1 \displaystyle \int \cfrac{5x + 3}{x^2 + 4} \, dx

1 Separamos los términos del numerador, cada uno con el denominador común y aplicamos la propiedad de la integral para sumas

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{5x + 3}{x^2 + 4} \, dx & = & \displaystyle \int \left ( \cfrac{5x}{x^2 + 4} + \cfrac{3}{x^2 + 4} \right ) \, dx \end{array}

 

2 Integramos cada una de las integrales obtenidas, para esto empleamos las fórmulas

 

\displaystyle \int \cfrac{u' dx}{u} = \ln u + C, \ \ \ \ \ \ \displaystyle \int \cfrac{u' dx}{u^2 + a^2} = \cfrac{1}{a} arc \, tg \left (\cfrac{u}{a} \right ) + C

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{5x}{x^2 + 4} \, dx & = & \displaystyle \cfrac{5}{2} \int \cfrac{2x}{x^2 + 4} \, dx  \\\\  & = & \cfrac{5}{2} \ln (x^2 + 4) + C, \end{array}

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{3}{x^2 + 4} \, dx & = & \displaystyle 3 \int \cfrac{dx}{x^2 + 4} \\\\ & = & \cfrac{3}{2} arc \, tg \left (\cfrac{x}{2} \right ) + C \end{array}

 

3 Así, el resultado de la integral es

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{5x + 3}{x^2 + 4} \, dx & = & \cfrac{5}{2} \ln (x^2 + 4)  + \cfrac{3}{2} arc \, tg \left (\cfrac{x}{2} \right ) + C\end{array}

 

2 \displaystyle \int \cfrac{3x^3 + 5x}{x^2 - x - 2} \, dx

1 Expresamos el cociente en la forma \cfrac{p}{q} = c + \cfrac{r}{q}, donde c es el cociente y r es el resto

 

\cfrac{3x^3 + 5x}{x^2 - x - 2} = 3x + 3 + \cfrac{14x + 6}{x^2 - x - 2}

 

2 Escribimos la integral

 

\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{3x^3 + 5x}{x^2 - x - 2} \, dx & = & \displaystyle \int \left ( 3x + 3 + \cfrac{14x + 6}{x^2 - x - 2} \right ) \, dx \\\\ & = & \displaystyle \int (3x + 3) \, dx + \displaystyle \int \cfrac{14x + 6}{x^2 - x - 2} \, dx \end{array}

 

3 Resolvemos la primera integral

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int (3x + 3) \, dx & = & \cfrac{3x^2}{2} + 3x + C \end{array}

 

4 Resolvemos la segunda integral por fracciones parciales

 

\cfrac{14x + 6}{x^2 - x - 2} = \cfrac{A}{x - 2} + \cfrac{B}{x +1}

 

Se efectúa la suma:

 

\cfrac{14x + 6}{x^2 - x - 2} = \cfrac{A(x+1) + B(x - 2)}{(x - 2) (x + 1)}

 

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

 

14x + 6 = A(x+1) + B(x - 2)

 

Para calcular los valores de {A, B}, damos a {x} los valores que anulan al denominador y otro más

 

\begin{array}{rcccl}x=-1 & \Longrightarrow & -8 = -3B & \Longrightarrow & B = \cfrac{8}{3} \\\\ x = 2 & \Longrightarrow & 34 = 3A & \Longrightarrow & A = \cfrac{34}{3} \end{array}

 

Se calculan las integrales de las fracciones simples:

 

\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{14x + 6}{x^2 - x - 2} \, dx & = & \displaystyle \cfrac{34}{3} \int \cfrac{dx}{x - 2} + \cfrac{8}{3} \int \cfrac{dx}{x + 1}  \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{34}{3} \ln (x - 2) + \frac{8}{3} \ln (x +1) + C \end{array}

 

5 Así, el resultado de la integral es

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{3x^3 + 5x}{x^2 - x - 2} \, dx & = & \cfrac{3x^2}{2} + 3x + \cfrac{34}{3} \ln (x - 2) + \cfrac{8}{3} \ln (x +1) + C\end{array}

 

3 \displaystyle \int \cfrac{3x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1} \, dx

1 Factorizamos el cociente

 

x^3 - x^2 - x + 1 = (x + 1) (x - 1)^2

 

2 Resolvemos por fracciones parciales

 

\cfrac{3x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1} = \cfrac{A}{x + 1} + \cfrac{B}{x - 1} + \cfrac{C}{(x - 1)^2}

 

Se efectúa la suma:

 

\cfrac{3x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1} = \cfrac{A(x - 1)^2 + B(x + 1) (x - 1) + C(x + 1)}{(x + 1) (x - 1)^2}

 

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

 

3x + 5 = A(x - 1)^2 + B(x + 1) (x - 1) + C(x + 1)

