Podemos rastrear el origen del Teorema del valor medio o de la media al siglo III a.C, donde Arquímedes de Siracusa demuestra rigurosamente que el área de un segmento parabólico es igual a cuatro tercios del área de un triángulo con misma base y misma altura. A partir de aquí podemos encontrar muchas versiones del Teorema de la media, tales como teorema de valor medio (de Lagrange), teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio.En el caso particular del Teorema de la media para integrales, dada una función 
deseamos calcular su valor promedio en un intervalo 
. El valor promedio de se define como el siguiente valor
donde 
es un punto en el 
subintervalo de de tamaño 
. El valor 
es equivalente a la suma de Riemann de en , por lo tanto al hacer tender 
al infinito podemos concluir que el siguiente enunciado para el Teorema de la media en términos de la integral
Si una función es continua en un intervalo cerrado 
, existe un punto 
en el interior del intervalo tal que:
De la imagen podemos notar que el valor del área de bajo la curva descrita por la función es igual a la longitud del intervalo multiplicado por cierto valor medio de la función 
.
Ejemplos
1
Hallar el valor de , del teorema de la media, de la función 
en el intervalo 
.
Como la función es continua en el intervalo , se puede aplicar el teorema de la media.
Primero calculamos el valor de la integral
Ahora despejamos el valor de ,
Finalmente despejamos el valor de
La solución positiva no es válida porque no pertenece al intervalo.
2
¿Es aplicable el teorema del valor medio del cálculo integral a la siguiente función en el intervalo 
?
Como la función es continua en , se puede aplicar el teorema de la media.
Primero calculamos el valor de la integral
Ahora despejamos el valor de ,
Finalmente despejamos el valor de
¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!
Cargando...
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Podrían brindarme información sobre el autor y la fecha de publicación del articulo? Estoy realizando una monografía en matemáticas y esta agina me ha servido mucho pero necesito esa información para referenciar correctamente la información.
¡Hola Yanela! 👋 Desde Superprof nos alegra que el artículo te haya sido útil. 😊 Para referenciarlo correctamente en tu monografía, puedes citarlo de la siguiente manera:
«Superprof. Ejercicios resueltos de integrales por sustitución. [En línea] Disponible en: [URL del artículo].»
Por motivos de privacidad, no podemos facilitar datos personales del autor ni fecha exacta de publicación. 📚✨
Veo un error en el ejercicio 9 a la hora de devolver la variable, recuerda que x^2+1 = u^2, no x^2+1 = u
Hola tienes razón, una disculpa y ya se corrigió.
Hay un error en el integral de seno de x multiplicado por coseno de x.
Haciendo sustitución queda u^2/2 lo que indica que es sen(x)^2/2.
Hola en tu razonamiento estas bien, pero hay una cuestión para resolver este ejercicio hay dos formas una como tu dices y otra usando identidades trigonométricas, puedes comprobar que sale el mismo resultado en la integral definida.
holaa, en el caso 4, en la última identidad están mal los signos, sería sen(a)sen(b)=1/2(cos(a-b)-cos(a+b))
Hola la manera en como presentas la fórmula esta bien, pero en la propiedad 4 que mencionas es lo mismo pero escrita de forma diferente, si multiplicas por el signo negativo queda igual a lo que tienes, si tienen alguna duda mencionalo.