Calcular las integrales logarítmicas:

1{\int \dfrac{x^2}{x^3 + 8}dx}

Para resolver la siguiente integral haremos un cambio de variable {u = x^3+8 \quad du = 3x^2} y posteriormente resolvemos la integral

{\int \dfrac{x^2}{x^3 + 8}dx = \frac{1}{3}\int \dfrac{3x^2}{x^3+8}dx = \frac{1}{3}ln\, (x^3 + 8) + C}


2{\int cot\, x dx}

Para resolver la siguiente integral utilizamos la definición {cot\, x = \frac{\cos x}{sen\, x}} y luego hacemos un cambio de variable {u = sen\, x \quad du = \cos x}, luego resolvemos la integral,

{\int cot\, x dx = \int \dfrac{\cos x}{sen\, x}dx = ln sen\, x + C}


3{\int \dfrac{sen\, 2x}{1 + sen^2x}dx}

Para resolver la siguiente integral utilizamos la definición {sen\, 2x = 2sen\, x\cos x} y luego hacemos un cambio de variable {u = 1 + sen^2 x \quad du = 2 sen\, x\cos x}, luego resolvemos la integral,

{\int \dfrac{sen\, 2x}{1 + sen^2x}dx = \int \dfrac{2sen\,x \cos x}{1 + sen^2x}dx = ln (1+sen^2x) + C}


4{\int tg\, 5x dx}

Para resolver la siguiente integral utilizamos la definición {tan\, x = \frac{sen\, x}{\cos x}} y luego hacemos un cambio de variable {u = \cos 5x \quad du = 5 sen\, 5x}, luego resolvemos la integral,

{\int tg\, 5x dx = \int \dfrac{sen\, 5x}{\cos 5x}dx = -\frac{1}{5}ln (\cos 5x) + C}


5{\int \dfrac{dx}{tg\, x}}

Para resolver la siguiente integral utilizamos la definición {\frac{1}{tg\, x} = cot\, x = \frac{\cos x}{sen\, x}} y luego hacemos un cambio de variable {u = sen\, x \quad du = \cos x}, luego resolvemos la integral,

{\int \dfrac{dx}{tg\, x} = \int \dfrac{\cos x}{sen\, x}dx = ln (sen\, x) + C}


6{\int \dfrac{dx}{\sqrt{x}(1 +\sqrt{x})}}

Para resolver la siguiente integral hacemos un cambio de variable {u = 1+ \sqrt{x} \quad du = \frac{1}{2\sqrt{x}}}, luego resolvemos la integral,

{\int \dfrac{dx}{\sqrt{x}(1 +\sqrt{x})} = 2\int \dfrac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{1+\sqrt{x}}dx = 2ln(1+\sqrt{x}) + C}


7{\int \dfrac{2x^3+x^2-x}{x^2}dx}

Para resolver la siguiente integral simplificamos la fracción y luego resolvemos la integral,

{\int \dfrac{2x^3+x^2-x}{x^2}dx = \int (2x + 1 - \frac{1}{x})dx = x^2-x+ln\, x + C}


8{\int \dfrac{3x^3+5x}{x^2+1}dx}

Hacemos una división sintética y luego resolvemos la integral haciendo un cambio de variable {u = x^2 + 1 \quad du = 2x}, luego resolvemos la integral

{\int \dfrac{3x^3+5x}{x^2+1}dx}

Al dividir{\frac{3x^3+5x}{x^2+1}} obtenemos {3x} como entero y {2x} como residuo, por lo tanto, reescribimos la integral y resolvemos,

{\int \dfrac{3x^3+5x}{x^2+1}dx = \int (3x + \dfrac{2x}{x^2+1})dx = \frac{3}{2}x^2 + ln(x^2 +1) + C}


9{\int \dfrac{sen\,x - \cos x}{sen\, x +\cos x}dx }

Factorizamos el signo negativo para luego hacer un cambio de variable {u = sen\, x + \cos x \quad du = \cos x - sen\, x}, luego resolvemos la integral

{\int \dfrac{sen\,x - \cos x}{sen\, x +\cos x}dx = -\int \dfrac{\cos x - sen\, x}{sen\, x + \cos x}dx = -ln (sen\, x + \cos x) + C}


10{\int \dfrac{dx}{(1+x^2)arc\, tg\, x}}

Hacemos un cambio de variable {u = arc tg\, x \quad du = \frac{1}{1 + x^2}}, luego resolvemos la integral

{\int \dfrac{dx}{(1+x^2)arc\, tg\, x} = \int \dfrac{\frac{1}{1 + x^2}}{arc tg \, x}dx = ln (arc tg\, x) + C}


11{\int \dfrac{tg\, \sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx}

Para resolver la siguiente integral utilizamos la definición {tan\, \sqrt{x} = \frac{sen\, \sqrt{x}}{\cos \sqrt{x}}} y luego hacemos un cambio de variable {u = \cos \sqrt{x} \quad du = -\frac{1}{2\sqrt{x}} sen\, \sqrt{x}}, luego resolvemos la integral,

{\int \dfrac{tg\, \sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx = -2 \int \dfrac{-sen\, \sqrt{x}}{\cos \sqrt{x}} \dfrac{1}{2\sqrt{x}}dx = -2ln(\cos \sqrt{x}) + C}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