Ejercicios propuestos

 

1Hallar el área limitada por la recta {x + y = 10}, el eje {OX} y las rectas {x = 2} y {x = 8}.

1Representamos gráficamente las rectas y el eje indicados; también ubicamos el área solicitada

 

integrales y areas 1

 

2Los extremos del área solicitada están dados por las rectas {x = 2} y {x = 8}, por ello representamos la recta en función de la variable {x}

 

{y = 10 - x}

 

3El área solicitada viene dada por

 

{\displaystyle A = \int_2^8 y \, dx}

 

4Sustituimos {y} en función de {x} y resolvemos la integral definida

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle A & = & \displaystyle \int_2^8 \left( 10 - x \right) \, dx \\\\  & = & \displaystyle \left[ 10x - \frac{x^2}{2} \right]_2^8 \\\\ & = & \displaystyle \left[ 10(8) - \frac{8^2}{2} \right] -\displaystyle \left[ 10(2) - \frac{2^2}{2} \right] \\\\ & = & 30 \ u^2  \end{array}}

2Calcular el área del recinto limitado por la curva {y = 9 - x^2} y el eje {OX}.

1Hallamos los puntos donde la curva corta al eje {OX}, ya que estos serán los límites de integración; para esto igualamos la curva a cero y encontramos los valores de {x}

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle 0 & = & \displaystyle 9 - x^2 \\\\ 0 & = & \displaystyle (3 - x)(3 + x) \end{array}}

 

entonces {x = \pm 3} son los puntos donde la curva corta al eje {OX}. La representación gráfica es

 

integrales y areas 2

 

2El área solicitada viene dada por

 

{\displaystyle A = \int_{-3}^3 y \, dx}

 

3Sustituimos {y} en función de {x} y resolvemos la integral definida

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle A & = & \displaystyle \int_{-3}^3 \left( 9 - x^2 \right) \, dx \end{array}}

 

Como la parábola es simétrica respecto al eje {OY}, el área será igual al doble del área comprendida entre {x = 0} y {x = 3}

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle A & = & \displaystyle \int_{-3}^3 \left( 9 - x^2 \right) \, dx \\\\ & = & \displaystyle 2\int_{0}^3 \left( 9 - x^2 \right) \, dx  \\\\  & = &  \displaystyle 2\left[ 9x - \frac{x^3}{3} \right]_0^3 \\\\ & = & \displaystyle 2\left \{ \left[ 9(3) - \frac{3^3}{3} \right] -\displaystyle \left[ 9(0) - \frac{0^3}{3} \right] \right \} \\\\ & = & 36 \ u^2  \end{array}}

3Calcular el área del triángulo de vértices {A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0)}.

1Representamos gráficamente los puntos dados y ubicamos el área solicitada

 

integrales y areas 3

 

2Calculamos las pendientes de las rectas {AB} y {BC} y con ello las respectivas ecuaciones de las rectas

 

{\begin{array}{lcl}m_{AB} = \displaystyle \frac{3 - 0}{6 - 3} = 1 & \Longrightarrow &  y_{AB} = x - 3 \\\\  m_{BC} = \displaystyle \frac{0 - 3}{8 - 6} = -\frac{3}{2} & \Longrightarrow &  y_{BC} = \displaystyle -\frac{3}{2}(x - 8) \end{array}}

 

3El área solicitada viene dada en dos partes, una para cada recta

 

{\displaystyle A = \int_{3}^6 y_{AB} \, dx + \int_6^8 y_{BC} \, dx}

 

4Sustituimos las rectas en función de {x} y resolvemos la integral definida

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle A & = & \displaystyle \int_{3}^6 \left( x - 3 \right) \, dx + \int_{6}^8 \left( -\frac{3}{2} \right) \left( x - 8 \right) \, dx \\\\ & = & \displaystyle \left[ \frac{x^2}{2} - 3x \right]_3^6 - \frac{3}{2} \left[ \frac{x^2}{2} - 8x \right]_6^8 \\\\ & = & \displaystyle \frac{15}{2} \ u^2 \end{array}}

4Calcular el área limitada por las gráficas de {y^2 = 4x} e {y = x^2}.

