluamos en los límites 1 y 0

[e1+2(1)+ln (1+1)]-[e0+2(0)+ln (1+0)]=e+2+ln (2)-1=e+1+ln 2

Espero haber sido de ayuda,
Saludos

Mares
Mares
Invité
6 Abr.

Excelente información, muy sencillo y fácil de entender…. Gracias

Superprof
Superprof
Administrateur
6 Abr.

¡Gracias!

Díaz
Díaz
Invité
7 Abr.

¡¡Gracias por compartir!!

Superprof
Superprof
Administrateur
7 Abr.

Siempre es un placer compartir nuestros conocimientos. 🙂

Hector
Hector
Invité
17 Abr.

Estimada, buenas tardes…. buscando en internet los encontré…. y revisando una fórmula que no recordaba me di cuenta que en la última integral (la del arctan(x)) hay un error en el signo del denominador…. eso…. saludos.

Karla Paulette Flores Silva
Karla Paulette Flores Silva
Editor
11 Jun.

Hola,

¿La integral que nos comentas se encuentra en esta página? La última integral que hemos puesto en los ejercicios es correcta.

¡saludos!

Guillin
Guillin
Invité
18 Abr.

Buenos días ing una consulta en el ejercicio 7 como hizo para lograr bajar de raíz cuarta a raíz cúbica, le agradecería por su amable respuesta

Karla Paulette Flores Silva
Karla Paulette Flores Silva
Editor
12 Jun.

Hola,

Gracias a tu pregunta dimos con un pequeño error que ya hemos corregido.

¡saludos!

Paniagua Soto
Paniagua Soto
Invité
21 Abr.

Con todo respeto en la soluciòn de la 2 de la VI parte el 3 no es factor comùn.
a mi me da: 2x + tan x + C

Superprof
Superprof
Administrateur
6 Jun.

Hola, parece que no hemos recibido tu comentario en la página del ejercicio que nos mencionas. ¿Podrías escribirnos con el título de la página para poder corregir el error? ¡Un saludo!

Chacaltana
Chacaltana
Invité
20 Jul.

Gracias por la explicación!

Superprof
Superprof
Administrateur
20 Jul.

¡Es un placer! 🙂