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Marta

3 febrero 2021

El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva $f(x)$ alrededor del eje $OX$ y limitado por $x = a$ y $x = b$ , viene dado por:

$V = \pi \displaystyle \int_a^b [f(x)]^2 \, dx$

1Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por la rotación alrededor $OX$ del área limitada por $y = 6 - x, \ y = 0, \ x = 0, \ x = 4$ .

1Representamos gráficamente el problema

2Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen

$V = \pi \displaystyle \int_0^4 (6 - x)^2 \, dx$

3Para resolver la integral, consideramos la sustitución $u = 6 - x$ y calculamos su derivada

$u' = -1$

4Empleamos la fórmula de integración

$\displaystyle \int u^n \cdot u' \, dx = \cfrac{u^{n + 1}}{n + 1} + C$

5Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración

$\begin{array}{rcl}V & = & \pi \displaystyle \int_0^4 (6 - x)^2 \, dx \\\\ & = & - \pi \displaystyle \int_0^4 (6 - x)^2 \cdot (-1) \, dx \\\\ & = & - \left. \cfrac{\pi}{3}(6 -x)^3 \right|_0^4 \end{array}$

6Evaluamos en los extremos de integración

$\begin{array}{rcl}- \left. \cfrac{\pi}{3}(6 -x)^3 \right|_0^4 & = & -\cfrac{\pi}{3}(6 - 4)^3 + \cfrac{\pi}{3}(6 - 0)^3 \\\\ & = & \cfrac{208 \, \pi}{3} \end{array}$

Luego el volumen es $V = \cfrac{208 \, \pi}{3} \, u^3$

2Hallar el volumen engendrado por las superficies limitadas por la curva $y = sen x$ y las rectas $x = 0, \ x = \pi$ , al girar en torno al eje OX

1Representamos gráficamente el problema

2Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen

$V = \pi \displaystyle \int_0^\pi sen^2 x \, dx$

3Para resolver la integral, consideramos la identidad trigonométrica $sen^2 x = \cfrac{1}{2}(1 - cos \, 2x)$ , por lo que la integral se expresa

$\begin{array}{rcl} V & = & \pi \displaystyle \int_0^\pi sen^2 x \, dx \\\\ & = & \cfrac{\pi}{2} \displaystyle \int_0^{\pi}(1 - cos \, 2x) \, dx \end{array}$

4Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración

$\begin{array}{rcl}\cfrac{\pi}{2} \displaystyle \int_0^{\pi}(1 - cos \, 2x) \, dx & = & \cfrac{\pi}{2}\left. \left (x - \cfrac{1}{2} \, sen \, 2x \right) \right|_0^\pi \end{array}$

5Evaluamos en los extremos de integración

$\begin{array}{rcl}\cfrac{\pi}{2}\left. \left (x - \cfrac{1}{2} \, sen \, 2x \right) \right|_0^\pi & = & \cfrac{\pi}{2} \left [ \left (\pi - \cfrac{1}{2} \, sen \, 2 \pi \right) - \left (0 - \cfrac{1}{2} \, sen \, 2 (0) \right) \right ] \\\\ & = & \cfrac{\pi^2}{2} \end{array}$

Luego el volumen es $V = \cfrac{\pi^2}{2} \, u^3$

3Calcular el volumen engendrado por una semionda de la sinusoide $y = sen \, x$ , al girar alrededor del eje $OX$ .

1Representamos gráficamente el problema

Observamos que la sinusoide corresponde a la figura del ejercicio 2

2Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen

$V = \pi \displaystyle \int_0^\pi sen^2 x \, dx$

3Para resolver la integral, consideramos la identidad trigonométrica $sen^2 x = \cfrac{1}{2}(1 - cos \, 2x)$ , por lo que la integral se expresa

$\begin{array}{rcl} V & = & \pi \displaystyle \int_0^\pi sen^2 x \, dx \\\\ & = & \cfrac{\pi}{2} \displaystyle \int_0^{\pi}(1 - cos \, 2x) \, dx \end{array}$

4Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración

$\begin{array}{rcl}\cfrac{\pi}{2} \displaystyle \int_0^{\pi}(1 - cos \, 2x) \, dx & = & \cfrac{\pi}{2}\left. \left (x - \cfrac{1}{2} \, sen \, 2x \right) \right|_0^\pi \end{array}$

5Evaluamos en los extremos de integración

Luego el volumen es $V = \cfrac{\pi^2}{2} \, u^3$

4Hallar el volumen del cuerpo revolución engendrado al girar alrededor del eje $OX$ , la región determinada por la función $f(x) = 1/2 + cos \, x$ , el eje de abscisas y las rectas $x = 0, \ x = \pi$ .

1Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen

$V = \pi \displaystyle \int_0^\pi \left ( \cfrac{1}{2} + cos \, x \right )^2 \, dx$

2Desarrollamos el integrando

$\begin{array}{rcl} V & = & \pi \displaystyle \int_0^\pi \left ( \cfrac{1}{2} + cos \, x \right )^2 \, dx \\\\ & = & \pi \displaystyle \int_0^{\pi} \left (\cfrac{1}{4} + cos \, x + cos^2 x \right ) \, dx \end{array}$

3Consideramos la identidad trigonométrica $cos^2 x = \cfrac{1}{2}(1 + cos \, 2x)$ . Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración

$\begin{array}{rcl} \pi \displaystyle \int_0^{\pi} \left (\cfrac{1}{4} + cos \, x + cos^2 x \right ) \, dx & = & \pi \left. \left (\cfrac{x}{4} + sen \, x + \cfrac{x}{2} + \cfrac{1}{4}\, sen \, 2x \right) \right|_0^\pi \end{array}$

4Evaluamos en los extremos de integración

$\begin{array}{rcl} \pi \left. \left (\cfrac{x}{4} + sen \, x + \cfrac{x}{2} + \cfrac{1}{4}\, sen \, 2x \right) \right|_0^\pi & = & \pi \left [ \left (\cfrac{\pi}{4} + sen \, \pi + \cfrac{\pi}{2} + \cfrac{1}{4}\, sen \, 2\pi \right) - \left ( \cfrac{0}{4} + sen \, 0 + \cfrac{0}{2} + \cfrac{1}{4}\, sen \, 2(0) \right) \right ] \\\\ & = & \cfrac{3 \pi^2}{4} \end{array}$

Luego el volumen es $V = \cfrac{3 \pi^2}{4} \, u^3$

5Hallar el volumen engendrado por el círculo $x^2 + y^2 - 4x = -3$ al girar alrededor del eje $OX$ .

1Expresamos la ecuación del círculo en su forma ordinaria

$(x - 2)^2 + y^2 = 1$

2El centro de la circunferencia es $C(2, 0)$ y el radio $r = 1$ . Los puntos de corte con el eje $OX$ son:

$(1, 0), \ (3, 0)$

3A partir de la cuación general del círculo obtenemos la función

$y = \sqrt{-x^2 + 4x - 3}$

4Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen

$V = \pi \displaystyle \int_1^3 \left ( \sqrt{-x^2 + 4x - 3} \right )^2 \, dx$

5Desarrollamos el integrando

$\begin{array}{rcl} V & = & \pi \displaystyle \int_1^3 \left ( \sqrt{-x^2 + 4x - 3} \right )^2 \, dx \\\\ & = & \pi \displaystyle \int_1^3 \left ( -x^2 + 4x - 3 \right ) \, dx \end{array}$

6Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración

$\begin{array}{rcl}\pi \displaystyle \int_1^3 \left ( -x^2 + 4x - 3 \right ) \, dx & = & \pi \left. \left (-\cfrac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right) \right|_1^3 \end{array}$

7Evaluamos en los extremos de integración

$\begin{array}{rcl} \pi \left. \left (-\cfrac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right) \right|_1^3 & = & \pi \left [ \left (-\cfrac{3^3}{3} + 2(3)^2 - 3(3) \right) - \left ( -\cfrac{1^3}{3} + 2(1)^2 - 3(1) \right) \right ] \\\\ & = & \cfrac{4 \pi}{3} \end{array}$

Luego el volumen es $V = \cfrac{4 \pi}{3} \, u^3$

6Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje $OX$ el recinto limitado por las gráficas de $y = 2x - x^2, \ y = -x + 2$ .

