La integración por partes tambien suele utilizarse cuando tenemos una integral en la que sólo aparece un logaritmo o un "arco", en estos casos integramos por partes tomando: v' = 1 .

 

A continuación vemos algunos ejemplos de ejercicios aplicando la integración por partes en esta clase de integrales.
 

Ejemplos de ejercicios de integración por partes

 

1 \int \arctan x dx :

Tomamos

    \begin{align*} u = \arctan x \quad &\Rightarrow \quad u' = \frac{1}{1+x^{2}} \\ v' = 1 \quad & \Rightarrow \quad v = x \end{align*}

Por tanto

    \begin{align*} \int \arctan x dx &= x \arctan x - \int \frac{x}{1+x^{2}} dx \\ &= x \arctan x - \frac{1}{2} \ln \left(1+x^{2}\right) + C \end{align*}

 

2 \int \operatorname{arcsen} x dx :

Tomamos

    \begin{align*} u = \operatorname{arcsen} x \quad &\Rightarrow \quad u' = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ v' = 1 \quad & \Rightarrow \quad v = x \end{align*}

Por tanto

    \begin{align*} \int \operatorname{arcsen} x dx &= x \operatorname{arcsen} x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} dx \\ &= x \operatorname{arcsen} x - \sqrt{1-x^{2}} + C \end{align*}

 

3 \int \ln x dx :

Para integrar por partes consideramos que

    \begin{align*} u = \ln x \quad &\Rightarrow \quad u' = \frac{1}{x} \\ v' = 1 \quad & \Rightarrow \quad v = x \end{align*}

por tanto obtenemos

    \begin{align*} \int \ln x dx &= x \ln x - \int dx \\ &= x \ln x - x + C \end{align*}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