El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva f(x) alrededor del eje OX y limitado por x = a y x = b, viene dado por:

 

V = \pi \displaystyle \int_a^b [f(x)]^2 \, dx

 

1Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por la rotación alrededor OX del área limitada por y = 6 - x, \ y = 0, \ x = 0, \ x = 4.

1Representamos gráficamente el problema

 

Volumen de una funcion 1

 

2Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen

 

V = \pi \displaystyle \int_0^4 (6 - x)^2 \, dx

 

3Para resolver la integral, consideramos la sustitución u = 6 - x y calculamos su derivada

 

u' = -1

 

4Empleamos la fórmula de integración

 

\displaystyle \int u^n \cdot u' \, dx = \cfrac{u^{n + 1}}{n + 1} + C

 

5Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración

 

\begin{array}{rcl}V & = & \pi \displaystyle \int_0^4 (6 - x)^2 \, dx \\\\ & = & - \pi \displaystyle \int_0^4 (6 - x)^2 \cdot (-1) \, dx \\\\ & = & - \left. \cfrac{\pi}{3}(6 -x)^3 \right|_0^4 \end{array}

 

6Evaluamos en los extremos de integración

 

\begin{array}{rcl}- \left. \cfrac{\pi}{3}(6 -x)^3 \right|_0^4 & = & -\cfrac{\pi}{3}(6 - 4)^3 + \cfrac{\pi}{3}(6 - 0)^3 \\\\ & = & \cfrac{208 \, \pi}{3} \end{array}

 

Luego el volumen es V = \cfrac{208 \, \pi}{3} \, u^3

 

2Hallar el volumen engendrado por las superficies limitadas por la curva y = sen x y las rectas x = 0, \ x = \pi,  al girar en torno al eje OX

1Representamos gráficamente el problema

 

Volumen de una funcion 2

 

2Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen

 

V = \pi \displaystyle \int_0^\pi sen^2 x \, dx

 

3Para resolver la integral, consideramos la identidad trigonométrica sen^2 x = \cfrac{1}{2}(1 - cos \, 2x), por lo que la integral se expresa

 

\begin{array}{rcl} V & = & \pi \displaystyle \int_0^\pi sen^2 x \, dx \\\\  & = & \cfrac{\pi}{2} \displaystyle \int_0^{\pi}(1 - cos \, 2x) \, dx \end{array}

 

4Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración

 

\begin{array}{rcl}\cfrac{\pi}{2} \displaystyle \int_0^{\pi}(1 - cos \, 2x) \, dx & = & \cfrac{\pi}{2}\left. \left (x - \cfrac{1}{2} \, sen \, 2x \right) \right|_0^\pi \end{array}

 

5Evaluamos en los extremos de integración

 

\begin{array}{rcl}\cfrac{\pi}{2}\left. \left (x - \cfrac{1}{2} \, sen \, 2x \right) \right|_0^\pi & = & \cfrac{\pi}{2} \left [ \left (\pi - \cfrac{1}{2} \, sen \, 2 \pi \right) - \left (0 - \cfrac{1}{2} \, sen \, 2 (0) \right) \right ] \\\\ & = & \cfrac{\pi^2}{2} \end{array}

 

Luego el volumen es V = \cfrac{\pi^2}{2} \, u^3

 

3Calcular el volumen engendrado por una semionda de la sinusoide y = sen \, x, al girar alrededor del eje OX.

1Representamos gráficamente el problema

 

Volumen de una funcion 3

 

Observamos que la sinusoide corresponde a la figura del ejercicio 2

 

2Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen

 

V = \pi \displaystyle \int_0^\pi sen^2 x \, dx

 

3Para resolver la integral, consideramos la identidad trigonométrica sen^2 x = \cfrac{1}{2}(1 - cos \, 2x), por lo que la integral se expresa

 

\begin{array}{rcl} V & = & \pi \displaystyle \int_0^\pi sen^2 x \, dx \\\\ & = & \cfrac{\pi}{2} \displaystyle \int_0^{\pi}(1 - cos \, 2x) \, dx \end{array}

 

4Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración

 

\begin{array}{rcl}\cfrac{\pi}{2} \displaystyle \int_0^{\pi}(1 - cos \, 2x) \, dx & = & \cfrac{\pi}{2}\left. \left (x - \cfrac{1}{2} \, sen \, 2x \right) \right|_0^\pi \end{array}

 

