Resolver las siguientes integrales

1\displaystyle \int \cfrac{1}{x^{2}\sqrt[5]{x^{2}}}\, dx

Para resolver la integral subimos el denominador y simplificamos las potencias, luego aplicamos la integral inmediata de potencias.

\displaystyle \int \cfrac{1}{x^{2}\sqrt[5]{x^{2}}}\, dx=\int x^{-2}x^{-\frac{2}{5}}dx=\int x^{-\frac{12}{5}}dx=\cfrac{x^{-\frac{12}{5}+1}}{-\frac{12}{5}+1}

 

=\cfrac{x^{-\frac{7}{5}}}{-\frac{7}{5}}=-\cfrac{5}{7\sqrt[5]{x^{7}}}+\textup{C}


2 \displaystyle \int (x+2)^{3}dx

Para resolver la integral hacemos el cambio de variable {u = x+2 \quad du = dx} y luego aplicamos la integral inmediata de potencias.

\displaystyle \int (x+2)^{3}dx=\frac{1}{4}\, (x+2)^{4}+\textup{C}


3\displaystyle \int (2x+1)(x^{2}+x+1)\, dx

Para resolver la integral hacemos el cambio de variable {u = x^2 + x + 1 \quad du =(2x+1) dx}, luego aplicamos la integral inmediata de potencias.

\displaystyle \int (2x+1)(x^{2}+x+1)\, dx=\frac{1}{2}\, (x^{2}+x+1)^{2}+\textup{C}


4\displaystyle \int \cfrac{x+1}{\sqrt[3]{x^{2}+2x+7}}\, dx

Para resolver la integral hacemos el cambio de variable {u = x^2 + 2x + 7 \quad du =(2x+2) dx}, luego aplicamos la integral inmediata de potencias.

\displaystyle \int \cfrac{x+1}{\sqrt[3]{x^{2}+2x+7}}\, dx=\frac{1}{2}\int (2x+2)(x^{2}+2x+7)^{-\frac{1}{3}}dx

 

=\dfrac{1}{2}\cdot \cfrac{(x^{2}+2x+7)^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}}=\dfrac{3}{4}\sqrt[3]{(x^{2}+2x+7)^{2}}+\textup{C}

 


5\displaystyle \int \sin 2x\cos 2x\, dx

Para resolver la integral hacemos el cambio de variable {u = \sin 2x \quad du = 2\cos 2x dx}, luego aplicamos la integral inmediata de potencias.

\displaystyle \int \sin 2x\cos 2x\, dx=\cfrac{1}{2}\int \sin2x\cos2x\cdot 2dx=\frac{1}{4}\sin^{2}2x+\textup{C}


6\displaystyle \int \sin^{4}x\cos x\, dx

Para resolver la integral hacemos el cambio de variable {u = \sin x \quad du = \cos x dx}, luego aplicamos la integral inmediata de potencias.

\displaystyle \int \sin^{4}x\cos x\, dx=\frac{1}{5}\sin^{5}x+\textup{C}


7\displaystyle \int \tan^{2}x\sec^{2}x\, dx

Para resolver la integral hacemos el cambio de variable {u = \tan x \quad du = \sec^2 x dx}, luego aplicamos la integral inmediata de potencias.\displaystyle \int \tan^{2}x\sec^{2}x\, dx = \frac{1}{3}\tan^3x + \textup{C}


8\displaystyle \int \cfrac{\arctan x}{1+x^{2}}\, dx

Para resolver la integral hacemos el cambio de variable {u = 1 + x^2 \quad du = \arctan x dx}, luego aplicamos la integral inmediata de potencias.

\displaystyle \int \cfrac{\arctan x}{1+x^{2}}\, dx=\frac{1}{2}(\arctan x)^{2}+\textup{C}

 

9\displaystyle \int \cfrac{2x}{1+x^{2}}\, dx

Para resolver la integral hacemos el cambio de variable {u = 1 + x^2 \quad du = 2x dx}, luego aplicamos la integral inmediata {\int \frac{1}{x}dx = \ln x}.\displaystyle \int \cfrac{2x}{1+x^{2}}\, dx=\ln (1+x^{2})+\textup{C}


