1Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por la rotación alrededor OX del área limitada por y = 6-x, y = 0, x = 0, x = 4.

Un tronco de cono esta determindado por un circunferencia en función de unparámetro. En este caso el radio de dicha circuferencia esta dado por y = 6-x yel parámetro x esta entre x = 0, x = 4. Recordemos que el área de una

circunferencia es \pi por el radio al cuadrado. Dados los limites del enunciado y que

deseamos hallar el volumen de un tronco entonces debemos hallar la integral del área

de una circunferencia de radio y = 6-x, esto es,

Volumen de un tronco de cono

    $$V_{vol.tronco}=\pi\int_{0}^{4}(6-x)^{2}dx=\pi \left[36x-6x^{2}+\cfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{4}=\cfrac{208\pi}{3}u^{2}.$$

2Calcular el volumen que engendra un triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0) al girar 360^{\circ} alrededor del eje OX.

Primero debemos hallar las rectas que determinan el triángulo. La primera de ellases dada por el punto C(8, 0). Las dos siguientes estan dadas por,Ecuación de la recta que pasa por AB:

    $$\cfrac{x-3}{6-3}=\cfrac{y-0}{3-0}\quad y=x-3.$$

Ecuación de la recta que pasa por BC:

    $$\cfrac{x-8}{6-8}=\cfrac{y-0}{3-0}\quad y=-\cfrac{3}{2}(x-8).$$

Dado que vamos a rotar este triángulo entonces el volumen esta determinado por el

área de una circunferencia. Y debemos considerar que estos radios dependen de las

rectas antes calculadas. Primero x va de 3 a 6 con la recta y=x-3 y luego de 6 a 8

con la recta -\cfrac{3}{2}(x-8). Finalmente recordemos que el área de una circunferencia es

\pi por el radio al cuadrado. Así el volumen es:

Volumen engendrado por un triángulo al rotarlo

    $$V_{vol.trian}=\pi\int_{3}^{6}(x-3)^{2}dx+\pi\int_{6}^{8}-\cfrac{3}{2}(x-8)^{2}dx=$$

    $$\pi\int_{3}^{6}(x^{2}-6x+9)dx+\pi\int_{6}^{8}\cfrac{9}{4}(x^{2}-16x+64)dx=$$

    $$\pi\left[\frac{x^{3}}{3}-3x^{2}+9x\right]_{3}^{6}+\cfrac{9\pi}{4}\left[\frac{x^{3}}{3}-8x^{2}+64x\right]_{6}^{8}=$$

    $$\pi(72-108+54-9+27-27)+$$

    $$+\cfrac{9\pi}{4}(\frac{512}{3}-512+512-72+288-384)=15\pi u^{3}$$

3Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por el trapecio que limita el eje de abscisas, la recta y = x + 2 y las coordenadas correspondientes a x = 4 y x = 10, al girar alrededor de OX.

Dado que tenemos un tronco de cono, el cual se genera de rotar el trapecio limitadopor y=x+2 y x=4, x=10. El volumen de este trapecio se obtiene al integral elárea de una circunferencia de radio y=x+2. Recordemos que el área de una

circunferencia es \pi por el radio al cuadrado,

    $$V_{vol.trape}=\pi\int_{4}^{10}(x+2)^{2}dx=\pi\int_{4}^{10}(x^{2}+4x+4)dx=$$

    $$\pi\left[\cfrac{x^{3}}{3}+2x^{2}+4x\right]_{4}^{10}=$$

    $$\pi\left[\cfrac{100}{3}+200+40-\cfrac{64}{3}-32-16\right]=504\pi u^{3}.$$

4Calcular el volumen engendrado por una semionda de la sinusoide y = {\rm sen} x, al girar alrededor del eje OX.

 

Dado que vamos a rotar la función y={\rm sen}(x) alredor del eje OX. El volumen deesta figura se obtiene al sumar el volumen de circunferencias de radio y={\rm sen}(x)entre los puntos x=0 y x=\pi. Recordemos que el área de una circunferencia es \pi

por el radio al cuadrado, así

    $$V_{semi.onda}=\pi\int_{0}^{\pi}{\rm sen}^{2}(x)dx=\pi\int_{0}^{\pi}\cfrac{1-\cos(2x)}{2}dx=$$

    $$\cfrac{\pi}{2}\left[x-\cfrac{1}{2}{\rm sen}(2x)\right]_{0}^{\pi}=\cfrac{\pi}{2}(\pi-0)=\cfrac{\pi^{3}}{2}u^{3}.$$

Volumen engendrado por una semionda

5Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 2x-x^{2}, y = -x + 2.

