La integral definida es un caso de la integral utilizado para determinar el valor de las áreas delimitadas por una gráfica dentro de un intervalo y el eje horizontal. Sele puede encontrar en diversas áreas y contextos como la biología (en crecimiento de poblaciones), robótica (algoritomo de seguimiento de lineas), arquitectura (volúmenes de sólidos), etc, más adelante se dará un ejemplo específico de una aplicación.

Formalmente se define de la siguiente manera:

Definición de la integral definida

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las líneas verticales x = a y x = b.

gráfica elementos de la integral definida

Se representa por  { \int_{a}^{b}f(x)dx }.

  • {\int }  es el signo de integración.
  • a es el límite inferior de la integración.
  • b es el límite superior de la integración.
  • {f(x)} es el integrando o función a integrar.
  • {dx} es el diferencial de x  y nos indica cuál es la variable de la función que se integra.

 

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Vamos

Propiedades de la integral definida

 

El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

{\int_{a}^{b} f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx}

Esta propiedad nos puede servir para no operar con signos negativos.

Ejemplo:

{\int_{1}^{5} x^3dx=-\int_{5}^{1}x^3dx}

 

Si los límites de integración coinciden, la integral definida vale cero.

{\int_{a}^{b} f(x)dx=0}

En realidad, al tener el mismo límite de integración en ambos extremos no existe ningún área a calcular, es por eso que la integral es igual a cero en este caso.

Ejemplo:

{\int_{3}^{3} x ^2 dx=0}

 

Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se puede descomponer como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

{\int_{a}^{b} f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b} f(x)dx}

Al estar el punto c entre a  y b sobre el eje de las abcisas, el  área limitada por el intervalo [a,b] es la suma de las áreas limitadas por [a,c] y [c,d], lo mismo ocurre con el valor de la integral.

Ejemplo:

Para 7 que pertenece al intervalo [3,10]

{\int_{3}^{10} x^2dx=\int_{3}^{7}x^2dx+\int_{7}^{10} x^2dx}

 

La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales.

{\int_{a}^{b}\left [  f(x)+g(x)\right ]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b} g(x)dx}

Esta propiedad nos puede servir para no tener expresiones muy largas dentro de una misma integral y así manipular y hacer cálculos más facilmente , o en el otro caso,  agrupar  expresiones para un cálculo más cómodo.

Ejemplo:

Para {f(x)=x^2} y  {g(x)=x^3},

{\int_{1}^{10}\left [  x^2+x^3\right ]dx=\int_{1}^{10}x^2dx+\int_{1}^{10} x^3dx}

 

5   La integral del producto de una constante k por una función es igual a la constante k multiplicada por la integral de la función.

{\int_{a}^{b} k \cdot f(x)dx=k\cdot \int_{a}^{b}f(x)dx}

Esto es sacar la constante fuera de la integral.

Ejemplo:

Para la constante k=3

{\int_{1}^{7} 3 \cdot x^5dx=3\cdot \int_{1}^{7}x^5dx}

Ejemplo de aplicación

En éste ejemplo implementaremos las propiedades anteriores en una aplicación de la integral en crecimiento poblacional, para una mejor visualización.

 

Una población crece con una tasa de {e^{1.5t}-3t} individuos por año (donde {t} es el número de años).  En el primer año la población es de 1500 personas.

¿Cuánto creció la población  entre en primer y tercer año?, ¿Cuál es la población en el tercer año?

1  Dado que nos pide el crecimiento de la población entre 1 y 3, es decir, el área bajo la curva de la tasa de crecimiento entre 1 y 3, lo expresaremos como sigue:

{\int_{1}^{3}[e^{1.5t}-3t ]dt}

Nota: los pasos siguientes son para ilustrar el uso de las propiedades, algunos de ellos pueden ser omitidos.

 

Al hacer los cálculos,  notemos que podemos usar la propiedad 4 y separamos en una suma.

{\int_{1}^{3}[e^{1.5t}-3t ]dt}={\int_{1}^{3}e^{1.5t}dt}+{\int_{1}^{3}-3t dt}

 

También podemos utilizar la propiedad 5 y sacamos el la constante -3 que multiplica a t.

{\int_{1}^{3}[e^{1.5t}-3t ]dt}={\int_{1}^{3}e^{1.5t}dt}+(-3){\int_{1}^{3}t dt}

={\int_{1}^{3}e^{1.5t}dt}-3{\int_{1}^{3}t dt}

 

4 Dado que {1.5=\frac{3}{2}} sustituimos y hacemos los cálculos que correspondientes para hallar la respuesta a la primera pregunta:

{\int_{1}^{3}e^{\frac{3}{2}t}dt}-3{\int_{1}^{3}t dt=(\frac{2}{3}e^{\frac{3}{2}t})|_1^3 -3(t^2)|_1^3 }

{=[(\frac{2}{3}e^{\frac{3}{2}\cdot 3})-(\frac{2}{3}e^{\frac{3}{2}\cdot 1})] -3[(3^2)-(1^2)] }

{=[(\frac{2}{3}e^{\frac{9}{2}})-(\frac{2}{3}e^{\frac{3}{2}})] -3[(9)-(1)] }

{=[(\frac{2}{3}\cdot 90.02-\frac{2}{3}\cdot 4.48)] -3\cdot8 }

{=33.03}

 

Así el crecimiento entre el primer y tercer año fue de 33 individuos aproximadamente.

Para la segunda pregunta seguimos es siguiente razonamiento:

  • En el año 1 la población era de 1000 individuos.
  • El crecimiento entre el año 1 y 3 fue de 33 individuos aproximadamente.
  • Así la población al en el año 3 es de 1033 individuos aproximadamente.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