1Para encontrar los puntos de intersección de la recta y la parábola, resolvemos el sistema

$\left \{ \begin{array}{l} y = 2x - x^2, \\ y = -x + 2 \end{array} \right.$

Igualamos y factorizamos para obtener

$\begin{array}{rcl} -x + 2 & = & 2x - x^2 \\\\ x^2 -3x + 2 & = & 0 \\\\ (x - 1)(x - 2) & = & 0 \end{array}$

Las raíces son $x = 1, \ x = 2$ . Luego los puntos de intersección son: $(1, 1), \ (2, 0)$

2Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen

$V = \pi \displaystyle \int_1^2 \left [ (2x - x^2)^2 - (-x + 2 )^2 \right ] \, dx$

3Desarrollamos el integrando

$\begin{array}{rcl} V & = & \pi \displaystyle \int_1^2 \left [ (2x - x^2)^2 - (-x + 2 )^2 \right ] \, dx \\\\ & = & \pi \displaystyle \int_1^2 \left ( x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 4x - 4 \right ) \, dx \end{array}$

4Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración

$\begin{array}{rcl} \pi \displaystyle \int_1^2 \left ( x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 4x - 4 \right ) \, dx & = & \pi \left. \left (\cfrac{x^5}{5} + x^4 + x^3 + 2x^2 - 4x \right) \right|_1^2 \end{array}$

5Evaluamos en los extremos de integración

$\begin{array}{rcl} \pi \left. \left (\cfrac{x^5}{5} + x^4 + x^3 + 2x^2 - 4x \right) \right|_1^2 & = & \pi \left [ \left (\cfrac{2^5}{5} + 2^4 + 2^3 + 2(2)^2 - 4(2) \right) - \left ( \cfrac{1^5}{5} + 1^4 + 1^3 + 2(1)^2 - 4(1) \right) \right ] \\\\ & = & \cfrac{\pi}{5} \end{array}$

Luego el volumen es $V = \cfrac{\pi}{5} \, u^3$

7Calcular el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje $OX$ el recinto limitado por las gráficas de $y = 6x - x^2, \ y = x$

1Para encontrar los puntos de intersección de la recta y la parábola, resolvemos el sistema

$\left \{ \begin{array}{l} y = 6x - x^2, \\ y = x \end{array} \right.$

Igualamos y factorizamos para obtener

$\begin{array}{rcl} x & = & 6x - x^2 \\\\ x^2 -5x & = & 0 \\\\ x(x - 5) & = & 0 \end{array}$

Las raíces son $x = 0, \ x = 5$ . Luego los puntos de intersección son: $(0, 0), \ (5, 5)$

2Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen

$V = \pi \displaystyle \int_0^5 \left [ (6x - x^2)^2 - (x)^2 \right ] \, dx$

3Desarrollamos el integrando

$\begin{array}{rcl} V & = & \pi \displaystyle \int_0^5 \left [ (6x - x^2)^2 - (x)^2 \right ] \, dx \\\\ & = & \pi \displaystyle \int_0^5 \left ( x^4 - 12x^3 + 35x^2 \right ) \, dx \end{array}$

4Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración

$\begin{array}{rcl} \pi \displaystyle \int_0^5 \left ( x^4 - 12x^3 + 35x^2 \right ) \, dx & = & \pi \left. \left (\cfrac{x^5}{5} - 3x^4 + \cfrac{35x^3}{3} \right) \right|_0^5 \end{array}$

5Evaluamos en los extremos de integración

$\begin{array}{rcl} \pi \left. \left (\cfrac{x^5}{5} - 3x^4 + \cfrac{35x^3}{3} \right) \right|_0^5 & = & \pi \left [ \left (\cfrac{5^5}{5} - 3(5)^4 + \cfrac{35(5)^3}{3} \right) - \left ( \cfrac{0^5}{5} - 3(0)^4 + \cfrac{35(0)^3}{3} \right) \right ] \\\\ & = & \cfrac{625 \pi}{3} \end{array}$

Luego el volumen es $V = \cfrac{625 \pi}{3} \, u^3$

8Calcular el volumen que engendra un triángulo de vértices $A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0)$ al girar $360^o$ alrededor del eje $OX$ .