10\displaystyle \int \tan x\, dx

Para resolver la integral utilizamos la definición de la tangente en términos de seno y coseno, luego aplicamos la integral inmediata {\int \frac{1}{x}dx = \ln x}.\displaystyle \int \tan x\, dx=\int \cfrac{\sin x}{\cos x}\, dx=-\int \frac{-\sin x}{\cos x}=-\ln \cos x+\textup{C}


11\displaystyle \int \cfrac{5^{3x}}{5^{3x}+7}\, \, dx

Para resolver la integral hacemos un cambio de variable {u = 5^{3x} + 7 \quad du = 3\cdot \ln 5 \cdot 5^{3x}}, luego aplicamos la integral inmediata {\int \frac{1}{x}dx = \ln x}.\displaystyle \int \cfrac{5^{3x}}{5^{3x}+7}\, \, dx=\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{1}{\ln 5}\int \cfrac{3\cdot 5^{3x}\ln 5}{5^{3x}+7}\, dx=\cfrac{1}{3\ln 5}\, \ln (5^{3x}+7)+\textup{C}


12\displaystyle \int \cfrac{1}{x\ln x}\, dx

Para resolver la integral hacemos un cambio de variable {u = \ln x \quad du = \cfrac{1}{x}dx}, luego aplicamos la integral inmediata {\int \frac{1}{x}dx = \ln x}.\displaystyle \int \cfrac{1}{x\ln x}\, dx=\int \cfrac{\cfrac{1}{x}}{\ln x}\, dx=\ln (\ln x)+\textup{C}


13\displaystyle \int \cfrac{1}{\cos^{2}x \tan x}\, dx

Para resolver la integral hacemos un cambio de variable {u = \tan x \quad du = \sec^2x dx}, luego aplicamos la integral inmediata {\int \frac{1}{x}dx = \ln x}.\displaystyle \int \cfrac{1}{\cos^{2}x \tan x}\, dx=\int \cfrac{\sec^{2}x }{\tan x}\, dx=\ln (\tan x)+\textup{C}


14\displaystyle \int \cfrac{x+1}{x}\, dx

Para resolver la integral separamos la integral y luego aplicamos la integral inmediata {\int \frac{1}{x}dx = \ln x}.\displaystyle \int \cfrac{x+1}{x}\, dx=\int \left ( 1+\cfrac{1}{x} \right )dx=x+\ln x+\textup{C}


15\displaystyle \int \cfrac{x+1}{x-5}\, dx

Para resolver la integral agregar un cero para poder separarla en dos integrales y luego aplicamos la integral inmediata {\int \frac{1}{x}dx = \ln x}.\displaystyle \int \cfrac{x+1}{x-5}\, dx=\int \cfrac{x+1-5+5}{x-5}\, dx=\int \cfrac{x-5}{x-5}\, dx+\int \cfrac{6}{x-5}\, dx \displaystyle = \int dx +\int \cfrac{6}{x-5}\, dx=\int \cfrac{x-5}{x-5}\, dx+\int \cfrac{6}{x-6}\, dx = x + 6\ln (x-5) + \textup{C}


16\displaystyle \int \cfrac{3x^{3}+5x}{x^{2}+1}\, dx

Para resolver la integral comenzamos por hacer una división sinténtica poder separarla en dos integrales y luego aplicamos la integral inmediata {\int \frac{1}{x}dx = \ln x}, con un cambio de variable {u = x^2 + 1 \quad du = 2xdx}.

\begin{matrix} 3x^{3}+5x\\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; 2x \end{matrix}\; \; \; \begin{matrix} \underline{\mid x^{2}+1}\\ 3x \end{matrix}

 

\displaystyle \int \cfrac{3x^{3}+5x}{x^{2}+1}\, dx=\int \left ( 3x+\cfrac{2x}{x^{2}+1} \right )dx=\cfrac{3}{2}\, x^{2}+\ln (x^{2}+1)+\textup{C}

 

17 \displaystyle \int e^{2x+2}dx

Para resolver la integral hacemos un cambio de variable {u = 2x+2 \quad du = 2dx} y luego aplicamos la integral inmediata {\int e^xdx = e^x}.\displaystyle \int e^{2x+2}dx=\frac{1}{2}\, e^{2x+2}+\textup{C}


18\displaystyle \int 5^{x}dx

Para resolver la integral aplicamos la integral inmediata {\int a^xdx = \cfrac{a^x}{\ln a}}.\displaystyle \int 5^xdx = \cfrac{5^{x}}{\ln 5} + \textup{C}


