El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva f(x) alrededor del eje OX y limitado por x = a y x = b, viene dado por:

 

 

1. Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por la rotación alrededor OX del área limitada por y = 6 − x, y = 0, x = 0, x = 4.

 

 

 

2. Hallar el volumen engendrado por las superficies limitadas por las curvas y las rectas dadas al girar en torno al eje OX:

 

y = sen xx = 0x = π

 

3. Calcular el volumen engendrado por una semionda de la sinusoide y = sen x, al girar alrededor del eje OX.

 

 

 

 

4. Hallar el volumen del cuerpo revolución engendrado al girar alrededor del eje OX, la región determinada por la función f(x) = 1/2 + cos x, el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x = π.

 

 

5. Hallar el volumen engendrado por el círculo x² + y² − 4x = −3 al girar alrededor del eje OX.

 

 

 

El centro de la circunferencia es C(2, 0) y el radio r = 1.

 

Puntos de corte con el eje OX:

 

 

 

 

6. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 2x − x², y = −x + 2.

 

Puntos de intersección entre la parábola y la recta:

 

 

 

La parábola está por encima de la recta en el intervalo de integración.

 

 

 

7. Calcular el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 6x − x², y = x.

 

Puntos de intersección:

 

 

 

La parábola queda por encima de la recta en el intervalo de integración.

 


8. Calcular el volumen que engendra un triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0) al girar 360° alrededor del eje OX.

 

Ecuación de la recta que pasa por AB:

 

 

Ecuación de la recta que pasa por BC:

 

 

 

 

 

 

 

9. Hallar el volumen de la figura engendrada al girar la elipse alrededor del eje OX.

 

 

 

Por ser la elipse una curva simétrica, el volumen pedido es 2 en veces el volumen engendrado por el arco entre x = 0 y x = a.

 

 

 

10. Calcular el volumen del cilindro engendrado por el rectángulo limitado por las rectas y = 2, x = 1 y x = 4, y el eje OX al girar alrededor de este eje.

 

 

11. Calcular el volumen de la esfera de radio r.

 

Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r².

 

Girando un semicírculo en torno al eje de abscisas se obtiene una esfera.

 

 

 

 

 

12. Calcular el volumen engendrado por la rotación del área limitada por la parábola y2/8 = x y la recta x = 2, alrededor del eje OY.

 

Como gira alrededor del eje OY, aplicamos:

 

 

El volumen será la diferencia del engendrado por la recta y el engendrado por la parábola entre los extremos y = −4 e y = 4.

 

 

 

Como la parábola es simétrica con respecto al eje OX, el volumen es igual a dos veces el volumen engendrado entre y = 0 e y = 4.

 

 

13. Hallar el volumen del elipsoide engendrado por la elipse 16x2 + 25y2 = 400, al girar:

 

  1. Alrededor de su eje mayor.
  2. Alrededor de su eje menor.

 

 

Como la elipse es simétrica al respecto de los dos ejes el volumen es el doble del engendrado por la porción de elipse del primer cuadrante en ambos casos.

 

 

 

 

 

14. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 2x −x2, y = −x + 2.

 

Puntos de intersección entre la parábola y la recta:

 

 

 

La parábola está por encima de la recta en el intervalo de integración.

 

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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