1Representamos graficamente

[/latex]

Las ecuaciones de las rectas que pasan por $AB$ y $BC$ son

$y = x - 3, \ \ y = -\cfrac{3}{2} (x - 8)$

2Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen, observando que para el segmento de recta $AB$ consideramos el intervalo $[3, 6]$ y para el segmento de recta $BC$ consideramos el intervalo $[6, 8]$

$V = \pi \displaystyle \int_3^6 (x - 3)^2 \, dx + \pi \displaystyle \int_6^8 \left (-\cfrac{3}{2} (x - 8) \right )^2 \, dx$

3Desarrollamos el integrando

$\begin{array}{rcl} V & = & \pi \displaystyle \int_3^6 (x - 3)^2 \, dx + \pi \displaystyle \int_6^8 \left (-\cfrac{3}{2} (x - 8) \right )^2 \, dx \\\\ & = & \pi \displaystyle \int_3^6 (x^2 - 6x + 9) \, dx + \cfrac{9 \pi}{4} \displaystyle \int_6^8 \left (x^2 - 16x + 64) \right ) \, dx \end{array}$

4Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración

$\begin{array}{rcl} \pi \displaystyle \int_3^6 (x^2 - 6x + 9) \, dx + \cfrac{9 \pi}{4} \displaystyle \int_6^8 \left (x^2 - 16x + 64) \right ) \, dx & = & \pi \left. \left (\cfrac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x \right) \right|_3^6 + \cfrac{9 \pi}{4} \left. \left (\cfrac{x^3}{3} - 8x^2 + 64x \right) \right|_6^8 \end{array}$

5Evaluamos en los extremos de integración y obtenemos

$\begin{array}{rcl} \pi \left. \left (\cfrac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x \right) \right|_3^6 + \cfrac{9 \pi}{4} \left. \left (\cfrac{x^3}{3} - 8x^2 + 64x \right) \right|_6^8 & = & 15 \pi \end{array}$

Luego el volumen es $V = 15 \pi \, u^3$

9Hallar el volumen de la figura engendrada al girar la elipse $\cfrac{x^2}{a^2} + \cfrac{y^2}{b^2} = 1$ alrededor del eje $OX$ .

1Representamos graficamente

2El centro de la elipse es $C(0, 0)$ . Los puntos de corte con el eje $OX$ son:

$(-a, 0), \ (a, 0)$

3A partir de la cuación de la elipse, obtenemos la función

$y = \cfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}$

Por ser la elipse una curva simétrica, el volumen pedido es 2 en veces el volumen engendrado por el arco entre $x = 0$ y $x = a$ .

4Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen

$V = 2 \pi \displaystyle \int_0^a \left ( \cfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \right )^2 \, dx$

5Desarrollamos el integrando

$\begin{array}{rcl} V & = & 2 \pi \displaystyle \int_0^a \left ( \cfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \right )^2 \, dx \\\\ & = & \cfrac{2 b^2 \pi}{a^2} \displaystyle \int_0^a \left (a^2 - x^2 \right ) \, dx \end{array}$

6Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración

$\begin{array}{rcl}\cfrac{2 b^2 \pi}{a^2} \displaystyle \int_0^a \left (a^2 - x^2 \right ) \, dx & = & \cfrac{2 b^2 \pi}{a^2} \left. \left (a^2 x -\cfrac{x^3}{3} \right) \right|_0^a \end{array}$

