El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva alrededor del eje
y limitado por
y
, viene dado por:
1Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por la rotación alrededor del área limitada por
.
1Representamos gráficamente el problema
2Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen
3Para resolver la integral, consideramos la sustitución y calculamos su derivada
4Empleamos la fórmula de integración
5Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración
6Evaluamos en los extremos de integración
Luego el volumen es
2Hallar el volumen engendrado por las superficies limitadas por la curva y las rectas
, al girar en torno al eje OX
1Representamos gráficamente el problema
2Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen
3Para resolver la integral, consideramos la identidad trigonométrica , por lo que la integral se expresa
4Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración
5Evaluamos en los extremos de integración
Luego el volumen es
3Calcular el volumen engendrado por una semionda de la sinusoide , al girar alrededor del eje
.
1Representamos gráficamente el problema
Observamos que la sinusoide corresponde a la figura del ejercicio 2
2Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen
3Para resolver la integral, consideramos la identidad trigonométrica , por lo que la integral se expresa
4Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración
5Evaluamos en los extremos de integración
Luego el volumen es
4Hallar el volumen del cuerpo revolución engendrado al girar alrededor del eje , la región determinada por la función
, el eje de abscisas y las rectas
.
1Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen
2Desarrollamos el integrando
3Consideramos la identidad trigonométrica . Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración
4Evaluamos en los extremos de integración
Luego el volumen es
5Hallar el volumen engendrado por el círculo al girar alrededor del eje
.
1Expresamos la ecuación del círculo en su forma ordinaria
2El centro de la circunferencia es y el radio
. Los puntos de corte con el eje
son:
3A partir de la cuación general del círculo obtenemos la función
4Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen
5Desarrollamos el integrando
6Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración
7Evaluamos en los extremos de integración
Luego el volumen es
6Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje el recinto limitado por las gráficas de
.
1Para encontrar los puntos de intersección de la recta y la parábola, resolvemos el sistema
Igualamos y factorizamos para obtener
Las raíces son . Luego los puntos de intersección son:
2Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen
3Desarrollamos el integrando
4Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración
5Evaluamos en los extremos de integración
Luego el volumen es
7Calcular el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje el recinto limitado por las gráficas de
1Para encontrar los puntos de intersección de la recta y la parábola, resolvemos el sistema
Igualamos y factorizamos para obtener
Las raíces son . Luego los puntos de intersección son:
2Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen
3Desarrollamos el integrando
4Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración
5Evaluamos en los extremos de integración
Luego el volumen es
8Calcular el volumen que engendra un triángulo de vértices al girar
alrededor del eje
.
1Representamos graficamente
[/latex]
Las ecuaciones de las rectas que pasan por y
son
2Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen, observando que para el segmento de recta consideramos el intervalo
y para el segmento de recta
consideramos el intervalo
3Desarrollamos el integrando
4Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración
5Evaluamos en los extremos de integración y obtenemos
Luego el volumen es
9Hallar el volumen de la figura engendrada al girar la elipse alrededor del eje
.
1Representamos graficamente
2El centro de la elipse es . Los puntos de corte con el eje
son:
3A partir de la cuación de la elipse, obtenemos la función
Por ser la elipse una curva simétrica, el volumen pedido es 2 en veces el volumen engendrado por el arco entre y
.
4Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen
5Desarrollamos el integrando
6Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración
7Evaluamos en los extremos de integración
Luego el volumen es
10Calcular el volumen del cilindro engendrado por el rectángulo limitado por las rectas , y el eje
al girar alrededor de este eje.
1Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen
2Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración
3Evaluamos en los extremos de integración
Luego el volumen es
11Calcular el volumen de la esfera de radio .
1Partimos de la ecuación de la circunferencia
2Girando un semicírculo en torno al eje de abscisas se obtiene una esfera
3A partir de la cuación de la circunferencia, obtenemos la función
4Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen
5Desarrollamos el integrando
6Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración
7Evaluamos en los extremos de integración
Luego el volumen es
12Calcular el volumen engendrado por la rotación del área limitada por la parábola y la recta
, alrededor del eje
.
1Representamos graficamente
Como gira alrededor del eje , aplicamos:
El volumen será la diferencia del engendrado por la recta y el engendrado por la parábola entre los extremos .
Como la parábola es simétrica con respecto al eje , el volumen es igual a dos veces el volumen engendrado entre
.
2Sustituimos en la fórmula para encontrar el volumen
3Al tratarse de una integral definida, podemos prescindir de la constante de integración
4Evaluamos en los extremos de integración
Luego el volumen es
13Hallar el volumen del elipsoide engendrado por la elipse , al girar alrededor del eje
.
1Expresamos la elipse en su ecuación ordinara
2El centro de la elipse es . Aplicamos la fórmula obtenida en el ejercicio 9
3Sustituyendo los valores conocidos, obtenemos
La plataforma que conecta profes particulares y estudiantes
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Encuentra el volumen que se genera por la superficie limitada por la circunferencia x²+y²=1, cuando gira en torno a la recta x+3=0
3. Calcule el volumen total (𝑉𝑇) del sólido de la figura, sabiendo que
𝑉1 = 2𝑎2𝑏𝑐3. 𝑉2 = 1 𝑎2𝑏𝑐3.
f(x, y) = (sin(x – y) + sqrt(2x + y))/(sqrt(2x – x ^ 2 – 4y ^ 2 – 16y – 1))
Encontra el volumen del solido de revolucion del eje x la region acotada por las graficas de la ecuacion
Y=9-×^2
Y=9-x^2
Encontrar el volumen solido de revolucion que gira alrededor de eje x la region acotada por las graficas de las ecuaciones
Y=9-×^2
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje x, la superficie comprendida entre las parábolas con ecuaciones.
Y=x², Y=√x
Holaa
Por favor me podrían ayudar con este ejercicio 🙏
Hallar el volumen generado por el segmento de recta y=1+x/3, 0 ≤ x ≤ 12 , que gira entorno al eje x.
formular y evaluar la integral que da el volumen del sólido
formado al girar la región alrededor del eje x.
𝑦 = 1 − 𝑥.
cual es el volumen entres x=0 igual x=5 generado por la curva y=2 graficar