1Representamos gráficamente las curvas dadas e identificamos el área solicitada

 

integrales y areas 4

 

2Calculamos los límites de integración, para ello buscamos los puntos de intersección de las curvas

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle 4x & = & \left( x^2 \right)^2 \\\\  4x - x^4 & = & 0 \\\\  x \left( 4 - x^3 \right) & = & 0\end{array}}

 

entonces, {x = 0} y {x = \sqrt[3]{4}} son los límites de integración.

 

3El área solicitada viene dada por la integral de la diferencia de ambas curvas

 

{\displaystyle A = \int_{0}^{\sqrt[3]{4}} \left( \sqrt{4x} - x^2 \right) \, dx}

 

4Resolvemos la integral definida

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle A & = & \displaystyle \int_{0}^{\sqrt[3]{4}} \left( \sqrt{4x} - x^2 \right) \, dx \\\\ & = & \displaystyle \left[ \frac{4x^{3/2}}{3} - \frac{x^3}{3} \right]_0^{\sqrt[3]{4}} \\\\ & = & \displaystyle \frac{4}{3} \ u^2 \end{array}}

5Calcular el área limitada por la curva {xy = 36}, el eje {OX} y las rectas {x = 6}, {x = 12}.

1Representamos gráficamente las curvas dadas e identificamos el área solicitada

 

integrales y areas 5

 

2El área solicitada viene dada por

 

{\displaystyle A = \int_{6}^{12} y \, dx}

 

3Sustituimos {y} en función de {x} y resolvemos la integral definida

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle A & = & \displaystyle \int_{6}^{12} \frac{36}{x} \, dx \\\\ & = & \displaystyle \left[ 36 \ln x \right]_6^{12} \\\\ & = & \displaystyle 36 \ln 2 \ u^2 \end{array}}

6Calcular el área limitada por la curva {y = 2\left( 1 - x^2 \right)} y la recta {y = - 1}.

1Representamos gráficamente la curva y recta dadas e identificamos el área solicitada

 

integrales y areas 6

 

2Calculamos los límites de integración, para ello buscamos los puntos de intersección de las curvas

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle 2 \left( 1 - x^2 \right) & = & - 1 \\\\ 3 - 2x^2 & = & 0 \\\\  \left( \sqrt{3} - \sqrt{2}x \right) \left( \sqrt{3} + \sqrt{2}x \right) & = & 0\end{array}}

 

entonces, {x = \pm \displaystyle \sqrt{\frac{3}{2}} son los límites de integración.

 

3El área solicitada viene dada por la integral de la diferencia de ambas curvas

 

{\displaystyle A = \int_{-\sqrt{3/2}}^{\sqrt{3/2}} \left( 3 - 2x^2  \right) \, dx}

 

4Resolvemos la integral definida observando que el área es simétrica respecto al eje {OY}

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle A & = & \displaystyle \int_{-\sqrt{3/2}}^{\sqrt{3/2}} \left( 3 - 2x^2 \right) \, dx \\\\ & = & \displaystyle 2\int_{0}^{\sqrt{3/2}} \left( 3 - 2x^2 \right) \, dx \\\\ & = & \displaystyle \left[ 3x - \frac{2x^{3}}{3} \right]_0^{\sqrt{3/2}} \\\\ & = & \displaystyle 2 \sqrt{6} \ u^2 \end{array}}

7Calcular el área del recinto limitado por la parábola {y = x^2 + 2} y la recta que pasa por los puntos {(-1, 0)} y {(1, 4)}.

1Representamos gráficamente la curva y recta dadas e identificamos el área solicitada

 

integrales y areas 7

 

2Calculamos la pendiente de la recta y su respectiva ecuación

 

{\begin{array}{lcl}m = \displaystyle \frac{4 - 0}{1 - (-1)} = 2 & \Longrightarrow & y = 2x + 2  \end{array}}

 

3Calculamos los límites de integración, para ello buscamos los puntos de intersección de las curvas

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle x^2 + 2 & = & 2x +2  \\\\ x^2 - 2x & = & 0 \\\\ x \left( x - 2  \right) & = & 0\end{array}}

 

entonces, {x = 0} y {x = 2} son los límites de integración.

