El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

 

\displaystyle\int u\cdot {v}'dx=u\cdot v-\int {u}'\cdot v\, dx

 

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como {v}'
.

 

Caso 1

 

En este primer caso aplicamos la fórmula directamente, tomando la x como u.

 

\displaystyle\int x\cos x\, dx

 

u=x \xrightarrow[]{\;\;Derivar\;\;}{u}'=1

 

{v}'=\cos x \xrightarrow[]{\;\;Integrar\;\;}v=\sin x

 

\displaystyle\int x\cos x\, dx=x\sin x -\int \sin x\, dx=x\sin x + \cos x + \textup{C}

 

 

Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.

 

\displaystyle\int x^{3}e^{x}\, dx

 

u=x^{3}\xrightarrow[]{\;\;Derivar\;\;}{u}'=3x^{2}

 

{v}'=e^{x} \xrightarrow[]{\;\;Integrar\;\;}v=e^{x}

 

\displaystyle\int x^{3}e^{x}\, dx=x^{3}e^{x}-3\int x^{2}e^{x}\, dx

 

u=x^{2}\xrightarrow[]{\;\;Derivar\;\;}{u}'=2x

 

{v}'=e^{x} \xrightarrow[]{\;\;Integrar\;\;}v=e^{x}

 

\displaystyle\int x^{3}e^{x}\, dx=x^{3}e^{x}-3\left ( x^{2}e^{x}-2\int xe^{x}\, dx \right )

 

\displaystyle=x^{3}e^{x}-3x^{2}e^{x}+6\int xe^{x}\, dx

 

u=x\xrightarrow[]{\;\;Derivar\;\;}{u}'=1

 

{v}'=e^{x} \xrightarrow[]{\;\;Integrar\;\;}v=e^{x}

 

\displaystyle=x^{3}e^{x}-3x^{2}e^{x}+6\left ( xe^{x}-\int e^{x}\, dx \right )

 

=x^{3}e^{x}-3x^{2}e^{x}+6xe^{x}-6e^{x}+\textup{C}

 

=e^{x}(x^{3}-3x^{2}+6x-6)+\textup{C}

 

Caso 3

 

Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando: {v}'=1.

 

\displaystyle\int \textrm{arccot}\, x\, dx

 

u=\textrm{arccot}\, x\xrightarrow[]{\;\;Derivar\;\;}{u}'=-\cfrac{1}{1+x^{2}}

 

{v}'=1 \xrightarrow[]{\;\;Integrar\;\;}v=x

 

\displaystyle\int \textrm{arccot}\,x\, dx=x\,\textrm{arccot}\,x+\int\cfrac{x}{1+x^{2}} \, dx

 

=x\,\textrm{arccot}\,x+\cfrac{1}{2}\ln (1+x^{2})+\textup{C}

 

Caso 4

 

Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación.

 

\displaystyle\int e^{3x}\sin 2x\, dx

 

u=e^{3x}\xrightarrow[]{\; \; Derivar\; \; }{u}'=3e^{3x}

 

{v}'=\sin 2x\xrightarrow[]{\; \; Integrar\; \; }v=-\cfrac{1}{2}\cos 2x

 

\displaystyle\int e^{3x}\sin 2x\, dx=-\cfrac{1}{2}\, e^{3x}\cos 2x+\cfrac{3}{2}\int e^{3x}\cos 2x\, dx

 

u=e^{3x}\xrightarrow[]{\; \; Derivar\; \; }{u}'=3e^{3x}

 

{v}'=\cos 2x\xrightarrow[]{\; \; Integrar\; \; }v=\cfrac{1}{2}\sin 2x

 

\displaystyle\int e^{3x}\sin 2x\, dx=-\cfrac{1}{2}\, e^{3x}\cos 2x+\cfrac{3}{2}\left ( \cfrac{1}{2}\, e^{3x}\sin 2x-\cfrac{3}{2}\int e^{3x}\sin 2x\, dx \right )

 

\displaystyle\int e^{3x}\sin 2x\, dx=-\cfrac{1}{2}\, e^{3x}\cos 2x+\cfrac{3}{4}\, e^{3x}\sin 2x-\cfrac{9}{4}\int e^{3x}\sin 2x\, dx

 

Pasamos la integral del 2º miembro al 1º.

 

\displaystyle\int e^{3x}\sin 2x\, dx + \cfrac{9}{4}\int e^{3x}\sin 2x\, dx=-\cfrac{1}{2}\, e^{3x}\cos 2x+\cfrac{3}{4}\, e^{3x}\sin 2x

 

Sumamos las integrales y multiplicamos en los dos miembros por 4/13.

 

\displaystyle\int e^{3x}\sin 2x\, dx =\cfrac{4}{13}\left (-\cfrac{1}{2}\, e^{3x}\cos 2x+\cfrac{3}{4}\, e^{3x}\sin 2x \right )+\textup{C}

 

Sacamos factor común e^{3x}.

 

\displaystyle\int e^{3x}\sin 2x\, dx =\cfrac{1}{13}\, e^{3x}\left (-2\cos 2x+3\sin 2x \right )+\textup{C}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