19\displaystyle \int 2^{x}\cdot 5^{x}dx

Para resolver la integral aplicamos la integral inmediata {\int a^xdx = \cfrac{a^x}{\ln a}}.\displaystyle \int 2^{x}\cdot 5^{x}dx=\int 10^{x}dx=\frac{10^{x}}{\ln 10}+\textup{C}


20\displaystyle \int 8^{3x+1}dx

Para resolver la integral hacemos un cambio de variable {u = 3x + 1 \quad du = 3dx} aplicamos la integral inmediata {\int a^xdx = \cfrac{a^x}{\ln a}}.\displaystyle \int 8^{3x+1}dx=\cfrac{1}{3}\int 8^{3x+1}\cdot 3\, dx=\cfrac{1}{3\ln 8}\cdot 8^{3x+1}+\textup{C}


21\displaystyle \int \cfrac{e^{\ln x}}{x}\, dx

Para resolver la integral hacemos un cambio de variable {u = \ln x \quad du = \cfrac{1}{x}dx} y luego aplicamos la integral inmediata {\int e^xdx = e^x}.\displaystyle \int \cfrac{e^{\ln x}}{x}\, dx = e^{\ln x}+ \textup{C}.

 

22\displaystyle \int e^{\sin x}\cos x\, dx

Para resolver la integral hacemos un cambio de variable {u = \sin x \quad du = \cos x dx} y luego aplicamos la integral inmediata {\int e^xdx = e^x}.\displaystyle \int e^{\sin x}\cos x\, dx=e^{\sin x}+\textup{C}


23 \displaystyle \int \cfrac{e^{\arcsin x}}{\sqrt{1-x^{2}}}\, dx

Para resolver la integral hacemos un cambio de variable {u = \arcsin x \quad du = \cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx} y luego aplicamos la integral inmediata {\int e^xdx = e^x}.\displaystyle \int \cfrac{e^{\arcsin x}}{\sqrt{1-x^{2}}}\, dx=\int \cfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\, e^{\arcsin x}dx=e^{\arcsin x}+\textup{C}

 

24\displaystyle \int (3-\sin x)dx

Comenzamos por separar la integral y aplicar las respectivas integrales inmediatas {\int \sin xdx = -\cos x} \displaystyle \int (3-\sin x)dx=3x+\cos x+\textup{C}


25\displaystyle \int \sin (3x+5)\, dx

Comenzamos por hacer un cambio de variable {u = 3x + 5 \quad du=3dx} y aplicar la integral inmediata {\int \sin xdx = -\cos x} \displaystyle \int \sin (3x+5)\, dx=\cfrac{1}{3}\int \sin (3x+5)\cdot 3\, dx=-\cfrac{1}{3}\cos (3x+5)+\textup{C}


26\displaystyle \int (x+1)\sin (x^{2}+2x+3)\, dx

 

Comenzamos por hacer un cambio de variable {u = x^2 + 2x + 3 \quad du=(2x+2)dx = 2(x+1)dx} y aplicar la integral inmediata {\int \sin xdx = -\cos x}

\displaystyle \int (x+1)\sin (x^{2}+2x+3)\, dx=\cfrac{1}{2}\int (2x+2)\sin (x^{2}+2x+3)\, dx

 

=-\frac{1}{2}\cos (x^{2}+2x+3)+\textup{C}

 


27\displaystyle \int e^{x}\sin e^{x}\, dx

 

Comenzamos por hacer un cambio de variable {u = e^x \quad du=e^xdx} y aplicar la integral inmediata {\int \sin xdx = -\cos x} \displaystyle \int e^{x}\sin e^{x}\, dx=-\cos e^{x}+\textup{C}


28\displaystyle \int \sin 2x\, dx

 

Comenzamos por hacer un cambio de variable {u = 2x \quad du=2dx} y aplicar la integral inmediata {\int \sin xdx = -\cos x} \displaystyle \int \sin 2x\, dx=\cfrac{1}{2}\int \sin 2x\cdot 2\, dx=-\cfrac{1}{2}\cos 2x +\textup{C}


29\displaystyle \int \sin^{2}2x\, dx

 

