¿Cómo calculamos el área entre dos funciones?

 

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.

 

{\int^b_a[g(x)-f(x)]dx}
 

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Ejemplo resuelto del área entre dos funciones

 

Calcular el área limitada por la curva
 

{y = x^2 - 5x + 6}

 

y la recta
 

{y = 2x}.
 

En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.

 
Esto lo haremos al resolver la ecuación
 

{x^2 - 5x + 6 = 2x},
 

es decir, igualando las funciones.

 

{\left\{\begin{matrix} y=x^2-5x+6 & & \\ y=2x & x_1=1 & x_2=6 \end{matrix}\right.}
 

Gráfica del área entre una recta y una parábola

 

De {x = 1} a {x = 6}, la recta queda por encima de la parábola. Entonces el área va a estar dada por:

 

{A = \int^6_1(2x - x^2 + 5x - 6)dx = \int^6_1(-x^2 +7x -6)dx = \left[ -\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{7x^2}{2} - 6x\right]^6_1 }

{= \left( -\dfrac{6^3}{3} + \dfrac{7\cdot 6^2}{2} -36\right) - \left( -\dfrac{1}{3} + \dfrac{7}{2} -6\right) = \dfrac{125}{6}u^2}
 

Ejercicios del área entre dos funciones

 

1 Calcular el área limitada por la parábola {y^2 = 4x} y la recta {y = x}.

Comenzamos por encontrar los límites de integración igualando las funciones:
 

{\left\{\begin{matrix} y^2 = 4x & & & \\ y = x & y^2 = 4y & (0,0) & (4,0) \end{matrix}\right.}
 

Grafica del área limitada por una parábola y una recta

 

De {x = 0} a {x = 4}, la parábola queda por encima de la recta.

 

Entonces el área esta dada por:

 

{A = \int^4_0(\sqrt{4x}-x)dx = \left[ \dfrac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} - \dfrac{x^2}{2}\right]^4_0 =}
 

{= \dfrac{4}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \dfrac{4^2}{2} = \dfrac{8}{3}u^2}

 

2Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones:
 

{3y = x^2}
 

{y = - x^2 + 4x}.

En primer lugar representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.

 

{\begin{array}{lll} y = \frac{x^2}{3} & & \\ & & \\ x_v = 0 & y_v = 0 & V(0,0) \\ & & \\ y = -x^2 + 4x & & \\ & & \\ x_v = - \frac{4}{-2} = 2 & y_v = 4 & V(2,4) \\ & & \\ -x^2 + 4x = 0 & x_1 = 0 & x_2 = 4 \end{array}}
 

Hallamos también los puntos de intersección de las funciones, que nos darán los límites de integración.

 

{\left\{\begin{matrix} y = \frac{x^2}{3} & & \\ y = -x^2 + 4x & (0,0) & (3,3) \end{matrix}\right.}
 

Gráfica del área entre dos parábolas

 

De {x = 0} a {x = 3}, la parábola {y = - x^2 + 4x} queda por encima de la parábola {3y = x^2}.

 

Entonces el área esta dada por:

 

{A = \int^3_0 \left( -x^2 +4x - \dfrac{x^2}{3}\right)dx = \int^3_0 \left(- \dfrac{4}{3}x^2 + 4x \right)dx =}
 

{= \left[ - \dfrac{4}{9}x^3 + 2x^2\right]^3_0 = \left( -\dfrac{4}{9}\cdot 3^3 + 2 \cdot 3^2\right) = -12 +18 = 6u^2}

 

3Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas {y= x^2 - 2x, y = - x^2 + 4x}.

Representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.
 

{\begin{array}{lll} x_v = \frac{2}{2}=1 & y_v = 1^2 - 2\cdot 1 = -1 & V(1,-1) \\ & & \\ 0 = x^2 - 2x & 0 = x(x-2) & (0,0) \quad (2,0) \\ & & \\ x_v = \frac{-4}{-2}=2 & y_v=-2^2 + 4\cdot2 =4 & V(2,-4)\\ & & \\ 0 = -x^2+4x & 0 = x(-x+4) & (0,0) \quad (4,0) \\ \end{array}}
 

Hallamos también los puntos de intersección de las funciones, que nos darán los límites de integración.

 

{\left\{\begin{matrix} y = x^2 - 2x & & \\ y = -x^2 + 4x & x^2-2x = -x^2 + 4x & (0,0) \quad (3,3) \end{matrix}\right.}
 

Gráfica del área entre dos parábolas

 

De {x = 0} a {x = 3} observamos que el área comprendida entre las funciones tiene una parte por debajo del eje x.

 

De {x = 0} a {x = 2}, calculamos el área bajo la parábola {y= x^2 - 2x}.

 

{A_1 = \int^2_0(x^2-2x)dx = \left[ \dfrac{x^3}{3}-x^2 \right]^2_0 = -\dfrac{4}{3}, \quad |A_1|=\dfrac{4}{3}u^2}
 

De {x = 0} a {x = 3}, calculamos el área bajo la parábola {y = - x^2 + 4x}.

 

{A_2 = \int^3_0(-x^2+4x)dx = \left[ -\dfrac{x^3}{3} + 2x^2\right]^3_0 = 9, \quad A_2=9u^2}
 

De {x = 2} a {x = 3}, tenemos un área sobrante correspondiente al área bajo la parábola {y = x^2 - 2x}.

 

{A_3 = \int^3_2(x^2-2x)dx = \left[ \dfrac{x^3}{3} - x^2\right]^3_2 = \dfrac{4}{3}, \quad A_3=\dfrac{4}{3}u^2}
 

Finalmente realizamos las operaciones correspondientes.

 

{A = |A_1| + A_2 - A_3 \quad A = \dfrac{4}{3} + 9 -\dfrac{4}{3} = 9u^2}

 

4Hallar el área de de la región limitada por las funciones:
 

{y = sen\, x, y = \cos x, x = 0}.

En primer lugar hallamos el punto de intersección de las funciones:

 

{\left\{\begin{matrix} y = sen\, x & & \\ y = \cos x & sen\, x = \cos x & x = \frac{\pi}{4} \end{matrix}\right.}
 

Gráfica entre las funciones seno y coseno

 

La gráfica del coseno queda por encima de la gráfica del seno en el intervalo de integración.

 

{A = \int^{\frac{\pi}{4}}_0(\cos x - sen\, x)dx = \left[ sen\, x + cos x \right]^{\frac{\pi}{4}}_0 = (sen\, \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (sen \, 0 + \cos 0)
 

{= (\sqrt{2}-1)u^2}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