7Evaluamos en los extremos de integración

$\begin{array}{rcl} \cfrac{2 b^2 \pi}{a^2} \left. \left (a^2 x -\cfrac{x^3}{3} \right) \right|_0^a & = & \cfrac{2 b^2 \pi}{a^2} \left [ \left (a^2 (a) -\cfrac{a^3}{3} \right) - \left ( a^2 (0) -\cfrac{0^3}{3} \right) \right ] \\\\ & = & \cfrac{4 a b^2 \pi}{3} \end{array}$

Luego el volumen es $V = \cfrac{4 a b^2 \pi}{3} \, u^3$

10Calcular el volumen del cilindro engendrado por el rectángulo limitado por las rectas $y = 2, \ x = 1, \ x = 4$ , y el eje $OX$ al girar alrededor de este eje.

1Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen

$V = \pi \displaystyle \int_1^4 (2)^2 \, dx$

2Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración

$\begin{array}{rcl}V & = & \pi \displaystyle \int_1^4 (2)^2 \, dx \\\\ & = & \pi \displaystyle \int_1^4 4 \, dx \\\\ & = & \left. 4 \pi x \right|_1^4 \end{array}$

3Evaluamos en los extremos de integración

$\begin{array}{rcl}\left. 4 \pi x \right|_1^4 & = & 4 \pi (4) - 4 \pi (1) \\\\ & = & 12 \pi \end{array}$

Luego el volumen es $V = 12 \pi \, u^3$

11Calcular el volumen de la esfera de radio $r$ .

1Partimos de la ecuación de la circunferencia $x^2 + y^2 = r^2$

2Girando un semicírculo en torno al eje de abscisas se obtiene una esfera

3A partir de la cuación de la circunferencia, obtenemos la función

$y = \sqrt{r^2 - x^2}$

4Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen

$V = \pi \displaystyle \int_{-r}^r \left ( \sqrt{r^2 - x^2} \right )^2 \, dx$

5Desarrollamos el integrando

$\begin{array}{rcl} V & = & \pi \displaystyle \int_{-r}^r \left ( \sqrt{r^2 - x^2} \right )^2 \, dx \\\\ & = & \pi \displaystyle \int_{-r}^r \left (r^2 - x^2 \right ) \, dx \end{array}$

6Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración

$\begin{array}{rcl} \pi \displaystyle \int_{-r}^r \left (r^2 - x^2 \right ) \, dx & = & \pi \left. \left (r^2 x -\cfrac{x^3}{3} \right) \right|_{-r}^r \end{array}$

7Evaluamos en los extremos de integración

$\begin{array}{rcl} \pi \left. \left (r^2 x -\cfrac{x^3}{3} \right) \right|_{-r}^r & = & \pi \left [ \left (r^2 (r) -\cfrac{r^3}{3} \right) - \left ( r^2 (-r) -\cfrac{(-r)^3}{3} \right) \right ] \\\\ & = & \cfrac{4 \pi r^3}{3} \end{array}$

Luego el volumen es $V = \cfrac{4 \pi r^3}{3} \, u^3$

12Calcular el volumen engendrado por la rotación del área limitada por la parábola $\cfrac{y^2}{8} = x$ y la recta $x = 2$ , alrededor del eje $OY$ .

1Representamos graficamente

Como gira alrededor del eje $OY$ , aplicamos:

$V = \pi \displaystyle \int_a^b x^2 \, dy$

El volumen será la diferencia del engendrado por la recta y el engendrado por la parábola entre los extremos $y = -4, \ y = 4$ .

Como la parábola es simétrica con respecto al eje $OX$ , el volumen es igual a dos veces el volumen engendrado entre $y = 0, \ y = 4$ .

2Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen

$V = 2\pi \displaystyle \int_0^4 \left [2^2 - \left ( \cfrac{y^2}{8} \right )^2 \right ] \, dy$

3Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración

$\begin{array}{rcl}V & = & 2\pi \displaystyle \int_0^4 \left [2^2 - \left ( \cfrac{y^2}{8} \right )^2 \right ] \, dy \\\\ & = & 2 \pi \displaystyle \int_0^4 \left ( 4 -\cfrac{y^4}{64} \right ) \, dy \\\\ & = & 2 \pi \left. \left ( 4y - \cfrac{y^5}{320} \right ) \right|_0^4 \end{array}$

4Evaluamos en los extremos de integración

$\begin{array}{rcl} 2 \pi \left. \left ( 4y - \cfrac{y^5}{320} \right ) \right|_0^4 & = & 2 \pi \left [ \left ( 4(4) - \cfrac{4^5}{320} \right ) - \left ( 4(0) - \cfrac{0^5}{320} \right ) \right] \\\\ & = & \cfrac{128 \pi}{5} \end{array}$

Luego el volumen es $V = \cfrac{128 \pi}{5} \, u^3$

13Hallar el volumen del elipsoide engendrado por la elipse $16x^2 + 25y^2 = 400$ , al girar alrededor del eje $OX$ .

1Expresamos la elipse en su ecuación ordinara

$\cfrac{x^2}{25} + \cfrac{y^2}{16} = 1$

2El centro de la elipse es $C(0, 0), \ a = 5, \ b = 4$ . Aplicamos la fórmula obtenida en el ejercicio 9

$V = \cfrac{4 a b^2 \pi}{3} \, u^3$

3Sustituyendo los valores conocidos, obtenemos

$V = \cfrac{4 (5) (4)^2 \pi}{3} = \cfrac{320 \pi}{3} \, u^3$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Davila

Octubre

Calcular el volumen de una función tiene modulo en un intervalo positivo?

Gaspar Leon

Mayo

Hola Davila,

primero necesitas definir la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. Después calculas el volumen de la función a trozos en la intersección de los intervalos de su dominio con el intervalo positivo dado en tu ejercicio.

Espero haber resuelto tu duda.

Saludos.

Juana pelada

Febrero

Encontrar el sólido de revolución acotado por las gráficas
Y:-x^2+4x;. Y:x^2 gira en el eje y

Jerico

Marzo

hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región comprendida entre y=e^x,y=1,x=1 alrededor del eje x

salazar

Junio

Encontrar el volumen del sólido de revolución generado por la curva y=√x (lo que es lo mismo que y=x1/2) y el eje de las x de 0 a 25.me ayudan?

Gaspar Leon

Julio

Hola

Para encontrar el volumen empleamos la fórmula V=π∫_a^by²dx
En este caso a=0, b=25 por lo que al sustituir se obtiene
V=π∫₀²⁵x dx=[πx²/2]₀²⁵=625π/2 u³

Un saludo

Ángeles

Marzo

Calcula el volumen que se genera al girar la región limitada por y=√3x+1 con el eje x, desde x=0 hasta x=8, alrededor del eje x

V=π∫ab [f(x)]² dx a=0 b=8
y= √3x+1
π∫0 8 [√3x+1]²dx π∫0 8 [6x² +1]dx?

Rengifo Ganoza

Julio

Hallar el volumen engendrado por el área menor comprendido entre las curvas:
x^2 + y^2 = 25 y 3x^2 = 16 y al girar alrededor del eje X.

Gaspar Leon

Julio

Hola,

primero encontramos los puntos de intersección de ambas curvas, para esto resolvemos el sistema de ecuaciones

$\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2=25 \\ 3x^2=16y\end{array}\right. \ \ \ \longrightarrow \ \ \ x=\pm 4, \, y=3$

El volumen viene dado por la integral cuando x varía de -4 a 4 de pi veces la diferencia del cuadrado de la primera función y el cuadrado de la segunda función ambas en función de x

$V=\pi\displaystyle\int_{-4}^4\left(25-x^2-\frac{9x^4}{256}\right)dx=449.03 \, u^3$

Espero te sea de utilidad.
Un saludo

karen

Septiembre

Se sabe que las funciones definidas por y =√x e y = cx2 con c un valor constante, al rotarlas en torno al eje y = 0, generan un volumen igual a 24π/5. Determine el
valor de la constante c R

kerly lisseth

Septiembre

hallar por integración el área lateral del cono engendrado al hacer girar el segmento que une el origen con el punto (a.b) alrededor de OX

Valeria

Septiembre

Buen día tarde o noche, me podría ayudar con el siguiente problema (si es posible, sin usar derivadas)

Hallar el volumen de y=x^2/5

la parábola llega a 4
Rec: [0,4]

Felipe Noguera Rodríguez

Octubre

Hola Valeria.