 

4El área solicitada viene dada por la integral de la diferencia de ambas curvas

 

{\displaystyle A = \int_{0}^{2} \left( 2x + 2 - (x^2 + 2) \right) \, dx}

 

5Resolvemos la integral definida

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle A & = & \displaystyle \int_{0}^{2} \left( 2x + 2 - (x^2 + 2) \right) \, dx \\\\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2} \left( 2x - x^2 \right) \, dx \\\\ & = & \displaystyle \left[ x^2 - \frac{x^{3}}{3} \right]_0^{2} \\\\ & = & \displaystyle \frac{4}{3} \ u^2 \end{array}}

8Hallar el área limitada por las rectas {y = (3x - 6)/2, \ x = 0, \ x = 4} y el eje de abscisas.

1Representamos gráficamente las rectas dadas e identificamos el área solicitada

 

integrales y areas 8

 

2El área solicitada viene dada por la integral de la región bajo el eje {OX} y la región por encima de dicho eje. La región bajo el eje tiene área negativa, por lo que consideramos su valor absoluto

 

{\displaystyle A = \left | \int_{0}^{2} \left( \frac{3x - 6}{2}\right) \, dx \right | + \int_{2}^{4} \left( \frac{3x - 6}{2}\right) \, dx}

 

3Resolvemos la integral definida

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle A & = & \displaystyle \left | \int_{0}^{2} \left( \frac{3x - 6}{2}\right) \, dx \right | + \int_{2}^{4} \left( \frac{3x - 6}{2}\right) \, dx  \\\\ & = & \displaystyle \left | \left[ \frac{3x^{2}}{4} - 3x \right]_0^{2} \right | + \left[ \frac{3x^{2}}{4} - 3x \right]_2^{4} \\\\ & = & \displaystyle |-3| + 3 \\\\ & = & 6 \ u^2 \end{array}}

9Calcular el área limitada por la curva {y = 6x^2 - 3 x^3 } y el eje de abscisas.

1Representamos gráficamente la curva dada e identificamos el área solicitada

 

integrales y areas 9

 

2Calculamos los límites de integración, para ello buscamos los puntos de intersección de la curva con el eje de las abcisas

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle 6x^2 - 3x^3 & = & 0 \\\\ 3x^2(2 - x) & = & 0 \end{array}}

 

entonces, {x = 0} y {x = 2} son los límites de integración.

 

3El área solicitada viene dada por la integral

 

{\displaystyle A =  \int_{0}^{2} \left( 6x^2 - 3x^3\right) \, dx}

 

4Resolvemos la integral definida

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle A & = & \displaystyle \int_{0}^{2} \left( 6x^2 - 3x^3\right) \, dx \\\\ & = & \displaystyle \left[ 2x^3 - \frac{3x^4}{4} \right]_0^{2} \\\\ & = & \displaystyle  4 \ u^2 \end{array}}

10Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas {y = \ln x, \ y = 2} y los ejes coordenados.

1Representamos gráficamente las curvas dadas e identificamos el área solicitada

 

integrales y areas 10

 

2El área solicitada viene dada por la integral

 

{\displaystyle A = \int_{0}^{1} 2 \, dx + \int_{1}^{e^2} \left( 2 - \ln x \right) \, dx}

 

Observamos de la representación gráfica, que si integramos respecto a la variable {y}, el cálculo se simplifica, para esto expresamos la curva en función de {y}, esto es,

 

{y = \ln x \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = e^y}

 

y el área solicitada se expresa

 

{A = \displaystyle \int_0^2 e^y \, dy}

 

3Resolvemos la integral definida

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle A & = & \displaystyle \int_{0}^{2} e^y \, dy \\\\ & = & \displaystyle \left[ e^y \right]_0^{2} \\\\ & = & \displaystyle \left(e^2 -1\right) \ u^2 \end{array}}

11Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo {x^2 + y^2 = 9}.

