Método de sustitución

 

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

 

\displaystyle \int {f}'(u)\cdot {u}'\, dx=F(u)+\textup{C}

 

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

 

 

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Pasos para integrar por cambio de variable

 

\displaystyle \int {f}'(u)\cdot {u}'\, dx

 

1 Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

 

t=u

dt={u}'\, dx

 

2Se sutituye la diferencial en la integral:

 

\displaystyle \int {f}'(t)\cdot {u}' dx=\int {f}'(t)\, dt

 

3 Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

 

\displaystyle \int {f}'(t)\, dt=f(t)+\textup{C}

 

4 Se vuelve a la variable inical:

 

f(t)+\textup{C}=f(u)+\textup{C}

 

Ejemplo: Resuelve empleando integración por cambio de variable, la integral

 

\displaystyle \int \cfrac{x^{2}}{\sqrt[3]{1+2x}}\, dx

 

1 Realizamos el cambio de variable

 

 \sqrt[3]{1 + 2x} = t \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 1+2x=t^{3} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=\cfrac{t^{3}-1}{2}

 

Calculamos la diferencial

 

2\, dx=3t^{2}\, dt \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ dx=\cfrac{3t^{2}\, dt}{2}

 

2Sustituimos en la integral y simplificamos el integrando

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{x^{2}}{\sqrt[3]{1+2x}} \, dx & = & \displaystyle \int \cfrac{\left ( \cfrac{t^{3}-1}{2} \right )^{2}}{t} \cdot \cfrac{3t^{2}}{2} \, dt \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{3}{2} \int \left ( \cfrac{t^{6}-2t^{3}+1}{4} \right ) \cdot t \, dt \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{3}{8} \int (t^{7}-2t^{4}+t) \, dt \end{array}

 

3Resolvemos la nueva integral

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{3}{8} \int (t^{7}-2t^{4}+t) \, dt & = & \cfrac{3}{8}\left ( \cfrac{t^{8}}{8}-\cfrac{2t^{5}}{5}+\cfrac{t^{2}}{2} \right )+\textup{C} \end{array}

 

4Regresamos a la variable inicial, para ello empleamos t=\sqrt[3]{1+2x}

 

 \cfrac{3}{8}\left ( \cfrac{t^{8}}{8}-\cfrac{2t^{5}}{5}+\cfrac{t^{2}}{2} \right )+\textup{C} = \cfrac{3}{64}\left ( \sqrt[3]{1+2x} \right )^{8}-\cfrac{3}{20}\left ( \sqrt[3]{1+2x} \right )^{5}+\cfrac{3}{16}\left ( \sqrt[3]{1+2x} \right )^{2}+\textup{C}

 

Así la solución buscada es

 

 \displaystyle \int \cfrac{x^{2}}{\sqrt[3]{1+2x}} \, dx = \cfrac{3}{64}\left ( \sqrt[3]{1+2x} \right )^{8}-\cfrac{3}{20}\left ( \sqrt[3]{1+2x} \right )^{5}+\cfrac{3}{16}\left ( \sqrt[3]{1+2x} \right )^{2}+\textup{C}

 

Cambios de variables usuales

 

A continuación enumeramos algunos de los cambios de variables empleados par resolver integrales

 

1 \displaystyle \int R\left ( x,\sqrt{a^{2}-x^{2}} \right )dx\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x=a\sin t

 

2 \displaystyle \int R\left ( x,\sqrt{a^{2}+x^{2}} \right )dx\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x=a\tan t

 

3 \displaystyle \int R\left ( x,\sqrt{x^{2}-a^{2}} \right )dx\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x=a\sec t

 

4 \displaystyle \int R\left ( x,\sqrt[n]{\cfrac{ax+b}{cx+d}} \right )dx\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; t=\cfrac{ax+b}{cx-d}

 

5 En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un mismo radicando lineal ax+b, el cambio de variable es t elevado al mínimo común múltiplo de los índices.

 

6 Si R(\sin x,\cos x) es par:

 

\begin{matrix} \textup{Cambio} & \sin x & \cos x & \tan x & dx\\ & & & & \\ t=\tan x & \cfrac{t}{\sqrt{1+t^{2}}} & \cfrac{t}{\sqrt{1+t^{2}}} & t & \cfrac{dt}{1+t^{2}} \end{matrix}

 

7 Si R(\sin x, \cos x) no es par:

 

\begin{matrix} \textup{Cambio} & \sin x & \cos x & \tan x & dx\\ & & & & \\ t=\tan \cfrac{x}{2} & \cfrac{2t}{1+t^{2}} & \cfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}} & \cfrac{2t}{1-t^{2}} & \cfrac{2dt}{1+t^{2}} \end{matrix}

 

Ejercicios propuestos

 

Resuelve las siguientes integrales, empleando el método de sustitución.