5Evaluamos en los extremos de integración

 

\begin{array}{rcl}\cfrac{\pi}{2}\left. \left (x - \cfrac{1}{2} \, sen \, 2x \right) \right|_0^\pi & = & \cfrac{\pi}{2} \left [ \left (\pi - \cfrac{1}{2} \, sen \, 2 \pi \right) - \left (0 - \cfrac{1}{2} \, sen \, 2 (0) \right) \right ] \\\\ & = & \cfrac{\pi^2}{2} \end{array}

 

Luego el volumen es V = \cfrac{\pi^2}{2} \, u^3

 

4Hallar el volumen del cuerpo revolución engendrado al girar alrededor del eje OX, la región determinada por la función f(x) = 1/2 + cos \, x, el eje de abscisas y las rectas x = 0, \ x = \pi.

1Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen

 

V = \pi \displaystyle \int_0^\pi \left ( \cfrac{1}{2} +  cos \, x \right )^2 \, dx

 

2Desarrollamos el integrando

 

\begin{array}{rcl} V & = & \pi \displaystyle \int_0^\pi \left ( \cfrac{1}{2} +  cos \, x \right )^2 \, dx \\\\ & = & \pi \displaystyle \int_0^{\pi} \left (\cfrac{1}{4} + cos \, x + cos^2 x \right ) \, dx \end{array}

 

3Consideramos la identidad trigonométrica cos^2 x = \cfrac{1}{2}(1 + cos \, 2x). Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración

 

\begin{array}{rcl} \pi \displaystyle \int_0^{\pi} \left (\cfrac{1}{4} + cos \, x + cos^2 x \right ) \, dx & = & \pi \left. \left (\cfrac{x}{4} + sen \, x + \cfrac{x}{2} + \cfrac{1}{4}\, sen \, 2x \right) \right|_0^\pi \end{array}

 

4Evaluamos en los extremos de integración

 

\begin{array}{rcl} \pi \left. \left (\cfrac{x}{4} + sen \, x + \cfrac{x}{2} + \cfrac{1}{4}\, sen \, 2x \right) \right|_0^\pi & = & \pi \left [ \left (\cfrac{\pi}{4} + sen \, \pi + \cfrac{\pi}{2} + \cfrac{1}{4}\, sen \, 2\pi \right) - \left ( \cfrac{0}{4} + sen \, 0 + \cfrac{0}{2} + \cfrac{1}{4}\, sen \, 2(0) \right) \right ] \\\\ & = & \cfrac{3 \pi^2}{4} \end{array}

 

Luego el volumen es V = \cfrac{3 \pi^2}{4} \, u^3

 

5Hallar el volumen engendrado por el círculo x^2 + y^2 - 4x = -3 al girar alrededor del eje OX.

1Expresamos la ecuación del círculo en su forma ordinaria

 

(x - 2)^2  + y^2 = 1

 

2El centro de la circunferencia es C(2, 0) y el radio r = 1. Los puntos de corte con el eje OX son:

 

(1, 0), \ (3, 0)

 

3A partir de la cuación general del círculo obtenemos la función

 

y = \sqrt{-x^2 + 4x - 3}

 

Volumen de una funcion 4

 

4Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen

 

V = \pi \displaystyle \int_1^3 \left ( \sqrt{-x^2 + 4x - 3} \right )^2 \, dx

 

5Desarrollamos el integrando

 

\begin{array}{rcl} V & = & \pi \displaystyle \int_1^3 \left ( \sqrt{-x^2 + 4x - 3} \right )^2 \, dx \\\\ & = & \pi \displaystyle \int_1^3 \left ( -x^2 + 4x - 3 \right ) \, dx \end{array}

 

6Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración

 

\begin{array}{rcl}\pi \displaystyle \int_1^3 \left ( -x^2 + 4x - 3 \right ) \, dx & = & \pi \left. \left (-\cfrac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right) \right|_1^3 \end{array}

 

7Evaluamos en los extremos de integración

 

\begin{array}{rcl} \pi \left. \left (-\cfrac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right) \right|_1^3 & = & \pi \left [ \left (-\cfrac{3^3}{3} + 2(3)^2 - 3(3) \right) - \left ( -\cfrac{1^3}{3} + 2(1)^2 - 3(1) \right) \right ] \\\\ & = & \cfrac{4 \pi}{3} \end{array}

 

Luego el volumen es V = \cfrac{4 \pi}{3} \, u^3

 

6Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 2x - x^2, \ y = -x + 2.