 

Para hallar la región limita por las gráficas de las funciones

    $$y = 2x-x^{2}, y = -x+2,$$

primero debemos hallar los puntos de intersección de estas graficas, los cuales

determinan los límites de integración.

    $$ \begin{cases} y=2x-x^{2},\\ y=-x+2 \end{cases}\quad \Rightarrow 2x-x^{2}=-x+2\quad \Rightarrow (1,1),(2,0) .$$

El área de la región es el área de un disco, la cual esta determinada por la resta de las

área de dos circunferencias, la primera de radio y=2x-x^{2} y la segunda de radio

y=-x+2. Recordemos que el área de una circunferencia es \pi por el radio al

cuadrado, así

    $$V_{reg}=\pi\int_{1}^{2}\left[(2x-x^{2})^{2}-(-x+2)^{2}\right]dx=$$

    $$\pi\int_{1}^{2}(x^{4}-4x^{3}+3x^{2}+4x-4)dx=$$

    $$\pi\left[\cfrac{1}{5}x^{5}-x^{4}+x^{3}+2x^{2}-4x\right]_{1}^{2}=\cfrac{\pi}{5}u^{3}.$$

6Hallar el volumen del cuerpo revolución engendrado al girar alrededor del eje OX, la región determinada por la función f(x) = 1/2 + \cos x, el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x = \pi.

 

Notemos que este volumen lo hallaremos usando la integral. Primero, los límites deintegración son x = 0 y x = \pi. Segundo, la función que deseamos integrar es el áreade una circunferencia de radio f(x) = 1/2 + \cos x. Recordemos que el área de una

circunferencia es \pi por el radio al cuadrado, así

    $$V_{reg}=\pi\int_{0}^{\pi}\left[1/2 + \cos x\right]^{2}dx=$$

    $$\pi\int_{0}^{\pi}\left[\cfrac{1}{4} + \cos x + \cos^{2}x\right]dx=$$

    $$\pi\left[\cfrac{1}{4}x+{\rm sen} x + \cfrac{1}{2}x + \cfrac{1}{2}{\rm sen} 2x\right]_{0}^{\pi}=\cfrac{3\pi^{2}}{4}u^{3}.$$

7Calcular el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 6x-x^{2}, y = x.

 

Primero determinamos los puntos de intersección de estas dos graficas, los cuales son

    $$6x-x^{2}=x\Rightarrow (0,0),\quad (5,5).$$

Ahora dibujamos la región que vamos a rotar,

Volumen engendrado por un cuerpo

 

La parábola queda por encima de la recta en el intervalo de integración.

Notemos que el área de esta región es el área de un disco que se obtiene al restar el

área de dos circuferencias de radios y = 6x-x^{2} y y = x respectivamente.

Recordemos que el área de una circunferencia es \pi por el radio al cuadrado, así

    $$V_{reg}=\pi\int_{0}^{5}\left[(6x-x^{2})^{2}-(x)^{2}\right]dx=$$

    $$\pi\left[\cfrac{1}{5}x^{5}-3x^{4}+\cfrac{35}{3}x^{3}\right]_{0}^{5}=\cfrac{625\pi}{3}u^{3}.$$

8Hallar el volumen engendrado por el círculo x^{2} + y^{2}- 4x = -3 al girar alrededor del eje OX.

 

Primero reescribimos la ecuación del circulo para después obtener su radio y centro,

    $$x^{2} + y^{2}- 4x +3+4-4=0\Rightarrow (x-2)^{2}+y^{2}=1.$$

El centro de la circunferencia es C(2, 0) y el radio r = 1.

 

Puntos de corte con el eje OX:

    $$\begin{cases}(x-2)^{2}+y^{2}=1\\ y=0\end{cases}\Rightarrow (1,0)\quad (3,0).$$

Volumen al girar una semicirculo

Con esta información podemos calcular el volumen de la región, el cual es

    $$V_{reg}=\pi\int_{1}^{3}\left[\sqrt{-x^{2}+4x-3}\right]^{2}dx=$$

    $$V_{reg}=\pi\int_{1}^{3}-x^{2}+4x-3dx=$$

    $$\pi\left[-\cfrac{1}{3}x^{3}+2x^{2}-3x\right]_{1}^{3}=\cfrac{4\pi}{3}u^{3}.$$

9Hallar el volumen de la figura engendrada al girar la elipse

    $$\cfrac{x^{2}}{a^{2}}+\cfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$$

alrededor del eje OX.

 

Apartir de la ecuación de la elipse, obtenemos la función que determina la región a la cualle debemos hallar el volumen,

    $$\cfrac{x^{2}}{a^{2}}+\cfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\Rightarrow y=\pm\cfrac{b}{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}.$$

Volumen inducido por una elipse

 

Por ser la elipse una curva simétrica, el volumen pedido es 2 en veces el volumen

engendrado por el arco y=\pm\cfrac{b}{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}} entre x=0 y x=a.

    $$V_{reg}=2\pi\int_{0}^{a}\left[\pm\cfrac{b}{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\right]^{2}dx=$$

    $$\cfrac{2\pi b^{2}}{a^{2}}\int_{0}^{a}(a^{2}-x^{2})dx=$$

    $$\cfrac{2\pi b^{2}}{a^{2}}\left[a^{2}x-\cfrac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{a}=$$

    $$\cfrac{2\pi b^{2}}{a^{2}}\left[a^{3}-\cfrac{1}{3}a^{3}\right]=\cfrac{4}{3}ab^{2}\pi.$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