 

Para calcular los valores de {A, B, C}, damos a {x} los valores que anulan al denominador y otro más

 

\begin{array}{rcccl}x=-1 & \Longrightarrow & 2 = 4A & \Longrightarrow & A = \cfrac{1}{2} \\\\ x = 1 & \Longrightarrow & 8 = 2C & \Longrightarrow & C = 4 \\\\ x = 0 & \Longrightarrow & \cfrac{1}{2} = -B & \Longrightarrow & B = -\cfrac{1}{2} \end{array}

 

3 Se calculan las integrales de las fracciones simples:

 

\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{3x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1} \, dx & = & \displaystyle \cfrac{1}{2} \int \cfrac{dx}{x + 1} - \cfrac{1}{2} \int \cfrac{dx}{x + 1} + 4 \int \cfrac{dx}{(x + 1)^2}   \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{1}{2} \ln (x + 1) - \frac{1}{2} \ln (x -1) - \cfrac{4}{x - 1} + C \end{array}

 

4 Así, el resultado de la integral es

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{3x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1} \, dx  & = & \displaystyle \cfrac{1}{2} \ln (x + 1) - \frac{1}{2} \ln (x -1) - \cfrac{4}{x - 1} + C \end{array}

 

 

4 \displaystyle \int \cfrac{3x^2 + 1}{(x + 2)^3} \, dx

1 Resolvemos por fracciones parciales

 

\cfrac{3x^2 + 1}{(x + 2)^3} = \cfrac{A}{x + 2} + \cfrac{B}{(x + 2)^2} + \cfrac{C}{(x + 2)^3}

 

Se efectúa la suma:

 

\cfrac{3x^2 + 1}{(x + 2)^3} = \cfrac{A(x + 2)^2 + B(x + 2) + C}{(x + 2)^3}

 

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

 

3x^2 + 1 = A(x + 2)^2 + B(x + 2) + C

 

Para calcular los valores de {A, B, C}, damos a {x} los valores que anulan al denominador y otro más

 

\begin{array}{rcc}x=-2 & \Longrightarrow & 13 = C \end{array}

 

Derivamos y volvemos a sustituir {x = -2}

 

\begin{array}{rcc}6x = 2A(x + 2) + B & \Longrightarrow & -12 = B \end{array}

 

Volvemos a derivar

 

\begin{array}{rcc}6 = 2A & \Longrightarrow & 3 = A \end{array}

 

2 Se calculan las integrales de las fracciones simples:

 

\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{3x^2 + 1}{(x + 2)^3} \, dx & = & \displaystyle 3 \int \cfrac{dx}{x + 2} - 12 \int \cfrac{dx}{(x + 2)^2} + 13 \int \cfrac{dx}{(x + 2)^3} \\\\ & = & \displaystyle 3 \ln (x + 2) + \frac{12}{(x + 2)} - \cfrac{13}{2(x + 2)^2} + C \end{array}

 

3 Así, el resultado de la integral es

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{3x^2 + 1}{(x + 2)^3} \, dx & = & \displaystyle 3 \ln (x + 2) + \frac{12}{(x + 2)} - \cfrac{13}{2(x + 2)^2} + C\end{array}

 

5 \displaystyle \int \cfrac{2x^2 - 3x + 2}{x^3 + x} \, dx

1 Factorizamos el cociente

 

x^3 + x = x (x^2 + 1)

 

2 Resolvemos por fracciones parciales

 

\cfrac{2x^2 - 3x + 2}{x^3 + x} = \cfrac{A}{x} + \cfrac{Bx + C}{x^2 + 1}

 

Se efectúa la suma:

 

\cfrac{2x^2 - 3x + 2}{x^3 + x} = \cfrac{A(x ^2 + 1) + Bx^2 + Cx}{x(x ^2 + 1)}

 

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

 

2x^2 - 3x + 2 = A(x^2 + 1) + Bx^2 + Cx

 

Para calcular los valores de {A, B, C}, damos a {x} los valores que anulan al denominador

 

\begin{array}{rcc}x=0 & \Longrightarrow & 2 = A  \\\\   \end{array}

 

Derivamos y volvemos a sustituir {x = 0}

 

\begin{array}{rcc}4x - 3 = 4x + 2Bx +  C & \Longrightarrow & -3 = C \end{array}

 

Volvemos a derivar

 

\begin{array}{rcc}4 = 4 + 2B & \Longrightarrow & 0 = B \end{array}

 

3 Se calculan las integrales de las fracciones simples:

 

\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{2x^2 - 3x + 2}{x^3 + x} \, dx & = & \displaystyle 2 \int \cfrac{dx}{x} - 3 \int \cfrac{dx}{x^2 + 1}  \\\\ & = & \displaystyle 2 \ln x - 3 arc \, tg x + C \end{array}

