El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

 

\displaystyle\int u\cdot {v}'dx=u\cdot v-\int {u}'\cdot v\, dx

 

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como {v}'
.

 

Caso 1

 

En este primer caso aplicamos la fórmula directamente, tomando la x como u.

 

\displaystyle\int x\cos x\, dx

 

u=x \xrightarrow[]{\;\;Derivar\;\;}{u}'=1

 

{v}'=\cos x \xrightarrow[]{\;\;Integrar\;\;}v=\sin x

 

\displaystyle\int x\cos x\, dx=x\sin x -\int \sin x\, dx=x\sin x + \cos x + \textup{C}

 

Superprof

Caso 2

 

Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.

 

\displaystyle\int x^{3}e^{x}\, dx

 

u=x^{3}\xrightarrow[]{\;\;Derivar\;\;}{u}'=3x^{2}

 

{v}'=e^{x} \xrightarrow[]{\;\;Integrar\;\;}v=e^{x}

 

\displaystyle\int x^{3}e^{x}\, dx=x^{3}e^{x}-3\int x^{2}e^{x}\, dx

 

u=x^{2}\xrightarrow[]{\;\;Derivar\;\;}{u}'=2x

 

{v}'=e^{x} \xrightarrow[]{\;\;Integrar\;\;}v=e^{x}

 

\displaystyle\int x^{3}e^{x}\, dx=x^{3}e^{x}-3\left ( x^{2}e^{x}-2\int xe^{x}\, dx \right )

 

\displaystyle=x^{3}e^{x}-3x^{2}e^{x}+6\int xe^{x}\, dx

 

u=x\xrightarrow[]{\;\;Derivar\;\;}{u}'=1

 

{v}'=e^{x} \xrightarrow[]{\;\;Integrar\;\;}v=e^{x}

 

\displaystyle=x^{3}e^{x}-3x^{2}e^{x}+6\left ( xe^{x}-\int e^{x}\, dx \right )

 

=x^{3}e^{x}-3x^{2}e^{x}+6xe^{x}-6e^{x}+\textup{C}

 

=e^{x}(x^{3}-3x^{2}+6x-6)+\textup{C}

 

Caso 3

 

Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando: {v}'=1.

 

\displaystyle\int \textrm{arccot}\, x\, dx

 

u=\textrm{arccot}\, x\xrightarrow[]{\;\;Derivar\;\;}{u}'=-\cfrac{1}{1+x^{2}}

 

{v}'=1 \xrightarrow[]{\;\;Integrar\;\;}v=x

 

\displaystyle\int \textrm{arccot}\,x\, dx=x\,\textrm{arccot}\,x+\int\cfrac{x}{1+x^{2}} \, dx

 

=x\,\textrm{arccot}\,x+\cfrac{1}{2}\ln (1+x^{2})+\textup{C}

 

Caso 4

 

Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación.

 

\displaystyle\int e^{3x}\sin 2x\, dx

 

u=e^{3x}\xrightarrow[]{\; \; Derivar\; \; }{u}'=3e^{3x}

 

{v}'=\sin 2x\xrightarrow[]{\; \; Integrar\; \; }v=-\cfrac{1}{2}\cos 2x

 

\displaystyle\int e^{3x}\sin 2x\, dx=-\cfrac{1}{2}\, e^{3x}\cos 2x+\cfrac{3}{2}\int e^{3x}\cos 2x\, dx

 

u=e^{3x}\xrightarrow[]{\; \; Derivar\; \; }{u}'=3e^{3x}

 

{v}'=\cos 2x\xrightarrow[]{\; \; Integrar\; \; }v=\cfrac{1}{2}\sin 2x

 

\displaystyle\int e^{3x}\sin 2x\, dx=-\cfrac{1}{2}\, e^{3x}\cos 2x+\cfrac{3}{2}\left ( \cfrac{1}{2}\, e^{3x}\sin 2x-\cfrac{3}{2}\int e^{3x}\sin 2x\, dx \right )

 

\displaystyle\int e^{3x}\sin 2x\, dx=-\cfrac{1}{2}\, e^{3x}\cos 2x+\cfrac{3}{4}\, e^{3x}\sin 2x-\cfrac{9}{4}\int e^{3x}\sin 2x\, dx

 

Pasamos la integral del 2º miembro al 1º.

 

\displaystyle\int e^{3x}\sin 2x\, dx + \cfrac{9}{4}\int e^{3x}\sin 2x\, dx=-\cfrac{1}{2}\, e^{3x}\cos 2x+\cfrac{3}{4}\, e^{3x}\sin 2x

 

Sumamos las integrales y multiplicamos en los dos miembros por 4/13.

 

\displaystyle\int e^{3x}\sin 2x\, dx =\cfrac{4}{13}\left (-\cfrac{1}{2}\, e^{3x}\cos 2x+\cfrac{3}{4}\, e^{3x}\sin 2x \right )+\textup{C}

 

Sacamos factor común e^{3x}.

 

\displaystyle\int e^{3x}\sin 2x\, dx =\cfrac{1}{13}\, e^{3x}\left (-2\cos 2x+3\sin 2x \right )+\textup{C}

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Marta

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Cusco
Cusco
Invité
17 May.

¿Entonces las integrales por partes se usan solamente para productos o se puede utilizar también para cocientes?

Morales
Morales
Invité
18 May.

Cómo se puede saber cuándo una integral se soluciona por este método?

Juan Manuel Sanchez Perez
Juan Manuel Sanchez Perez
Editor
28 Jun.

¡Hola, Ariadna! A diferencia de la derivadas, para las integrales no es tan sencillo determinar qué método usar para resolverla. Por lo general, se hacer por medio de prueba y error (y a veces la «experiencia» nos puede guiar un poco). Como regla general, te podría decir que si la función que deseas integrar es el producto de , , o tiene logaritmos naturales, entonces es probable que necesites usar integración por partes. Como dato cultural: sí existe una metodología para determinar qué método usar para integrar. Se conoce como algoritmo de Risch (por si deseas buscarlo en internet). Sin… Lire la suite »