1Para encontrar los puntos de intersección de la recta y la parábola, resolvemos el sistema

 

\left \{ \begin{array}{l} y = 2x - x^2, \\  y = -x + 2 \end{array} \right.

 

Igualamos y factorizamos para obtener

 

\begin{array}{rcl} -x + 2 & = & 2x - x^2 \\\\ x^2 -3x + 2 & = & 0 \\\\ (x - 1)(x - 2) & = & 0 \end{array}

 

Las raíces son x = 1, \ x = 2. Luego los puntos de intersección son: (1, 1), \ (2, 0)

 

Volumen de una funcion 5

 

2Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen

 

V = \pi \displaystyle \int_1^2 \left [ (2x - x^2)^2 - (-x + 2 )^2 \right ] \, dx

 

3Desarrollamos el integrando

 

\begin{array}{rcl} V & = & \pi \displaystyle \int_1^2 \left [ (2x - x^2)^2 - (-x + 2 )^2 \right ] \, dx \\\\ & = & \pi \displaystyle \int_1^2 \left ( x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 4x - 4 \right ) \, dx \end{array}

 

4Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración

 

\begin{array}{rcl} \pi \displaystyle \int_1^2 \left ( x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 4x - 4 \right ) \, dx & = & \pi \left. \left (\cfrac{x^5}{5} + x^4 + x^3 + 2x^2 - 4x \right) \right|_1^2 \end{array}

 

5Evaluamos en los extremos de integración

 

\begin{array}{rcl} \pi \left. \left (\cfrac{x^5}{5} + x^4 + x^3 + 2x^2 - 4x \right) \right|_1^2 & = & \pi \left [ \left (\cfrac{2^5}{5} + 2^4 + 2^3 + 2(2)^2 - 4(2) \right) - \left ( \cfrac{1^5}{5} + 1^4 + 1^3 + 2(1)^2 - 4(1) \right) \right ] \\\\ & = & \cfrac{\pi}{5} \end{array}

 

Luego el volumen es V = \cfrac{\pi}{5} \, u^3

 

7Calcular el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 6x - x^2, \ y = x

1Para encontrar los puntos de intersección de la recta y la parábola, resolvemos el sistema

 

\left \{ \begin{array}{l} y = 6x - x^2, \\ y = x \end{array} \right.

 

Igualamos y factorizamos para obtener

 

\begin{array}{rcl} x & = & 6x - x^2 \\\\ x^2 -5x & = & 0 \\\\ x(x - 5) & = & 0 \end{array}

 

Las raíces son x = 0, \ x = 5. Luego los puntos de intersección son: (0, 0), \ (5, 5)

 

Volumen de una funcion 6

 

2Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen

 

V = \pi \displaystyle \int_0^5 \left [ (6x - x^2)^2 - (x)^2 \right ] \, dx

 

3Desarrollamos el integrando

 

\begin{array}{rcl} V & = & \pi \displaystyle \int_0^5 \left [ (6x - x^2)^2 - (x)^2 \right ] \, dx \\\\ & = & \pi \displaystyle \int_0^5 \left ( x^4 - 12x^3 + 35x^2 \right ) \, dx \end{array}

 

4Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración

 

\begin{array}{rcl} \pi \displaystyle \int_0^5 \left ( x^4 - 12x^3 + 35x^2 \right ) \, dx & = & \pi \left. \left (\cfrac{x^5}{5} - 3x^4 + \cfrac{35x^3}{3} \right) \right|_0^5 \end{array}

 

5Evaluamos en los extremos de integración

 

\begin{array}{rcl} \pi \left. \left (\cfrac{x^5}{5} - 3x^4 + \cfrac{35x^3}{3} \right) \right|_0^5 & = & \pi \left [ \left (\cfrac{5^5}{5} - 3(5)^4 + \cfrac{35(5)^3}{3} \right) - \left ( \cfrac{0^5}{5} - 3(0)^4 + \cfrac{35(0)^3}{3} \right) \right ] \\\\ & = & \cfrac{625 \pi}{3} \end{array}

 

Luego el volumen es V = \cfrac{625 \pi}{3} \, u^3

 

8Calcular el volumen que engendra un triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0) al girar 360^o alrededor del eje OX.

