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Marta

3 junio 2019

Temas

Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 4

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

$\displaystyle\int u\cdot {v}'dx=u\cdot v-\int {u}'\cdot v\, dx$

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como $u$ .

Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como ${v}'$
.

Caso 1

En este primer caso aplicamos la fórmula directamente, tomando la $x$ como $u$ .

$\displaystyle\int x\cos x\, dx$

$u=x \xrightarrow[]{\;\;Derivar\;\;}{u}'=1$

${v}'=\cos x \xrightarrow[]{\;\;Integrar\;\;}v=\sin x$

$\displaystyle\int x\cos x\, dx=x\sin x -\int \sin x\, dx=x\sin x + \cos x + \textup{C}$

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Caso 2

Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado $n$ , lo tomamos como $u$ y se repite el proceso $n$ veces.

$\displaystyle\int x^{3}e^{x}\, dx$

$u=x^{3}\xrightarrow[]{\;\;Derivar\;\;}{u}'=3x^{2}$

${v}'=e^{x} \xrightarrow[]{\;\;Integrar\;\;}v=e^{x}$

$\displaystyle\int x^{3}e^{x}\, dx=x^{3}e^{x}-3\int x^{2}e^{x}\, dx$

$u=x^{2}\xrightarrow[]{\;\;Derivar\;\;}{u}'=2x$

${v}'=e^{x} \xrightarrow[]{\;\;Integrar\;\;}v=e^{x}$

$\displaystyle\int x^{3}e^{x}\, dx=x^{3}e^{x}-3\left ( x^{2}e^{x}-2\int xe^{x}\, dx \right )$

$\displaystyle=x^{3}e^{x}-3x^{2}e^{x}+6\int xe^{x}\, dx$

$u=x\xrightarrow[]{\;\;Derivar\;\;}{u}'=1$

${v}'=e^{x} \xrightarrow[]{\;\;Integrar\;\;}v=e^{x}$

$\displaystyle=x^{3}e^{x}-3x^{2}e^{x}+6\left ( xe^{x}-\int e^{x}\, dx \right )$

$=x^{3}e^{x}-3x^{2}e^{x}+6xe^{x}-6e^{x}+\textup{C}$

$=e^{x}(x^{3}-3x^{2}+6x-6)+\textup{C}$

Caso 3

Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando: ${v}'=1$ .

$\displaystyle\int \textrm{arccot}\, x\, dx$

$u=\textrm{arccot}\, x\xrightarrow[]{\;\;Derivar\;\;}{u}'=-\cfrac{1}{1+x^{2}}$

${v}'=1 \xrightarrow[]{\;\;Integrar\;\;}v=x$

$\displaystyle\int \textrm{arccot}\,x\, dx=x\,\textrm{arccot}\,x+\int\cfrac{x}{1+x^{2}} \, dx$

$=x\,\textrm{arccot}\,x+\cfrac{1}{2}\ln (1+x^{2})+\textup{C}$

Caso 4

Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación.

$\displaystyle\int e^{3x}\sin 2x\, dx$

$u=e^{3x}\xrightarrow[]{\; \; Derivar\; \; }{u}'=3e^{3x}$

${v}'=\sin 2x\xrightarrow[]{\; \; Integrar\; \; }v=-\cfrac{1}{2}\cos 2x$

$\displaystyle\int e^{3x}\sin 2x\, dx=-\cfrac{1}{2}\, e^{3x}\cos 2x+\cfrac{3}{2}\int e^{3x}\cos 2x\, dx$

$u=e^{3x}\xrightarrow[]{\; \; Derivar\; \; }{u}'=3e^{3x}$

${v}'=\cos 2x\xrightarrow[]{\; \; Integrar\; \; }v=\cfrac{1}{2}\sin 2x$

$\displaystyle\int e^{3x}\sin 2x\, dx=-\cfrac{1}{2}\, e^{3x}\cos 2x+\cfrac{3}{2}\left ( \cfrac{1}{2}\, e^{3x}\sin 2x-\cfrac{3}{2}\int e^{3x}\sin 2x\, dx \right )$

$\displaystyle\int e^{3x}\sin 2x\, dx=-\cfrac{1}{2}\, e^{3x}\cos 2x+\cfrac{3}{4}\, e^{3x}\sin 2x-\cfrac{9}{4}\int e^{3x}\sin 2x\, dx$

Pasamos la integral del 2º miembro al 1º.

$\displaystyle\int e^{3x}\sin 2x\, dx + \cfrac{9}{4}\int e^{3x}\sin 2x\, dx=-\cfrac{1}{2}\, e^{3x}\cos 2x+\cfrac{3}{4}\, e^{3x}\sin 2x$

Sumamos las integrales y multiplicamos en los dos miembros por 4/13.

$\displaystyle\int e^{3x}\sin 2x\, dx =\cfrac{4}{13}\left (-\cfrac{1}{2}\, e^{3x}\cos 2x+\cfrac{3}{4}\, e^{3x}\sin 2x \right )+\textup{C}$

Sacamos factor común $e^{3x}$ .

$\displaystyle\int e^{3x}\sin 2x\, dx =\cfrac{1}{13}\, e^{3x}\left (-2\cos 2x+3\sin 2x \right )+\textup{C}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Cusco

Mayo

¿Entonces las integrales por partes se usan solamente para productos o se puede utilizar también para cocientes?

Elías Chávez

Octubre

Se puede ver un cociente como un producto de racionales por lo que puedes ver por ejemplo «(sin(x)) / (x^2)» como «(sin(x)) * (1/x^2)»

Morales

Mayo

Cómo se puede saber cuándo una integral se soluciona por este método?

Juan Manuel Sanchez Perez

Junio

¡Hola, Ariadna!

A diferencia de la derivadas, para las integrales no es tan sencillo determinar qué método usar para resolverla. Por lo general, se hacer por medio de prueba y error (y a veces la «experiencia» nos puede guiar un poco). Como regla general, te podría decir que si la función que deseas integrar es el producto de $e^{bx}$ , $\sin(bx)$ , $\cos(bx)$ o tiene logaritmos naturales, entonces es probable que necesites usar integración por partes.

Como dato cultural: sí existe una metodología para determinar qué método usar para integrar. Se conoce como algoritmo de Risch (por si deseas buscarlo en internet). Sin embargo, este algoritmo no se enseña en los colegios debido a que se requieren más de 100 páginas para poderlo describir; su uso se limita a programas de computadora.

Espero haber resuelto tu duda. ¡Un saludo!

Rafael

Diciembre

Buenas, ¿podrían decirme en qué áreas se utilizan estas integrales?

Augusto

Enero

Estimado, en principio el trabajo en física clásica se puede escribir mediante una integral. Así que en toda la tecnología de la revolución industrial se usaron integrales siempre que quisimos entender a cada máquina que realiza trabajo

Integración por partes

Caso 1

Caso 2

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