Ejercicios aplicaciones de la integral. Áreas

Ejercicio 1 resuelto

Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.

Ejercicio 2 resuelto

Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x² y el eje OX.

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.

Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble del área comprendida entre x = 0 y x = 3.

Ejercicio 3 resuelto

Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).

Ecuación de la recta que pasa por AB:

Ecuación de la recta que pasa por BC:

Ejercicio 4 resuelto

Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y² = 4x e y = x².

Ejercicio 5 resuelto

Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12.

·

Ejercicio 6 resuelto

Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 − x²) y la recta y = −1.

Ejercicio 7 resuelto

Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x² + 2 y la recta que pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4).

Ejercicio 8 resuelto

Hallar el área limitada por la recta , el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4.

Ejercicio 9 resuelto

Calcular el área limitada por la curva y = 6x² − 3x³ y el eje de abscisas.

Ejercicio 10 resuelto

Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y = ln x, y = 2 y los ejes coordenados.

Calculamos el punto de corte de la curva y la recta y = 2.

El área es igual al área del rectángulo OABC menos el área bajo la curva y = ln x.

El área de rectángulo es base por altura.

El área bajo la curva y = ln x es:

Ejercicio 11 resuelto

·Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x² + y² = 9.

El área del círculo es cuatro veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.

Hallamos los nuevos límites de integración.

Ejercicio 12 resuelto

Hallar el área de una elipse de semiejes a y b.

Por ser la elipse una curva simétrica, el área pedida será 4 veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.

Hallamos los nuevos límites de integración.

Ejercicio 13 resuelto

Calcular el área de la región del plano limitada por la curva: f(x) = |x² − 4x + 3| y el eje OX.

Ejercicio 14 resuelto

Hallar el área de la figura limitada por: y = x², y = x, x = 0, x = 2

Puntos de corte de la parábola y la recta y = x.

De x = 0 a x = 1, la recta queda por encima de la parábola.

De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parábola.

Ejercicio 15 resuelto

Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x − x² y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX.

Puntos de intersección:

Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (0, 0):

Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (4, 0):