1Representamos gráficamente la curva dada. Observamos que el área solicitada es igual a cuatro veces el área que se encuentra en el primer cuadrante

 

integrales y areas 11

 

2Expresamos la parte del círculo que se encuentra en el primer cuadrante en función de {x}

 

{x^2 + y^2 = 9 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = \sqrt{9 - x^2}}

 

3El área solicitada viene dada por

 

{\displaystyle A = 4 \int_{0}^{3} \sqrt{9 - x^2} \, dx}

 

4Resolvemos la integral definida, para esto empleamos la sustitución trigonométrica {x = 3 sen \, t} cuya diferencial es {dx = 3 cos \, t \, dt} y tiene por límites de integración a

 

{\begin{array}{l}x = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 0 = 3 sen \, t \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ t = 0 \\\\ x = 3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 3 = 3 sen \, t \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ t = \displaystyle \frac{\pi}{2} \end{array}}

 

Sustituimos los valores de {x, dx} en términos de {t}

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle A & = & \displaystyle 4 \int_{0}^{3} \sqrt{9 - x^2} \, dx \\\\  & = & \displaystyle 4 \int_{0}^{\pi /2} \sqrt{9 - 9 sen^2 t}(3 cos \, t \, dt) \\\\  & = & \displaystyle 4 \int_0^{\pi /2} 9 cos^2 \, t \, dt \\\\ & = & \displaystyle 36 \int_0^{\pi /2} \frac{1 + cos \, 2t}{2} dt \\\\  & = & \displaystyle 36 \left[ \frac{t}{2} + \frac{sen \, 2t}{4} \right]_0^{\pi /2} \\\\ & = & \displaystyle 36 \left(\frac{\pi}{4}\right) \\\\  & = & 9 \pi \ u^2 \end{array}}

12Hallar el área de una elipse de semiejes {a} y {b}.

1Representamos gráficamente la elipse centrada en el origen y con los semiejes dados

 

{\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1}

 

integrales y areas 12

 

Observamos que el área solicitada es igual a cuatro veces el área que se encuentra en el primer cuadrante

 

2Expresamos la parte de la elipse que se encuentra en el primer cuadrante en función de {x}

 

{\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}}

 

3El área solicitada viene dada por

 

{\displaystyle A = 4 \int_{0}^{a} \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx}

 

4Resolvemos la integral definida, para esto empleamos la sustitución trigonométrica {x = a sen \, t} cuya diferencial es {dx = a cos \, t \, dt} y tiene por límites de integración a

 

{\begin{array}{l}x = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 0 = a sen \, t \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ t = 0 \\\\ x = a \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a = a sen \, t \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ t = \displaystyle \frac{\pi}{2} \end{array}}

 

Sustituimos los valores de {x, dx} en términos de {t}

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle A & = & \displaystyle 4 \int_{0}^{a} \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx \\\\ & = & \displaystyle \frac{4b}{a} \int_{0}^{\pi /2} \sqrt{a^2 - a^2 sen^2 t}(a cos \, t \, dt) \\\\ & = & \displaystyle \frac{4b}{a} \int_0^{\pi /2} a^2 cos^2 \, t \, dt \\\\ & = & \displaystyle 4 ab \int_0^{\pi /2} \frac{1 + cos \, 2t}{2} dt \\\\ & = & \displaystyle 4 ab \left[ \frac{t}{2} + \frac{sen \, 2t}{4} \right]_0^{\pi /2} \\\\ & = & \displaystyle 4 ab \left(\frac{\pi}{4}\right) \\\\ & = & \displaystyle ab \pi \ u^2 \end{array}}

13Calcular el área de la región del plano limitada por las raíces de la curva {y = \left| x^2 - 4x + 3 \right|} y el eje {OX}.

