Teorema fundamental del cálculo (TFC)

Intuitivamente, el teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas, es decir, si una función continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la función original.

Formalmente tendríamos lo siguiente:

Sea f una función integrable en el intervalo [a,b], y definimos F en [a,b] como

    \[ F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt \]

si f es continua en (a,b), entonces F es diferenciable y

     \[ F'(m) = f(m), \quad m \in (a,b)." \]

Es decir, la derivada de la función integral de la función continua f(x) es la propia f(x),

    \[F'(x) = f(x).\]

Una de las consecuencias más conocidas del teorema fundamental del cálculo es que utilizando la regla de la cadena (junto con otro resultado derivado del TFC) se obtiene que

(1)    \begin{equation*} \frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t)dt = f(b(x))\cdot b'(x) - f(a(x))\cdot a'(x) \end{equation*}

con f(t) función continua en [a(x),b(x)] donde a(x), b(x) diferenciables.

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Vamos

Ejemplos del teorema fundamental del cálculo

Calcular la derivada de las funciones:

1  F(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{1+t^2}dt

De acuerdo con (1),

     \[ F'(x) = \frac{d}{dx} \int_{1}^{x} \frac{1}{1+t^2}dt = f(b(x))\cdot b'(x) - f(a(x))\cdot a'(x) \]

donde

     \begin{align*} f(t) &= \frac{1}{1+t^2},\\ a(x) &= 1 \quad \textrm{entonces} \quad a'(x) = 0,\\ b(x) &= x \quad \textrm{entonces} \quad b'(x) = 1,\\ \end{align*}

por lo tanto

     \begin{align*} F'(x) &= f(x)\cdot 1 - f(1)\cdot 0 \\ &= \frac{1}{1+x^2} \end{align*}

2  F(x) = \int_{x}^{1} \frac{1}{1+t^2}dt

Recordemos que

     \[ F(x) = \int_{x}^{1} \frac{1}{1+t^2}dt = - \int_{1}^{x} \frac{1}{1+t^2}dt \]

entonces del ejemplo anterior

     \[ F'(x) = - \frac{1}{1+x^2} \]

3  F(x) = \int_{1}^{x^2} \frac{1}{1+t^2}dt

De nuevo, de acuerdo con (1),

     \[ F'(x) = \frac{d}{dx} \int_{1}^{x^2} \frac{1}{1+t^2}dt = f(b(x))\cdot b'(x) - f(a(x))\cdot a'(x) \]

donde

     \begin{align*} f(t) &= \frac{1}{1+t^2},\\ a(x) &= 1 \quad \textrm{entonces} \quad a'(x) = 0,\\ b(x) &= x^2 \quad \textrm{entonces} \quad b'(x) = 2x,\\ \end{align*}

por lo tanto

     \begin{align*} F'(x) &= f(x^2)\cdot 2x - f(1)\cdot 0 \\ &= \frac{1}{1+(x^2)^2} \cdot 2x \\ &= \frac{1}{1+x^4} \cdot 2x \end{align*}

4  F(x) = \int_{1}^{x^3} \frac{1}{1+t^2}dt

En este caso tenemos que

     \begin{align*} f(t) &= \frac{1}{1+t^2},\\ a(x) &= 1 \quad \textrm{entonces} \quad a'(x) = 0,\\ b(x) &= x^3 \quad \textrm{entonces} \quad b'(x) = 3x^2,\\ \end{align*}

por lo tanto

     \begin{align*} F'(x) &= \frac{d}{dx} \int_{1}^{x^3} \frac{1}{1+t^2}dt\\ &= f(x^3)\cdot 3x^2 - f(1)\cdot 0 \\ &= \frac{1}{1+(x^3)^2} \cdot 3x^2 \\ &= \frac{1}{1+x^6} \cdot 3x^2 \end{align*}

5  F(x) = \int_{1}^{x^2} e^{t^2} dt

Tenemos que

     \begin{align*} f(t) &= e^{t^2},\\ a(x) &= 1 \quad \textrm{entonces} \quad a'(x) = 0,\\ b(x) &= x^2 \quad \textrm{entonces} \quad b'(x) = 2x,\\ \end{align*}

por lo tanto

     \begin{align*} F'(x) &= \frac{d}{dx} \int_{1}^{x^2} e^{t^2} dt\\ &= f(x^2)\cdot 2x - f(1)\cdot 0 \\ &= e^{(x^2)^2} \cdot 2x \\ &= e^{x^4} \cdot 2x \end{align*}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