Buscamos el volumen del sólido de revolución dada la función $y = \frac{x^2}{5}$ cuando esta gira con respecto al eje x (o al menos eso supongo). Para calcula el volumen simplemente hacemos una integral:

$\pi \int_{0}^{4} (\frac{x^2}{5})^2 dx = \pi \int_{0}^{4} \frac{x^4}{25} dx = \pi(\frac{4^5}{50} - \frac{0^5}{50}) = \pi(\frac{1024}{50}) = 64.34$ .

Saludos.

Jcasta.

Diciembre

Hallar el volumen del solido de la región acotada por el eje x y la parábola: y=3x-x^2 que gira alrededor de la recta x=-1 para generar la forma del sólido

Camilo Nicolás Aristegui Argandoña

Enero

la respuesta correcta es π*8,192 o 1024/125, se equivoco debido a que debe sacar la constante de integración (25) para resolver ese x^4.

que tenga un excelente día 😀

ANTHONY ANDRES ZAMBRANO ZAMBRANO

Septiembre

Hallar el volumen del solido generado al girar la determinada región por: x=2x-y^2 y las rectas x=0 y x=5 alrededor del eje x

Camilo Nicolás Aristegui Argandoña

Enero

A mi me dio V= π*25/2.

Briones

Octubre

Hallar el volumen del cuerpo generado por la rotación, alrededor del eje X, de la superficie
limitada por el eje X y la parábola y = 4x − x^2
Me podría ayudar?

Camilo Nicolás Aristegui Argandoña

Enero

según mi desarrollo da π*34,13 (aprox.) o 512*π/15 el volumen

Emilia

Octubre

Encontrar el volumen del solido delimitado por la siguiente función y=e ^−x, x^2 y el eje y alrededor del eje x

dario yime

Octubre

Excelente docente Mil gracias por su dedicacion.

Nayeli M

Octubre

Hola

Hallar el volumen del toro generado en la rotación del círculo x²+y²=4, alrededor de la recta x=3

Steven Neira

Octubre

Encuentre el voltaje del solido que se genera al hacer girar, en torno al eje y, la region acotada por la recta y = 4x y la parábola y = 4x^2.

Lauuu

Noviembre

Cuál es el volumen generado por la rotación de la función f(x)=x² en torno al eje Y, tomando las rectas Y=0, X=0 y X=2? Para responder sólo indica la cantidad, sin el valor pi)

Mel

Diciembre

Disculpa, cómo puedo realizar este ejercicio?
Se hace girar el disco x²+y² a), para generar un sólido de revolución que tiene forma de rosquilla, el cual se denomina toro. Determina su volumen

Estrella

Noviembre

Encuentre el volumen V del solido formado al girar alrededor del eje x la región acotada por las gráficas de y = raíz de x, y = 0 y x=4

Carolina

Noviembre

Hola, si mi ejercicio viene sin intervalo ¿Cómo puedo resolverlo?

Domingo Perez

Diciembre

Hola me pueden ayudar con este ejercicio.
Calcular el volumen del sólido que engendra al girar alrededor del eje OX la región comprendida entre dicho eje y2 = 8x. y la gráfica de la función

JESUS ALVARADO

Diciembre

Buen día
Alguien que me pueda ayudar por favor
Calcular el volumen del sólido de revolución dela función 𝑦=cos(𝑥), y el punto 𝑦=0 y 𝑥=0, en torno al eje 𝑦.

Raul Ramirez

Diciembre

Hola que tal Buenas noches espero se encuentren muy bien.
Me podrían ayudar con este ejercicio.
Calcular el volumen del sólido de revolución de la función y=cos⁡(x), y el punto y=0 y x=0, en torno al eje y. Graficar la figura obtenida.