1Representamos graficamente

 

Volumen de una funcion 7[/latex]

 

Las ecuaciones de las rectas que pasan por AB y BC son

 

 y = x - 3, \ \ y = -\cfrac{3}{2} (x - 8)

 

2Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen, observando que para el segmento de recta AB consideramos el intervalo [3, 6] y para el segmento de recta BC consideramos el intervalo [6, 8]

 

V = \pi \displaystyle \int_3^6 (x - 3)^2 \, dx + \pi \displaystyle \int_6^8 \left (-\cfrac{3}{2} (x - 8) \right )^2 \, dx

 

3Desarrollamos el integrando

 

\begin{array}{rcl} V & = & \pi \displaystyle \int_3^6 (x - 3)^2 \, dx + \pi \displaystyle \int_6^8 \left (-\cfrac{3}{2} (x - 8) \right )^2 \, dx \\\\ & = & \pi \displaystyle \int_3^6 (x^2 - 6x + 9) \, dx + \cfrac{9 \pi}{4} \displaystyle \int_6^8 \left (x^2 - 16x + 64) \right ) \, dx \end{array}

 

4Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración

 

\begin{array}{rcl} \pi \displaystyle \int_3^6 (x^2 - 6x + 9) \, dx + \cfrac{9 \pi}{4} \displaystyle \int_6^8 \left (x^2 - 16x + 64) \right ) \, dx & = & \pi \left. \left (\cfrac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x \right) \right|_3^6 + \cfrac{9 \pi}{4} \left. \left (\cfrac{x^3}{3} - 8x^2 + 64x \right) \right|_6^8 \end{array}

 

5Evaluamos en los extremos de integración y obtenemos

 

\begin{array}{rcl} \pi \left. \left (\cfrac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x \right) \right|_3^6 + \cfrac{9 \pi}{4} \left. \left (\cfrac{x^3}{3} - 8x^2 + 64x \right) \right|_6^8 & = &  15 \pi \end{array}

 

Luego el volumen es V = 15 \pi \, u^3

 

9Hallar el volumen de la figura engendrada al girar la elipse \cfrac{x^2}{a^2} + \cfrac{y^2}{b^2} = 1 alrededor del eje OX.

1Representamos graficamente

 

Volumen de una funcion 8

 

2El centro de la elipse es C(0, 0). Los puntos de corte con el eje OX son:

 

(-a, 0), \ (a, 0)

 

3A partir de la cuación  de la elipse, obtenemos la función

 

y = \cfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}

 

Por ser la elipse una curva simétrica, el volumen pedido es 2 en veces el volumen engendrado por el arco entre x = 0 y x = a.

 

4Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen

 

V = 2 \pi \displaystyle \int_0^a \left ( \cfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \right )^2 \, dx

 

5Desarrollamos el integrando

 

\begin{array}{rcl} V & = & 2 \pi \displaystyle \int_0^a \left ( \cfrac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \right )^2 \, dx \\\\ & = & \cfrac{2 b^2 \pi}{a^2} \displaystyle \int_0^a \left (a^2 - x^2 \right ) \, dx \end{array}

 

6Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración

 

\begin{array}{rcl}\cfrac{2 b^2 \pi}{a^2} \displaystyle \int_0^a \left (a^2 - x^2 \right ) \, dx & = & \cfrac{2 b^2 \pi}{a^2} \left. \left (a^2 x -\cfrac{x^3}{3} \right) \right|_0^a \end{array}

 

7Evaluamos en los extremos de integración

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{2 b^2 \pi}{a^2} \left. \left (a^2 x -\cfrac{x^3}{3} \right) \right|_0^a & = & \cfrac{2 b^2 \pi}{a^2} \left [ \left (a^2 (a) -\cfrac{a^3}{3} \right) - \left ( a^2 (0) -\cfrac{0^3}{3} \right) \right ] \\\\ & = & \cfrac{4 a b^2 \pi}{3} \end{array}

 

Luego el volumen es V = \cfrac{4 a b^2 \pi}{3} \, u^3

 

10Calcular el volumen del cilindro engendrado por el rectángulo limitado por las rectas y = 2, \ x = 1, \ x = 4, y el eje OX al girar alrededor de este eje.

1Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen

 

V = \pi \displaystyle \int_1^4 (2)^2 \, dx

 

2Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración

 

\begin{array}{rcl}V & = & \pi \displaystyle \int_1^4 (2)^2 \, dx \\\\ & = & \pi \displaystyle \int_1^4 4 \, dx \\\\ & = & \left. 4 \pi x \right|_1^4 \end{array}

 

3Evaluamos en los extremos de integración

 

\begin{array}{rcl}\left. 4 \pi x \right|_1^4 & = & 4 \pi (4) - 4 \pi (1) \\\\ & = & 12 \pi \end{array}

 

Luego el volumen es V = 12 \pi \, u^3

 

11Calcular el volumen de la esfera de radio r.