 

1\displaystyle \int \cfrac{x^{4}}{\sqrt{(1-x^{2})^{3}}}\, dx

 

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

 

x=\sin t

 

dx=\cos t\, dt

 

2Sustituimos en la integral y para simplificar empleamos identidades trigonométricas

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{x^{4}}{\sqrt{(1-x^{2})^{3}}} & = & \displaystyle \int \cfrac{\sin ^{4}t}{\sqrt{(1-\sin ^{2}t)^{3}}}\, \cos t\, dt \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{(1-\cos ^{2}t)^{2}}{\cos ^{2}t}\, dt \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{1-2\cos ^{2}t+\cos ^{4}t}{\cos ^{2}t}\, dt \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{dt}{\cos ^{2}t}-2\int dt+\int \cos ^{2}t\, dt \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{dt}{\cos ^{2}t}-2\int dt+\int \cfrac{1+\cos 2t}{2}\,dt \end{array}

 

3Resolvemos las integrales obtenidas

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{dt}{\cos ^{2}t}-2\int dt+\int \cfrac{1+\cos 2t}{2}\,dt & = & \tan t-2t+\cfrac{1}{2}\, t+\cfrac{1}{4} \sin 2t+\textup{C} \\\\ & = & \tan t+\cfrac{1}{4}\sin 2t-\cfrac{3}{4}\, t+\textup{C} \end{array}

 

4Regresamos a la variable inicial, para ello despejamos ten el cambio de variable inicial

 

x=\sin t \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ t=\arcsin x

 

Calculamos para el seno y coseno de  t

 

\sin 2t=2\sin t\cdot \cos t =2\sin (\arcsin x)\cdot \cos (\arcsin x)=2x\cdot \sqrt{1-x^{2}}

 

\cos (\arcsin x)=\sqrt{1-\left [ \sin (\arcsin x) \right ]^{2}}=\sqrt{1-x^{2}}

 

Así, el resultado se expresa en la variable  x como

 

\displaystyle \int \cfrac{x^{4}}{\sqrt{(1-x^{2})^{2}}}\, dx = \tan (\arcsin x)+ x\cdot \sqrt{1-x^{2}}-\cfrac{3}{2}\arcsin x +\textup{C}

2\displaystyle \int \cfrac{dx}{1+\cos ^{2}x}

 

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

 

\tan x = t \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = arctan \, t

 

 dx = \cfrac{dt}{1+t^{2}}

 

2Sustituimos en la integral y simplificamos

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{\cfrac{dt}{1+t^{2}}}{1+\cfrac{1}{1+t^{2}}} & = & \displaystyle \int \cfrac{\cfrac{dt}{1+t^{2}}}{\cfrac{1+1+t^{2}}{1+t^{2}}} \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{dt}{2+t^{2}} \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{dt}{2\left [ 1+\left (\cfrac{t}{\sqrt{2} \right )^{2}} \right ]}  \\\\  & = & \displaystyle \cfrac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\int \cfrac{\cfrac{1}{\sqrt{2}}}{1+\left (\cfrac{t}{\sqrt{2}} \right )^{2}}\, dt \end{array}

 

3Resolvemos las integrales obtenidas

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\int \cfrac{\cfrac{1}{\sqrt{2}}}{1+\left (\cfrac{t}{\sqrt{2}} \right )^{2}}\, dt & = & \cfrac{\sqrt{2}}{2}\arctan \cfrac{t}{\sqrt{2}}+\textup{C} \end{array}

 

4Regresamos a la variable inicial

 

  \displaystyle \int \cfrac{dx}{1+\cos ^{2}x} = \cfrac{\sqrt{2}}{2}\arctan \left ( \cfrac{1}{\sqrt{2}}\tan x \right )+\textup{C}

3\displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{\cos x + \cos ^{2}x}}

 

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

 

 \tan \cfrac{x}{2} = t \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 2 \, \arctan \, t

 

 dx=\cfrac{2dt}{1+t^{2}}

 

2Sustituimos en la integral y simplificamos

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{\cos x + \cos ^{2}x}} & = & \displaystyle \int \cfrac{\cfrac{2dt}{1+t^{2}}}{\sqrt{\cfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+\left ( \cfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}} \right )^{2}}} \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{\cfrac{2dt}{1+t^{2}}}{\sqrt{\cfrac{(1-t^{2})(1+t^{2})+(1-t^{2})^{2}}{(1+t^{2})^{2}}}} \\\\ & = & 2\int \cfrac{dt}{\sqrt{2-2t^{2}}} \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{2}{\sqrt{2}}\int \cfrac{dt}{\sqrt{1-t^{2}}} \end{array}

 

3Resolvemos las integrales obtenidas

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \cfrac{2}{\sqrt{2}}\int \cfrac{dt}{\sqrt{1-t^{2}}} & = & \cfrac{2}{\sqrt{2}}\arcsin t+\textup{C} \end{array}

 

4Regresamos a la variable inicial

 

 \displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{\cos x + \cos ^{2}x}} & = & \sqrt{2} \arcsin \left ( \tan \cfrac{x}{2} \right )+\textup{C}

4 \displaystyle \int \cfrac{1-\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}\, dx

 

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

 

 x = t^{6} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ t = \sqrt[6]{t}

 

 dx = 6t^{5}dt

 