Kenny Cristian

Diciembre

Hola mi ejercicio es el siguiente: hallar el volumen generado al girar la superficie comprendida entre las curvas y=senx, y=cosx y la recta x=0

Leonardo

Diciembre

Calcule el volumen engendrado al girar alrededor del eje x, las funciones F(x) = x – x^2, entre x = 0 y x = 1

Diocel vargas

Enero

Hola me podrian ayudar con este ejercicio: por favor ( encontrar el solido generado al rotar el eje x la region acotada por la parabola y=x2 +1 y la recta y=x+2 use el (metodo del anillo)

Enero

determina la constante de interacción y encuentra la ecuación de la curva que pasa por el punto de coordenadas p(0,2) y cuya primewra derivada es x-1/y-1 , me pueden ayudar?

esmeralda

Enero

. Determine el volumen del sólidos de revolución generado al hacer girar respecto al eje Y , la región limitada por las curvas:

x – sqrt( y²+4) =0 ; y^2 – 9=0 ; x=0 eje(y)
podrian ayudarme por favor

anonimo

Enero

Calcular el volumen del sólido que se obtiene al hacer girar alrededor del ejey la región limitada por y=cx2−x3 y y=0.

Octavio

Enero

Dada la región plana R en el primer cuadrante limitada por:
3y-4x=6; 4y-3x=8,
Hallar el volumen generado al rotar R alrededor del eje x.

Vinces Almea Shirley

Febrero

hola no se como resolver estos ejercicio me podrían ayudar
Ejercicio 3

Calcule el volumen de la región limitada por las funciones f(x)=X2 y g(x)= 2X al hacerla girar sobre el eje Y

Ejercicio 4

Calcule el volumen de la región limitada por las funciones f(x)=X2 y g(x)= X2 /2 al hacerla girar sobre el eje Y

Noe Hdz

Febrero

1.𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑎𝑙 𝑔𝑖𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑦2=𝑥3 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑋 𝑎 𝑙𝑜 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑥∈[0,1]

me pueden ayudar por favor.

Piero

Febrero

Hallar el volumen del solido generado al rotar alrededor del eje x la región acotada por la curva y=1+(x/2), 0 \le x\le 10

JOSELYN NICOLE NOGUERA ZAMBRANO

Febrero

Hallar el volumen del solido genero al girar la región por; x=2x-y^2 y las rectas x=0 y x=5 alrededor del eje x.

maite

Marzo

b) Obtén el volumen que se genera al rotar en torno al eje de las “x” el área limitada por la curva y la recta y=0

gustavo

Marzo

Encuentre el volumen generado al rotar, alrededor del eje y, la región comprendida por la parábola y2= x − 3 y la recta y= x −5 me ayudan por favor

Sam

Marzo

Hallar el volumen de la región limitada alrededor del eje indicada
y=x x=0 y=4
a) ↑ eje y
b) ↑ x=-3
c)↑ x=4

ana

Marzo

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX, la superficie
limitada por la catenaria 𝑦 = 𝑎𝑐ℎ 𝑥/𝑎 el eje OX y las rectas x= ± a

Angy Montiel

Marzo

El volumen del sólido de revolución generado cuando la región acotada por la curva
𝑦 = 𝑥^2, el eje 𝑥 y las rectas 𝑥 = 1 y 𝑥 = 2 se hace girar alrededor del eje 𝑥 es:

arellano

Abril

Encuentre el volumen que resulta de rotar alrededor del eje x, la región acotada por:𝑦=9/𝑥^2+9, 𝑦=0, 𝑥=0 𝑦 𝑥=3

estefany salas

Abril

Límites.
La familia Gonzales tiene una piscina en un jardín y al llegar el verano es necesario cambiar el agua, abren el desagüe y la piscina se comienza a vaciar según la función
v(t)=(√(t-3)-2)/(t-1)
¿Cuál es el volumen de vaciado en la primera hora?

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