 

4 Así, el resultado de la integral es

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{2x^2 - 3x + 2}{x^3 + x} \, dx & = & \displaystyle 2 \ln x - 3 arc \, tg \,  x + C \end{array}

 

6 \displaystyle \int \cfrac{x^3 + 2x^2 - 2x - 5}{x^2 + 2x - 3} \, dx

1 Expresamos el cociente en la forma \cfrac{p}{q} = c + \cfrac{r}{q}, donde c es el cociente y r es el resto

 

\cfrac{x^3 + 2x^2 - 2x - 5}{x^2 + 2x - 3} = x + \cfrac{x - 5}{x^2 + 2x - 3}

 

2 Escribimos la integral

 

\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{x^3 + 2x^2 - 2x - 5}{x^2 + 2x - 3} \, dx & = & \displaystyle \int \left ( x + \cfrac{x - 5}{x^2 + 2x - 3} \right ) \, dx \\\\ & = & \displaystyle \int x \, dx + \displaystyle \int \cfrac{x - 5}{x^2 + 2x - 3} \, dx \end{array}

 

3 Resolvemos la primera integral

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int x \, dx & = & \cfrac{x^2}{2} + C \end{array}

 

Factorizamos el cociente

 

x^2 + 2x - 3 = (x + 3) (x - 1)

 

Resolvemos por fracciones parciales

 

\cfrac{x - 5}{x^2 + 2x - 3} = \cfrac{A}{x - 1} + \cfrac{B}{x + 3}

 

Se efectúa la suma:

 

\cfrac{x - 5}{x^2 + 2x - 3} = \cfrac{A(x + 3) + B(x - 1)}{(x - 1) (x + 3)}

 

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

 

x - 5 = A(x + 3) + B(x - 1)

 

Para calcular los valores de {A, B}, damos a {x} los valores que anulan al denominador

 

\begin{array}{rcccc}x = 1 & \Longrightarrow & -4 = 4A  & \Longrightarrow & A = -1 \\\\  x = -3 & \Longrightarrow & -8 = -4B  & \Longrightarrow & B = 2 \end{array}

 

4 Se calculan las integrales de las fracciones simples:

 

\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{x - 5}{x^2 + 2x - 3} \, dx & = & \displaystyle - \int \cfrac{dx}{x - 1} + 2 \int \cfrac{dx}{x + 3} \\\\ & = & \displaystyle - \ln (x - 1) + 2 \ln (x + 3) + C \end{array}

 

5 Así, el resultado de la integral es

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{x^3 + 2x^2 - 2x - 5}{x^2 + 2x - 3} \, dx  & = & \displaystyle \cfrac{x^2}{2} - \ln (x - 1) + 2 \ln (x + 3) + C \end{array}

 

7 \displaystyle \int \cfrac{6x^2 - 3x + 2}{x^3 - x^2} \, dx

1 Factorizamos el cociente

 

x^3 - x^2 = x^2 (x - 1)

 

2 Resolvemos por fracciones parciales

 

\cfrac{6x^2 - 3x + 2}{x^3 - x^2} = \cfrac{A}{x} + \cfrac{B}{x^2} + \cfrac{C}{x - 1}

 

Se efectúa la suma:

 

\cfrac{6x^2 - 3x + 2}{x^3 - x^2} = \cfrac{Ax(x - 1) + B(x - 1) + Cx^2}{x^2(x - 1)}

 

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

 

6x^2 - 3x + 2 = Ax(x - 1) + B(x - 1) + Cx^2

 

Para calcular los valores de {A, B, C}, damos a {x} los valores que anulan al denominador y otro más

 

\begin{array}{rcc}x=0 & \Longrightarrow & -2 = B \\\\ \end{array}

 

Derivamos y volvemos a sustituir {x = 0}

 

\begin{array}{rcc}12x - 3 = A(2x - 1) - 2 + 2Cx & \Longrightarrow & 1 = A \end{array}

 

Volvemos a derivar

 

\begin{array}{rcc}12 = 2 + 2C & \Longrightarrow & 5 = C \end{array}

 

3 Se calculan las integrales de las fracciones simples:

 

\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{6x^2 - 3x + 2}{x^3 - x^2} \, dx & = & \displaystyle  \int \cfrac{dx}{x} - 2 \int \cfrac{dx}{x^2} + 5 \int \cfrac{dx}{x - 1} \\\\ & = & \displaystyle  \ln x + \cfrac{2}{x}  + 5 \ln (x - 1) + C \end{array}

 

4 Así, el resultado de la integral es

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{6x^2 - 3x + 2}{x^3 - x^2} \, dx & = & \displaystyle  \ln x + \cfrac{2}{x}  + 5 \ln (x - 1) + C \end{array}