1Representamos analítica y gráficamente la curva y localizamos el área solicitada

 

{y = \left\{ \begin{array}{rcl} x^2 - 4x + 3 & si & x \leq 1, \\ - \left( x^2 - 4x + 3 \right) & si & 1 < x < 3, \\ x^2 - 4x + 3 & si & x \geq 3 \end{array}}

 

integrales y areas 13

 

2Calculamos las raíces de la curva

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle x^2 - 4x + 3 & = & 0 \\\\ (x - 1)(x - 3) & = & 0 \end{array}}

 

entonces {x = 1} y {x = 3} son las raíces de la curva

 

3El área solicitada viene dada por

 

{\displaystyle A = -\int_{1}^{3} \left( x^2 - 4x + 3 \right) \, dx}

 

4Resolvemos la integral definida

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle A & = & \displaystyle -\int_{1}^{3} \left( x^2 - 4x + 3 \right) \, dx \\\\ & = & \displaystyle -\left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_1^{3} \\\\ & = & \displaystyle \frac{4}{3} \ u^2 \end{array}}

14Hallar el área de la figura limitada por {y = x^2, \ y = x, \ x = 0, \ x = 2}.

1Representamos analítica y gráficamente la curva y localizamos el área solicitada

 

integrales y areas 14

 

2Calculamos la intersección de la recta y la parábola

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle x^2  & = & x \\\\ x^2 - x & = & 0 \\\\ x(x - 1) & = & 0 \end{array}}

 

entonces {x = 0} y {x = 1} son las coordenadas de las abcisas donde se intersectan las dos curvas

 

3El área solicitada viene dada en dos partes. En la primera la recta se encuentra por encima de la parábola y en la segunda la parábola se encuentra por encima de la recta

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle A_1 & = & \displaystyle \int_{0}^{1} \left( x - x^2 \right) \, dx, \\\\  \displaystyle A_2 & = & \displaystyle \int_{1}^{2} \left( x^2 - x \right) \, dx \end{array}}

 

Así, el área solicitada viene dada por

 

{\displaystyle A = A_1 + A_2}

 

4Resolvemos las integrales definidas

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle A & = & \displaystyle \int_{0}^{1} \left( x -  x^2 \right) \, dx  +  \int_{1}^{2} \left( x^2 - x \right) \, dx  \\\\ & = & \displaystyle \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^{1} + \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_1^{2} \\\\ & = & \displaystyle 1 \ u^2 \end{array}}

15Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola {y = 4x - x^2} y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje {OX}.

1Encontramos la intersección con el eje {OX}

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle 4x - x^2 & = & 0 \\\\ x(4 - x)  & = & 0 \end{array}}

 

entonces {x = 0} y {x = 4} son las raíces, por los que los puntos de intersección son {(0, 0), \ (4, 0)}.

 

2Encontramos la ecuación de la recta tangente en {(0, 0)}

 

{y' = 4 - 2x \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ m = 4 -2(0) = 4 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = 4x}

 

Encontramos la ecuación de la recta tangente en {(4, 0)}

 

{y' = 4 - 2x \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ m = 4 -2(4) = -4 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y = -4x + 16}

 

La intersección e ambas rectas se encuentra en {(2, 8)}

 

3Representamos gráficamente la curva con las tangentes indicadas y localizamos el área solicitada

 

integrales y areas 15

 

4El área solicitada viene dada por en dos partes. En la primera la recta con pendiente positiva se encuentra por encima de la parábola y en la segunda la recta con pendiente negativa se encuentra por encima de la parábola

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle A_1 & = & \displaystyle \int_{0}^{2} \left( 4x - (4x - x^2) \right) \, dx, \\\\ \displaystyle A_2 & = & \displaystyle \int_{2}^{4} \left( -4x + 16 - (4x - x^2) \right) \, dx \end{array}}

 

Así, el área solicitada viene dada por

 

{\displaystyle A = A_1 + A_2}

 

5Resolvemos las integrales definidas

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle A & = & \displaystyle \int_{0}^{2} \left( 4x - (4x - x^2) \right) \, dx + \int_{2}^{4} \left( -4x + 16 - (4x - x^2) \right) \, dx \\\\  & = & \displaystyle \int_{0}^{2} x^2 \, dx + \int_{2}^{4} \left( x^2 - 8x + 16 \right) \, dx  \\\\ & = & \displaystyle \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{2} + \left[ \frac{x^3}{3} - 4x^2 + 16x \right]_2^{4} \\\\ & = & \displaystyle \frac{16}{3} \ u^2 \end{array}}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