Comenzamos por utilizar la identidad {\sin^2x = \cfrac{1-4\cos 4x}{2}}, separar la integrar y aplicar la integral inmediata {\int \cos xdx = \sin x}, con un cambio de variable {u=4x \quad du=4dx}.\displaystyle \int \sin^{2}2x\, dx=\cfrac{1-4\cos 4x}{2}\, dx=\cfrac{1}{2}\, x-\cfrac{1}{8}\sin 4x +\textup{C}


30\displaystyle \int \sin^{3}x\, dx

 

Comenzamos por separar el seno y utilizar la identidad trigonométrica {\sin^2x = 1 - cos^2x}, aplicar la integral inmediata {\int \sin xdx = -\cos x} y un cambio de variable {u = \cos x \quad du = -\sin xdx}

\displaystyle \int \sin^{3}x\, dx=\int \sin^{2}x\cdot \sin x\, dx=\int (1-\cos^{2}x)\sin x\, dx

 

\displaystyle =\int (\sin x-\cos^{2}x\sin x)\, dx=-\cos x +\cfrac{1}{3}\cos^{3}x+\textup{C}

 

31\displaystyle \int (2x+\cos x)dx

Comenzamos por separar la integral y aplicar la integral inmediata {\int \cos xdx = \sin x} \displaystyle \int (2x+\cos x)dx=x^{2}+\sin x +\textup{C}


32\displaystyle \int \cos (2x+5)dx

Comenzamos por hacer un cambio de variable {u = 2x + 5 \quad du=2dx} y aplicar la integral inmediata {\int \sin xdx = -\cos x} \displaystyle \int \cos (2x+5)dx=\cfrac{1}{2}\sin (2x+5)+\textup{C}


33\displaystyle \int (x+1)\cos (x^{2}+2x+1)dx

 

Comenzamos por hacer un cambio de variable {u = x^2 +2x + 1 \quad du=(2x+2)dx= 2(x+1)dx} y aplicar la integral inmediata
{\int \cos xdx = \sin x}
\displaystyle \cfrac{1}{2}\int 2(x+1)\cos (x^{2}+2x+1)dx =\cfrac{1}{2} \sin(x^2+2x+1) + \textup{C}


34\displaystyle \int \cfrac{\cos (\ln x)}{x}\, dx

 

Comenzamos por hacer un cambio de variable {u = \ln x \quad du=\cfrac{1}{x}dx} y aplicar la integral inmediata {\int \cos xdx = \sin x} \displaystyle \int \cfrac{\cos (\ln x)}{x}\, dx=\int \cos (\ln x)\cdot \cfrac{1}{x}\, dx=\sin (\ln x)+\textup{C}

35\displaystyle \int \cos^{2}x\, dx

 

Comenzamos utilizando la identidad trigonométrica {\cos^2x = \cfrac{1+\cos 2x}{2}}, separar la integral y aplicar la integral inmediata {\int \cos xdx = \sin x}, con un cambio de variable {u=2x \quad du = 2dx}

\displaystyle \int \cos^{2}x\, dx = \int \cfrac{1+\cos 2x}{2}\, dx = \cfrac{1}{2}\int (1+\cos 2x)dx

 

\displaystyle =\cfrac{1}{2}\left ( x+\cfrac{1}{2}\sin 2x \right )=\cfrac{1}{2}\, x+\cfrac{1}{4}\sin 2x+\textup{C}

 


36\displaystyle \int \cos^{3}3x\, dx

 

Comenzamos utilizando la identidad trigonométrica {\cos^2 3x = 1- \sin^2 3x}, separar la integral, aplicar la integral inmediata {\int \cos xdx = \sin x}, y un cambio de variable {u=\sin 3x \quad du = 3\cos 3xdx}

\displaystyle \int \cos^{3}3x\, dx =\int \cos^{2}3x\cos 3x\, dx=\int (1-\sin^{2}3x)\cos 3x\, dx

 

\displaystyle \int \cos 3x\, dx-\int \sin^{2}3x\cos 3x\, dx=\cfrac{1}{3}\sin 3x-\frac{1}{9}\sin^{3}3x+\textup{C}

 