1Partimos de la ecuación de la circunferencia x^2 + y^2 = r^2

 

2Girando un semicírculo en torno al eje de abscisas se obtiene una esfera

 

Volumen de una funcion 9

 

3A partir de la cuación de la circunferencia, obtenemos la función

 

y = \sqrt{r^2 - x^2}

 

4Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen

 

V = \pi \displaystyle \int_{-r}^r \left ( \sqrt{r^2 - x^2} \right )^2 \, dx

 

5Desarrollamos el integrando

 

\begin{array}{rcl} V & = & \pi \displaystyle \int_{-r}^r \left ( \sqrt{r^2 - x^2} \right )^2 \, dx \\\\ & = & \pi \displaystyle \int_{-r}^r \left (r^2 - x^2 \right ) \, dx \end{array}

 

6Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración

 

\begin{array}{rcl} \pi \displaystyle \int_{-r}^r \left (r^2 - x^2 \right ) \, dx & = & \pi \left. \left (r^2 x -\cfrac{x^3}{3} \right) \right|_{-r}^r \end{array}

 

7Evaluamos en los extremos de integración

 

\begin{array}{rcl} \pi \left. \left (r^2 x -\cfrac{x^3}{3} \right) \right|_{-r}^r & = & \pi \left [ \left (r^2 (r) -\cfrac{r^3}{3} \right) - \left ( r^2 (-r) -\cfrac{(-r)^3}{3} \right) \right ] \\\\ & = & \cfrac{4 \pi r^3}{3} \end{array}

 

Luego el volumen es V = \cfrac{4 \pi r^3}{3} \, u^3

 

12Calcular el volumen engendrado por la rotación del área limitada por la parábola \cfrac{y^2}{8} = x y la recta x = 2, alrededor del eje OY.

1Representamos graficamente

 

Volumen de una funcion 10

 

Como gira alrededor del eje OY, aplicamos:

 

V = \pi \displaystyle \int_a^b x^2 \, dy

 

El volumen será la diferencia del engendrado por la recta y el engendrado por la parábola entre los extremos y = -4, \ y = 4.

 

Como la parábola es simétrica con respecto al eje OX, el volumen es igual a dos veces el volumen engendrado entre y = 0, \ y = 4.

 

2Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen

 

V = 2\pi \displaystyle \int_0^4 \left [2^2 - \left ( \cfrac{y^2}{8} \right )^2 \right ] \, dy

 

3Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración

 

\begin{array}{rcl}V & = & 2\pi \displaystyle \int_0^4 \left [2^2 - \left ( \cfrac{y^2}{8} \right )^2 \right ] \, dy \\\\ & = & 2 \pi \displaystyle \int_0^4 \left ( 4 -\cfrac{y^4}{64} \right )  \, dy \\\\ & = & 2 \pi \left. \left ( 4y - \cfrac{y^5}{320} \right ) \right|_0^4 \end{array}

 

4Evaluamos en los extremos de integración

 

\begin{array}{rcl} 2 \pi \left. \left ( 4y - \cfrac{y^5}{320} \right ) \right|_0^4 & = & 2 \pi \left [ \left ( 4(4) - \cfrac{4^5}{320} \right ) - \left ( 4(0) - \cfrac{0^5}{320} \right ) \right] \\\\ & = & \cfrac{128 \pi}{5} \end{array}

 

Luego el volumen es V = \cfrac{128 \pi}{5} \, u^3

 

13Hallar el volumen del elipsoide engendrado por la elipse 16x^2 + 25y^2 = 400, al girar alrededor del eje OX.

1Expresamos la elipse en su ecuación ordinara

 

\cfrac{x^2}{25} + \cfrac{y^2}{16} = 1

 

Volumen de una funcion 11

 

2El centro de la elipse es C(0, 0), \ a = 5, \ b = 4. Aplicamos la fórmula obtenida en el ejercicio 9

 

V = \cfrac{4 a b^2 \pi}{3} \, u^3

 

3Sustituyendo los valores conocidos, obtenemos

 

V = \cfrac{4 (5) (4)^2 \pi}{3} = \cfrac{320 \pi}{3} \, u^3

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