Podemos rastrear el origen del Teorema del valor medio o de la media al siglo III a.C, donde Arquímedes de Siracusa demuestra rigurosamente que el área de un segmento parabólico es igual a cuatro tercios del área de un triángulo con misma base y misma altura. A partir de aquí podemos encontrar muchas versiones del Teorema de la media, tales como teorema de valor medio (de Lagrange), teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio.En el caso particular del Teorema de la media para integrales, dada una función f(x) deseamos calcular su valor promedio en un intervalo [a,b]. El valor promedio de f(x) se define como el siguiente valor

    $$A_{n}:=\cfrac{f(t_{1})+f(t_{2})+\cdots+f(t_{n})}{n},$$

donde t_{i} es un punto en el i- subintervalo de [a,b] de tamaño \cfrac{b-a}{n}. El valor A_{n} es equivalente a la suma de Riemann de f(x) en [a,b], por lo tanto al hacer tender n al infinito podemos concluir que el siguiente enunciado para el Teorema de la media en términos de la integral

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe un punto c en el interior del intervalo tal que:

    $$\int_{a}^{b}f(x)\:dx=(b-c)f(c).$$

Teorema del valor medio para integrales

 

De la imagen podemos notar que el valor del área de bajo la curva descrita por la función f(x) es igual a la longitud del intervalo multiplicado por cierto valor medio de la función f(c).

Ejemplos

1

Hallar el valor de c, del teorema de la media, de la función f(x) = 3x^2 en el intervalo [-4, -1].

Como la función es continua en el intervalo [-4, -1], se puede aplicar el teorema de la media.

Primero calculamos el valor de la integral

    $$\int_{-4}^{-1}3x^{2}\:dx=x^{3}|^{-1}_{-4}=-1+64=63.$$

Ahora despejamos el valor de f(c),

    $$64=(-1-(-4))f(c),\Rightarrow f(c)=\cfrac{63}{3}=21.$$

Finalmente despejamos el valor de c

    $$3c^{2}=21\Rightarrow c=-\sqrt{\cfrac{21}{3}}=-\sqrt{7}.$$

La solución positiva no es válida porque no pertenece al intervalo.

2
¿Es aplicable el teorema del valor medio del cálculo integral a la siguiente función en el intervalo [0, 1]?

    $$f(x)=\cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}.$$

Como la función es continua en [0, 1], se puede aplicar el teorema de la media.

Primero calculamos el valor de la integral

    $$\int_{0}^{1}\cfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\:dx=\int_{0}^{1}\cfrac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}\:dx=(\sqrt{1+x^2})|^{1}_{0}=\sqrt{2}-1.$$

Ahora despejamos el valor de f(c),

    $$\sqrt{2}-1=(1-0)f(c),\Rightarrow f(c)=\sqrt{2}-1.$$

Finalmente despejamos el valor de c

    $$\cfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}=\sqrt{2}-1\Rightarrow c=\sqrt{\cfrac{\sqrt{2}-1}{2}}.$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