37\displaystyle \int \cfrac{5}{\cos^{2}x}\, dx

Comenzamos utilizando la identidad trigonométrica {\cfrac{1}{\cos x} = \sec x} y aplicar la integral inmediata {\int \sex^2 xdx = \tan x}}[/latex]\displaystyle \int \cfrac{5}{\cos^{2}x}\, dx= 5 \int \sec^2 xdx = 5\tan x+\textup{C}


38\displaystyle \int (3+3\tan^{2}x)dx

Comenzamos utilizando la identidad trigonométrica {1 + \tan^2x = \sec^2 x} y aplicar la integral inmediata {\int \sex^2 xdx = \tan x}} \displaystyle \int (3+3\tan^{2}x)dx=3\int (1+\tan^{2}x)dx= 3\int \sec^2 xdx = 3\tan x+\textup{C}

39\displaystyle \int \sec^{2}(5x+3)dx

Comenzamos haciendo un cambio de variable {u = 5x + 3 \quad du = 5dx} y aplicar la integral inmediata {\int \sex^2 xdx = \tan x}} \displaystyle \int \sec^{2}(5x+3)dx=\cfrac{1}{5}\int \sec^{2}(5x+3)\cdot 5\, dx=\cfrac{1}{5}\tan (5x+3)+\textup{C}


40\displaystyle \int \sec^{4}x\, dx

 

Comenzamos separando la secante y utilizando la identidad trigonométrica {\sec^2 x = 1 + \tan^2 x}, aplicar la integral inmediata {\int \sex^2 xdx = \tan x} y un cambio de variable {u = \tan x \quad du = \sec^2 x}

\displaystyle \int \sec^{4}x\, dx=\int \sec^{2}x \sec^{2}x\, dx=\int (1+\tan^{2}x)\sec^{2}x\, dx

 

\displaystyle \int (\sec^{2}x+\sec^{2}x\tan^{2}x)dx=\tan x +\cfrac{1}{3}\tan^{3}x+\textup{C}

 

41\displaystyle \int (3+3\cot^{2}x)dx

 

Comenzamos utilizando la identidad trigonométrica {1 + \cot^2 x = \csc^2 x} y aplicar la integral inmediata {\int \csc^2 xdx = -\cot x} \displaystyle \int (3+3\cot^{2}x)dx=3\int (1+ \cot^{2}x)dx= 3\int \csc^2 x dx \displaystyle = -3\cot x+\textup{C}

42\displaystyle \int \tan^{2}x\, dx

 

Comenzamos agregando un cero, utilizamos la identidad trigonométrica {1 + \tan^2 x = \sec^2 x}, separamos la integral y aplicamos la integral inmediata {\int \sec^2 xdx = \tan x} \displaystyle \int \tan^{2}x\, dx=\int (1+\tan^{2}x-1)dx=\int (1+\tan^{2}x)dx-\int dx} \displaystyle = \int \sec^2 xdx - \int dx =\tan x -x+\textup{C} 

43\displaystyle \int \sin 3x\cos 2x\, dx

Para resolver la integral vamos a encontrar los valores de A y B que se satisfagan la siguiente identidad

\sin A+\sin B=2\sin \cfrac{A+B}{2}\cdot \cos \cfrac{A-B}{2}

 

\left\{\begin{matrix} \cfrac{A+B}{2}=3x\\ \\ \cfrac{A-B}{2}=2x \end{matrix}\right. \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; A=5x\; \; \; \; \; B=x

 

\displaystyle \int \sin 3x\cdot \cos 2x\, dx=\cfrac{1}{2}\int 2\sin 3x\cdot \cos 2x\, dx

 

Aplicamos la identidad anterior, un cambio de variable {u = 5x \quad du = 5dx} y aplicamos la integral {\int \sin x dx = -\cos x }

 

\displaystyle=\cfrac{1}{2}\int (\sin 5x+\sin x)dx=\cfrac{1}{2}\left ( -\cfrac{\cos 5x}{5}-\cos x \right )+\textup{C}

 


44\displaystyle \int \cfrac{dx}{\sin^{2}x\cos^{2}x}

Para resolver la integral utilizamos la identidad trigonométrica {1 = \sin^2 x + \cos^2 x}, separamos la integral y simplificamos,

\displaystyle \int \cfrac{dx}{\sin^{2}x\cos^{2}x}=\int \cfrac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin^{2}x\cos^{2}x}\, dx

 

