Fórmulas

 

{\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=arc\; sen\; x+C}

 

{\displaystyle\int\frac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}}dx=arc\; sen\; u+C}

 

{\displaystyle\int\frac{1}{1+x^{2}}dx=arc\; tg\; x+C}

 

{\displaystyle\int\frac{u'}{1+u^{2}}dx=arc\; tg\; u+C}

 

 

Superprof

Ejercicios

 

1{\displaystyle\int\frac{x}{\sqrt{1-x^{4}}}dx}

 

Solución:

 

{\displaystyle\int\frac{x}{\sqrt{1-x^{4}}}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x}{\sqrt{1-(x^{2})^{2}}}dx=\frac{1}{2}arc\; sen\; x^{2}+C}

 

2{\displaystyle\int\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}dx}

 

Solución:

 

{\displaystyle\int\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}dx=\int\frac{e^{x}}{\sqrt{1-(e^{x})^{2}}}dx=arc\; sen\; e^{x}+C}

 

3{\displaystyle\int\frac{1}{x\sqrt{1-ln^{2}x}}dx}

 

Solución:

 

{\displaystyle\int\frac{1}{x\sqrt{1-ln^{2}x}}dx=\int\frac{1}{\sqrt{1-(ln\; x)^{2}}}\cdot \frac{1}{x}{dx=arc\; sen(ln\; x)+C}

 

4{\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1-x}}dx}

 

Solución:

 

{\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1-x}}dx=2\int\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^{2}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}{dx=2arc\; sen\; \sqrt{x}+C}

 

5{\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{25-16x^{x}}}}

Solución:

 

{\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{25-16x^{2}}}=\int\frac{\displaystyle\frac{1}{5}}{\sqrt{1-\left(\displaystyle\frac{4}{5}x\right)^{2}}}dx=\frac{1}{4}\int\frac{\displaystyle\frac{1}{5}}{\sqrt{1-\left(\displaystyle\frac{4}{5}x\right)^{2}}}dx=\frac{1}{4}arc\; sen\left(\frac{4}{5}x\right)+C}

 

6{\displaystyle\int\frac{1}{5+5x^{2}}dx}

 

Solución:

 

{\displaystyle\int\frac{1}{5+5x^{2}}dx=\frac{1}{5}\int\frac{1}{1+x^{2}}dx=\frac{1}{5}arc\; tg\; x+C}

 

7{\displaystyle\int\frac{1}{1+16x^{2}}dx}

 

Solución:

 

{\displaystyle\int\frac{1}{1+16x^{2}}dx=\frac{1}{4}\int\frac{1}{1+(4x)^{2}}dx=\frac{1}{4}arc\; tg(4x)+C}

 

8{\displaystyle\int\frac{cos\; x}{1+sen^{2}x}dx}

 

Solución:

 

{\displaystyle\int\frac{cos\; x}{1+sen^{2}x}dx=arc\; tg(sen\; x)+C}

 

9{\displaystyle\int\frac{x^{2}}{1+x^{6}}dx}

 

Solución:

 

{\displaystyle\int\frac{x^{2}}{1+x^{6}}dx=\frac{1}{3}\int\frac{3x^{2}}{1+(x^{3})^{2}}dx=\frac{1}{3}arc\; tg\; x^{3}+C}

 

10{\displaystyle\int\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}dx}

 

Solución:

 

{\displaystyle\int\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}dx=\int\frac{e^{x}}{1+(e^{x})^{2}}dx=arc\; tg\; e^{x}+C}

 

11{\displaystyle\int\frac{3}{1+9x^{2}}dx}

 

Solución:

 

{\displaystyle\int\frac{3}{1+9x^{2}}dx=\int\frac{3}{1+(3x)^{2}}dx=arc\; tg\; 3x+C}

 

12{\displaystyle\int\frac{1}{x^{2}+x+1}dx}

 

Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la fórmula de la integral del arcotangente.

 

Transformamos el denominador en un binomio al cuadrado.

 

{\displaystyle\int\frac{1}{x^{2}+x+1}dx=\int\frac{1}{\left(x^{2}+x+\displaystyle\frac{1}{4}\right)-\displaystyle\frac{1}{4}+1}dx=\int\frac{1}{\left(x+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{2}+\displaystyle\frac{3}{4}}dx}

 

Multiplicamos numerador y denominador por {\displaystyle\frac{4}{3}}, para obtener uno en el denominador.

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\int\frac{1}{x^{2}+x+1}dx&=&\displaystyle\int\frac{1}{\left(x^{2}+x+\displaystyle\frac{1}{4}\right)-\displaystyle\frac{1}{4}+1}dx=\displaystyle\int\frac{1}{\left(x+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{2}+\displaystyle\frac{3}{4}}dx \\ & & \\ &=& \displaystyle\int\frac{\displaystyle\frac{4}{3}}{\left[\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x+\displaystyle\frac{1}{2}\right)\right]^{2}+1}dx=\displaystyle\int\frac{\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}}{\left[\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x+\displaystyle\frac{1}{2}\right)\right]^{2}+1}dx \\ & & \\ &=&\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}\displaystyle\int\frac{\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}}{\left[\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x+\displaystyle\frac{1}{2}\right)\right]^{2}+1}dx= \displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}arc\; tg\left[\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x+\displaystyle\frac{1}{2}\right)\right]+C \\ & & \\ & = & \displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}arc\; tg\left(\displaystyle\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)+C \end{array}}

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Cantú
Cantú
Invité
22 Oct.

Buen trabajo Marta, me sirvió mucho para mis clases. Gracias por todo el apoyo, usted es una leyenda!

GARCÍA URQUIZA ALEJANDRO
GARCÍA URQUIZA ALEJANDRO
Invité
16 Jul.

EXCELENTE MAESTRA…FELICITACIONES!!!

Superprof
Superprof
Administrateur
16 Jul.

<3