 

8 \displaystyle \int \cfrac{x^2 - 6x + 7}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)} \, dx

1 Resolvemos por fracciones parciales

 

\cfrac{x^2 - 6x + 7}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)} = \cfrac{A}{x + 1} + \cfrac{B}{x - 2} + \cfrac{C}{x - 3}

 

Se efectúa la suma:

 

\cfrac{x^2 - 6x + 7}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)} = \cfrac{A(x - 2) (x - 3) + B(x + 1)(x - 3) + C(x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}

 

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

 

x^2 - 6x + 7 = A(x - 2) (x - 3) + B(x + 1)(x - 3) + C(x + 1) (x - 2)

 

Para calcular los valores de {A, B, C}, damos a {x} los valores que anulan al denominador

 

\begin{array}{rcccc}x=-1 & \Longrightarrow & 14 = 12A & \Longrightarrow & A = \cfrac{7}{6} \\\\ x = 2 & \Longrightarrow & -1 = -3B & \Longrightarrow & B = \cfrac{1}{3}  \\\\  x = 3& \Longrightarrow & -2 = 4C & \Longrightarrow & C = -\cfrac{1}{2}\end{array}

 

2 Se calculan las integrales de las fracciones simples:

 

\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{x^2 - 6x + 7}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)} \, dx & = & \displaystyle \cfrac{7}{6} \int \cfrac{dx}{x + 1} + \cfrac{1}{3} \int \cfrac{dx}{x - 2} - \cfrac{1}{2}  \int \cfrac{dx}{x - 3} \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{7}{6}\ln (x + 1) + \cfrac{1}{3} \ln (x - 2)  - \cfrac{1}{2} \ln (x - 3) + C \end{array}

 

3 Así, el resultado de la integral es

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{x^2 - 6x + 7}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)} \, dx & = & \displaystyle \cfrac{7}{6}\ln (x + 1) + \cfrac{1}{3} \ln (x - 2)  - \cfrac{1}{2} \ln (x - 3) + C \end{array}

 

9 \displaystyle \int \cfrac{5x^2 + 6x + 9}{(x - 3)^2 (x + 1)^2} \, dx

1 Resolvemos por fracciones parciales

 

\cfrac{5x^2 + 6x + 9}{(x - 3)^2 (x + 1)^2} = \cfrac{A}{x - 3} + \cfrac{B}{(x - 3)^2} + \cfrac{C}{x + 1} + \cfrac{D}{(x + 1)^2}

 

Se efectúa la suma:

 

\cfrac{5x^2 + 6x + 9}{(x - 3)^2 (x + 1)^2} = \cfrac{A(x - 3) (x + 1)^2 + B(x + 1)^2 + C(x + 1) (x - 3)^2 + D(x - 3)^2}{(x - 3)^2  (x + 1)^2}

 

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

 

5x^2 + 6x + 9 = A(x - 3) (x + 1)^2 + B(x + 1)^2 + C(x + 1) (x - 3)^2 + D(x - 3)^2

 

Para calcular los valores de {A, B, C, D}, damos a {x} los valores que anulan al denominador

 

\begin{array}{rcccc}x=-1 & \Longrightarrow & 8 = 16D & \Longrightarrow & D = \cfrac{1}{2} \\\\ x = 3 & \Longrightarrow & 72 = 16B & \Longrightarrow & B = \cfrac{9}{2} \end{array}

 

Derivamos y damos a {x} los valores que anulan al denominador

 

10x + 6 = A(x + 1)^2 + 2A(x - 3)(x + 1) + 9(x + 1) + C(x - 3)^2 + 2C(x + 1)(x - 3) + (x - 3)

 

\begin{array}{rcccc}x=-1 & \Longrightarrow & -4 = 16C - 4 & \Longrightarrow & C = 0 \\\\ x = 3 & \Longrightarrow & 36 = 16A + 36 & \Longrightarrow & A = 0 \end{array}

 

2 Se calculan las integrales de las fracciones simples:

 

\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{5x^2 + 6x + 9}{(x - 3)^2 (x + 1)^2} \, dx & = & \displaystyle \cfrac{9}{2} \int \cfrac{dx}{(x - 3)^2} + \cfrac{1}{2} \int \cfrac{dx}{(x + 1)^2} \\\\ & = & \displaystyle -\cfrac{9}{2(x - 3)} - \cfrac{1}{2(x + 1)} + C \end{array}

 

3 Así, el resultado de la integral es

 

\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{5x^2 + 6x + 9}{(x - 3)^2 (x + 1)^2} \, dx & = & \displaystyle -\cfrac{9}{2(x - 3)} - \cfrac{1}{2(x + 1)} + C\end{array}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