2Sustituimos en la integral y simplificamos

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{1-\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}\, dx & = & \displaystyle \int \cfrac{1-t^{3}}{t^{2}}\cdot 6t^{5}dt \\\\ & = & \displaystyle 6\int (1-t^{3})\cdot t^{3}dt \\\\ & = & 6\int (t^{3}-t^{6})dt \end{array}

 

3Resolvemos las integrales obtenidas

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle 6\int (t^{3}-t^{6})dt & = & \cfrac{3}{2}\, t^{4}-\cfrac{6}{7}\,t^{7}+\textup{C} \end{array}

 

4Regresamos a la variable inicial

 

 \cfrac{3}{2}\, t^{4}-\cfrac{6}{7}\,t^{7}+\textup{C} = \cfrac{3}{2}\sqrt[6]{x^{4}}-\cfrac{6}{7}\, x\sqrt[6]{x}+\textup{C}

Así, la solución en termino de la variable inical es

 

 \displaystyle \int \cfrac{dx}{\sqrt{\cos x + \cos ^{2}x}} = \cfrac{3}{2}\sqrt[6]{x^{4}}-\cfrac{6}{7}\, x\sqrt[6]{x}+\textup{C}

5 \displaystyle \int \cfrac{x}{\sqrt{x^{2}-4}} \, dx

 

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

 

 x=2\sec t \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ t=\textrm{arcsec}\, \cfrac{x}{2}

 

 dx = 2\sec t \cdot \tan t \cdot dt

 

2Sustituimos en la integral y simplificamos

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{x}{\sqrt{x^{2}-4}} \, dx & = & \displaystyle \int \cfrac{2\sec t}{\sqrt{4 \sec ^{2}t-4}}\, 2\sec t\cdot \tan t\cdot dt \\\\ & = & \displaystyle \int \cfrac{2\sec t}{2\tan t}\, 2\cdot \sec t\cdot \tan t\cdot dt \\\\ & = & \displaystyle 2\int \sec ^{2}t\, dt \end{array}

 

3Resolvemos las integrales obtenidas

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle 2\int \sec ^{2}t\, dt & = & 2\tan t +\textup{C} \end{array}

 

4Regresamos a la variable inicial

 

 \begin{array}{rcl} 2\tan t +\textup{C} & = & 2\sqrt{\sec ^{2}\left ( \textrm{arcsec}\, \cfrac{x}{2} \right )-1} + C \\\\ & = & 2\sqrt{\cfrac{x^{2}}{4}-1}+\textup{C} \\\\ & = & \sqrt{x^{2}-4}+\textup{C} \end{array}

Así, la solución en termino de la variable inical es

 

 \displaystyle \int \cfrac{x}{\sqrt{x^{2}-4}}\, dx = \sqrt{x^{2}-4}+\textup{C}

6 \displaystyle \int \cfrac{dx}{x^{2}\sqrt{4+x^{2}}}

 

1 Realizamos el cambio de variable y calculamos su diferencial

 

 x = 2\tan t \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ t=\arctan \cfrac{x}{2}

 

 dx = 2\sec ^{2} t\, dt

 

2Sustituimos en la integral y simplificamos

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{dx}{x^{2}\sqrt{4+x^{2}}} & = & \displaystyle \int \cfrac{2\sec ^{2}t}{4\tan ^{2}t\sqrt{4+4\tan ^{2}t}}\, dt \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{1}{2}\int \cfrac{\sec ^{2}t}{\tan ^{2}t\sqrt{4(1+\tan ^{2}t)}}\, dt \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{1}{2}\int \cfrac{\sec ^{2}t}{\tan ^{2}t\, 2\sec t}\, dt \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{1}{4}\int \cfrac{\sec t}{\tan ^{2}t}\, dt \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{1}{4}\int \cfrac{\cfrac{1}{\cos t}}{\cfrac{\sin ^{2}t}{\cos ^{2}t}}\, dt \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{1}{4}\int \cos t \sin ^{-2}t\, dt \end{array}

 

3Resolvemos las integrales obtenidas

 

 \begin{array}{rcl} \displaystyle -\cfrac{1}{4}\int \cos t \sin ^{-2}t(-1)\, dt & = & \displaystyle -\cfrac{1}{4}\int \cos t \sin ^{-2}t(-1)\, dt \\\\ & = & -\cfrac{1}{4}\sin ^{-1} t + \textup{C} \\\\ & = & \cfrac{-1}{4\sin t}+\textup{C} \end{array}

 

4Regresamos a la variable inicial

 

 \begin{array}{rcl} \cfrac{-1}{4\sin t}+\textup{C} & = & -\cfrac{1}{4\sin\left [ \arctan \left ( \cfrac{x}{2} \right ) \right ]}+\textup{C} \end{array}

Así, la solución en termino de la variable inical es

 

 \displaystyle \int \cfrac{dx}{x^{2}\sqrt{4+x^{2}}} = -\cfrac{1}{4\sin\left [ \arctan \left ( \cfrac{x}{2} \right ) \right ]}+\textup{C}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