\displaystyle \int \cfrac{\sin^{2}x}{\sin^{2}x\cos^{2}x}\, dx+\int \cfrac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x\cos^{2}x}\, dx

Ahora usamos las definiciones {\cfrac{1}{\cos x} = \sec x} y {\cfrac{1}{\sin x} = \csc x} y finalmente las integrales inmediatas {\int \sec^2x dx = \tan x} y {\int \csc^2xdx = -\cot x}

\displaystyle \int \cfrac{dx}{\cos^{2}x}+\int \cfrac{dx}{\sin^{2}x}=\tan x-\cot x+\textup{C}

 


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45\displaystyle \int \sqrt{\cfrac{1+x}{1-x}}\, dx

 

Para resolver la siguiente integral multiplicamos al númerador y denominador por {1+x}, y luego separamos la integral

\displaystyle \int \sqrt{\cfrac{1+x}{1-x}}\, dx=\int \cfrac{1+x}{\sqrt{1-x^{2}}}\, dx=\int \cfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\, dx+\int \cfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\, dx

Aplicamos la integral {\int \cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = \arcsin x} y el cambio de variable {u = 1-x^2 \quad du = -2x}

\displaystyle =\int \cfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\, dx -\cfrac{1}{2}\int (-2x)(1-x^{2})^{-\frac{1}{2}}dx

 

= \arcsin x-\sqrt{1-x^{2}}+\textup{C}

 


46\displaystyle \int \cfrac{1-\cos x}{1+\cos x}\, dx

 

Para resolver la siguiente integral multiplicamos al númerador y denominador por {1-\cos x}, desarrollamos el binomio al cuadrado, utilizamos la identidad {1-\cos^2 x = \sin^2 x} y luego separamos la integral

\displaystyle \int \cfrac{1-\cos x}{1+\cos x}\, dx=\int \cfrac{(1-\cos x)^{2}}{1-\cos^{2}x}\, dx=\int \cfrac{1-2\cos x+\cos^{2}x}{\sin^{2}x}\, dx

Ahora usamos las definiciones {\cfrac{1}{\sin x} = \csc x}, la integral inmediata {\int \csc^2xdx = -\cot x}, un cambio de variable {u = \sin x \quad du = \cos x} y agregamos un cero, para poder utilizar la identidad {1+\cot^2 x = \csc^2 x} y finalmente la integral {\int \sec^2x dx = \tan x}

\displaystyle \int \cfrac{1}{\sin^{2}x}\, dx-2\int \cos x\sin^{-2}x\, dx+\int \cot^{2}x\, dx

 

\displaystyle \int \csc^2x\, dx-2\int \cos x\sin^{-2}x\, dx+\int \left [\left ( 1+\cot ^{2}x \right )-1 \right ] dx

 

=-\cot x +\cfrac{2}{\sin x}-\cot x-x+\textup{C}

 

=-2\cot x +\cfrac{2}{\sin x}-x+\textup{C}

 

47\displaystyle \int \cfrac{1+\sin x}{1-\sin x}\, dx

 

Para resolver la siguiente integral multiplicamos al númerador y denominador por {1+\sin x}, desarrollamos el binomio al cuadrado, utilizamos la identidad {1-\sin^2 x = \cos^2 x} y luego separamos la integral

\displaystyle \int \cfrac{1+\sin x}{1-\sin x}\, dx= \int \cfrac{(1+\sin x)^2}{1-\sin^2 x}\, dx=\int \cfrac{1+2\sin x +\sin^{2}x}{\cos^{2}x}\, dx

 

\displaystyle =\int \cfrac{1}{\cos^{2}x}\, dx+2\int \cfrac{\sin x}{\cos^{2}x}\, dx+\int \cfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}\, dx

Ahora usamos las definiciones {\cfrac{1}{\cos x} = \sec x}, la integral inmediata {\int \sec^2xdx = \tan x}, un cambio de variable {u = \cos x \quad du = -\sin x} y agregamos un cero, para poder utilizar la identidad {1+\tan^2 x = \sec^2 x}

\displaystyle =\int sec^2 x\, dx+2\int (-\sin x)\cos^{-2}x\, dx+\int \left [\left (1+\tan^{2}x \right )-1 \right ]dx

 

=\tan x+\cfrac{2}{\cos x}+\tan x-x+\textup{C}

 

=2\tan x+\cfrac{2}{\cos x}-x+\textup{C}

 

48\displaystyle \int \cfrac{5}{x^{2}-4x+8}\, dx

Para resolver la siguiente integral buscamos completar cuadrados para tener una integral de la forma {\int \frac{dv}{v^2+a^2} = \frac{1}{a}\arctan \frac{v}{a}}, donde {v = \frac{x-2}{2} \quad dv = \frac{1}{2}}.

