Name: ¿Como usamos la integracion por partes?
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Caso 4

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

$\displaystyle\int u\cdot {v}'dx=u\cdot v-\int {u}'\cdot v\, dx$

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como $u$ .

Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como ${v}'$
.

Caso 1

En este primer caso aplicamos la fórmula directamente, tomando la $x$ como $u$ .

$\displaystyle\int x\cos x\, dx$

$u=x \xrightarrow[]{\;\;Derivar\;\;}{u}'=1$

${v}'=\cos x \xrightarrow[]{\;\;Integrar\;\;}v=\sin x$

$\displaystyle\int x\cos x\, dx=x\sin x -\int \sin x\, dx=x\sin x + \cos x + \textup{C}$

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Caso 2

Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado $n$ , lo tomamos como $u$ y se repite el proceso $n$ veces.

$\displaystyle\int x^{3}e^{x}\, dx$

$u=x^{3}\xrightarrow[]{\;\;Derivar\;\;}{u}'=3x^{2}$

${v}'=e^{x} \xrightarrow[]{\;\;Integrar\;\;}v=e^{x}$

$\displaystyle\int x^{3}e^{x}\, dx=x^{3}e^{x}-3\int x^{2}e^{x}\, dx$

$u=x^{2}\xrightarrow[]{\;\;Derivar\;\;}{u}'=2x$

${v}'=e^{x} \xrightarrow[]{\;\;Integrar\;\;}v=e^{x}$

$\displaystyle\int x^{3}e^{x}\, dx=x^{3}e^{x}-3\left ( x^{2}e^{x}-2\int xe^{x}\, dx \right )$

$\displaystyle=x^{3}e^{x}-3x^{2}e^{x}+6\int xe^{x}\, dx$

$u=x\xrightarrow[]{\;\;Derivar\;\;}{u}'=1$

${v}'=e^{x} \xrightarrow[]{\;\;Integrar\;\;}v=e^{x}$

$\displaystyle=x^{3}e^{x}-3x^{2}e^{x}+6\left ( xe^{x}-\int e^{x}\, dx \right )$

$=x^{3}e^{x}-3x^{2}e^{x}+6xe^{x}-6e^{x}+\textup{C}$

$=e^{x}(x^{3}-3x^{2}+6x-6)+\textup{C}$

Caso 3

Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando: ${v}'=1$ .

$\displaystyle\int \textrm{arccot}\, x\, dx$

$u=\textrm{arccot}\, x\xrightarrow[]{\;\;Derivar\;\;}{u}'=-\cfrac{1}{1+x^{2}}$

${v}'=1 \xrightarrow[]{\;\;Integrar\;\;}v=x$

$\displaystyle\int \textrm{arccot}\,x\, dx=x\,\textrm{arccot}\,x+\int\cfrac{x}{1+x^{2}} \, dx$

$=x\,\textrm{arccot}\,x+\cfrac{1}{2}\ln (1+x^{2})+\textup{C}$

Caso 4

Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación.

$\displaystyle\int e^{3x}\sin 2x\, dx$

$u=e^{3x}\xrightarrow[]{\; \; Derivar\; \; }{u}'=3e^{3x}$

${v}'=\sin 2x\xrightarrow[]{\; \; Integrar\; \; }v=-\cfrac{1}{2}\cos 2x$

$\displaystyle\int e^{3x}\sin 2x\, dx=-\cfrac{1}{2}\, e^{3x}\cos 2x+\cfrac{3}{2}\int e^{3x}\cos 2x\, dx$

$u=e^{3x}\xrightarrow[]{\; \; Derivar\; \; }{u}'=3e^{3x}$

${v}'=\cos 2x\xrightarrow[]{\; \; Integrar\; \; }v=\cfrac{1}{2}\sin 2x$

$\displaystyle\int e^{3x}\sin 2x\, dx=-\cfrac{1}{2}\, e^{3x}\cos 2x+\cfrac{3}{2}\left ( \cfrac{1}{2}\, e^{3x}\sin 2x-\cfrac{3}{2}\int e^{3x}\sin 2x\, dx \right )$

$\displaystyle\int e^{3x}\sin 2x\, dx=-\cfrac{1}{2}\, e^{3x}\cos 2x+\cfrac{3}{4}\, e^{3x}\sin 2x-\cfrac{9}{4}\int e^{3x}\sin 2x\, dx$

Pasamos la integral del 2º miembro al 1º.

$\displaystyle\int e^{3x}\sin 2x\, dx + \cfrac{9}{4}\int e^{3x}\sin 2x\, dx=-\cfrac{1}{2}\, e^{3x}\cos 2x+\cfrac{3}{4}\, e^{3x}\sin 2x$

Sumamos las integrales y multiplicamos en los dos miembros por 4/13.

$\displaystyle\int e^{3x}\sin 2x\, dx =\cfrac{4}{13}\left (-\cfrac{1}{2}\, e^{3x}\cos 2x+\cfrac{3}{4}\, e^{3x}\sin 2x \right )+\textup{C}$

Sacamos factor común $e^{3x}$ .

$\displaystyle\int e^{3x}\sin 2x\, dx =\cfrac{1}{13}\, e^{3x}\left (-2\cos 2x+3\sin 2x \right )+\textup{C}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Cusco
Invité

17 May.

¿Entonces las integrales por partes se usan solamente para productos o se puede utilizar también para cocientes?

Morales
Invité

18 May.

Cómo se puede saber cuándo una integral se soluciona por este método?

Juan Manuel Sanchez Perez
Editor

28 Jun.

¡Hola, Ariadna! A diferencia de la derivadas, para las integrales no es tan sencillo determinar qué método usar para resolverla. Por lo general, se hacer por medio de prueba y error (y a veces la «experiencia» nos puede guiar un poco). Como regla general, te podría decir que si la función que deseas integrar es el producto de , , o tiene logaritmos naturales, entonces es probable que necesites usar integración por partes. Como dato cultural: sí existe una metodología para determinar qué método usar para integrar. Se conoce como algoritmo de Risch (por si deseas buscarlo en internet). Sin… Lire la suite »

Integración por partes

Caso 1

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