\displaystyle \int \cfrac{5}{x^{2}-4x+8}\, dx=\int \cfrac{5}{x^{2}-4x+4+4}\, dx=\int \cfrac{5}{4+(x-2)^{2}}\, dx

 

\displaystyle = \frac{5}{4} \int \cfrac{dx}{1+\left ( \cfrac{x-2}{2} \right )^{2}}=\cfrac{5}{4}\cdot 2\int \cfrac{\cfrac{1}{2}}{1+\left ( \cfrac{x-2}{2} \right )^{2}}\, dx

 

=\cfrac{5}{2}\arctan \left ( \cfrac{x-2}{2} \right )+\textup{C}

 


49\displaystyle \int \cfrac{2x+5}{\sqrt{9-x^{2}}}\, dx

Comenzamos por separar la integralo, por un lado tenemos un cambio de variable {u = 9-x^2 \quad du = -2xdx}, por otro lado buscamos tener una integral de la forma {\int \frac{dv}{a^2-v^2} = \arcsin \frac{v}{a}}, donde {v = \frac{x}{3} \quad dv= \frac{1}{3}}.

\displaystyle \int \cfrac{2x+5}{\sqrt{9-x^{2}}}\, dx=\int \cfrac{2x}{\sqrt{9-x^{2}}}\, dx+\int \cfrac{5}{\sqrt{9-x^{2}}}\, dx

 

\displaystyle =-\int (9-x^{2})^{-\frac{1}{2}}(-2x)dx+\cfrac{5}{3}\cdot 3\int \cfrac{\cfrac{1}{3}}{\sqrt{1-\left ( \cfrac{x}{3} \right )^{2}}}\, dx

 

=-\cfrac{(9-x^{2})^{\frac{1}{2}}}{\cfrac{1}{2}}+5\arcsin \left ( \cfrac{x}{3} \right )=-2\sqrt{9-x^{2}}+5\arcsin \left ( \cfrac{x}{3} \right )+\textup{C}

50\displaystyle \int \cfrac{2^{x}}{\sqrt{1-4^{x}}}\, dx

 

Buscamos tener una integral de la forma {\int \frac{dv}{a^2-v^2} = \arcsin \frac{v}{a}}, donde {v = 2^x \quad dv= 2^x\ln 2}.

\displaystyle \int \cfrac{2^{x}}{\sqrt{1-4^{x}}}\, dx=\int \cfrac{2^{x}}{\sqrt{1-(2^{x})^{2}}}\, dx=\cfrac{1}{\ln 2}\int \cfrac{2^{x}\ln 2}{\sqrt{1-(2^{x})^{2}}}\, dx

 

=\cfrac{1}{\ln 2}\arcsin (2^{x})+\textup{C}

51\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{9-2x^{4}}}\, dx

 

Buscamos tener una integral de la forma {\int \cfrac{dv}{a^2-v^2} = \arcsin \frac{v}{a}}, entonces en el denominador podemos hacer el siguiente cambio:

\displaystyle \int \cfrac{x}{\sqrt{9-2x^{4}}}\, dx=\int \cfrac{x}{\sqrt{9\left [ 1-\left ( \cfrac{\sqrt{2}x^{2}}{3} \right )^{2} \right ]}}\, dx

donde {v = \cfrac{\sqrt{2}x^2}{3} \quad dv= \cfrac{2\sqrt{2}}{3}x}.

\displaystyle =\cfrac{1}{3}\cdot \cfrac{3}{2\sqrt{2}}\int \cfrac{\cfrac{2\sqrt{2}}{3}\, x}{\sqrt{1-\left ( \cfrac{\sqrt{2}\, x^{2}}{3} \right )^{2}}}\, dx=\cfrac{1}{2\sqrt{2}}\arcsin \left ( \cfrac{\sqrt{2}}{3}\, x^{2} \right )+\textup{C}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