Name: Ejercicios resueltos de integrales racionales
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Marta

9 febrero 2021

1 $\displaystyle \int \cfrac{5x + 3}{x^2 + 4} \, dx$

1 Separamos los términos del numerador, cada uno con el denominador común y aplicamos la propiedad de la integral para sumas

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{5x + 3}{x^2 + 4} \, dx & = & \displaystyle \int \left ( \cfrac{5x}{x^2 + 4} + \cfrac{3}{x^2 + 4} \right ) \, dx \end{array}$

2 Integramos cada una de las integrales obtenidas, para esto empleamos las fórmulas

$\displaystyle \int \cfrac{u' dx}{u} = \ln u + C, \ \ \ \ \ \ \displaystyle \int \cfrac{u' dx}{u^2 + a^2} = \cfrac{1}{a} arc \, tg \left (\cfrac{u}{a} \right ) + C$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{5x}{x^2 + 4} \, dx & = & \displaystyle \cfrac{5}{2} \int \cfrac{2x}{x^2 + 4} \, dx \\\\ & = & \cfrac{5}{2} \ln (x^2 + 4) + C, \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{3}{x^2 + 4} \, dx & = & \displaystyle 3 \int \cfrac{dx}{x^2 + 4} \\\\ & = & \cfrac{3}{2} arc \, tg \left (\cfrac{x}{2} \right ) + C \end{array}$

3 Así, el resultado de la integral es

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{5x + 3}{x^2 + 4} \, dx & = & \cfrac{5}{2} \ln (x^2 + 4) + \cfrac{3}{2} arc \, tg \left (\cfrac{x}{2} \right ) + C\end{array}$

2 $\displaystyle \int \cfrac{3x^3 + 5x}{x^2 - x - 2} \, dx$

1 Expresamos el cociente en la forma $\cfrac{p}{q} = c + \cfrac{r}{q}$ , donde $c$ es el cociente y $r$ es el resto

$\cfrac{3x^3 + 5x}{x^2 - x - 2} = 3x + 3 + \cfrac{14x + 6}{x^2 - x - 2}$

2 Escribimos la integral

$\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{3x^3 + 5x}{x^2 - x - 2} \, dx & = & \displaystyle \int \left ( 3x + 3 + \cfrac{14x + 6}{x^2 - x - 2} \right ) \, dx \\\\ & = & \displaystyle \int (3x + 3) \, dx + \displaystyle \int \cfrac{14x + 6}{x^2 - x - 2} \, dx \end{array}$

3 Resolvemos la primera integral

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int (3x + 3) \, dx & = & \cfrac{3x^2}{2} + 3x + C \end{array}$

4 Resolvemos la segunda integral por fracciones parciales

$\cfrac{14x + 6}{x^2 - x - 2} = \cfrac{A}{x - 2} + \cfrac{B}{x +1}$

Se efectúa la suma:

$\cfrac{14x + 6}{x^2 - x - 2} = \cfrac{A(x+1) + B(x - 2)}{(x - 2) (x + 1)}$

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

$14x + 6 = A(x+1) + B(x - 2)$

Para calcular los valores de ${A, B}$ , damos a ${x}$ los valores que anulan al denominador y otro más

$\begin{array}{rcccl}x=-1 & \Longrightarrow & -8 = -3B & \Longrightarrow & B = \cfrac{8}{3} \\\\ x = 2 & \Longrightarrow & 34 = 3A & \Longrightarrow & A = \cfrac{34}{3} \end{array}$

Se calculan las integrales de las fracciones simples:

$\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{14x + 6}{x^2 - x - 2} \, dx & = & \displaystyle \cfrac{34}{3} \int \cfrac{dx}{x - 2} + \cfrac{8}{3} \int \cfrac{dx}{x + 1} \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{34}{3} \ln (x - 2) + \frac{8}{3} \ln (x +1) + C \end{array}$

5 Así, el resultado de la integral es

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{3x^3 + 5x}{x^2 - x - 2} \, dx & = & \cfrac{3x^2}{2} + 3x + \cfrac{34}{3} \ln (x - 2) + \cfrac{8}{3} \ln (x +1) + C\end{array}$

3 $\displaystyle \int \cfrac{3x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1} \, dx$

1 Factorizamos el cociente

$x^3 - x^2 - x + 1 = (x + 1) (x - 1)^2$

2 Resolvemos por fracciones parciales

$\cfrac{3x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1} = \cfrac{A}{x + 1} + \cfrac{B}{x - 1} + \cfrac{C}{(x - 1)^2}$

Se efectúa la suma:

$\cfrac{3x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1} = \cfrac{A(x - 1)^2 + B(x + 1) (x - 1) + C(x + 1)}{(x + 1) (x - 1)^2}$

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

$3x + 5 = A(x - 1)^2 + B(x + 1) (x - 1) + C(x + 1)$

Para calcular los valores de ${A, B, C}$ , damos a ${x}$ los valores que anulan al denominador y otro más

$\begin{array}{rcccl}x=-1 & \Longrightarrow & 2 = 4A & \Longrightarrow & A = \cfrac{1}{2} \\\\ x = 1 & \Longrightarrow & 8 = 2C & \Longrightarrow & C = 4 \\\\ x = 0 & \Longrightarrow & \cfrac{1}{2} = -B & \Longrightarrow & B = -\cfrac{1}{2} \end{array}$

3 Se calculan las integrales de las fracciones simples:

$\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{3x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1} \, dx & = & \displaystyle \cfrac{1}{2} \int \cfrac{dx}{x + 1} - \cfrac{1}{2} \int \cfrac{dx}{x + 1} + 4 \int \cfrac{dx}{(x + 1)^2} \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{1}{2} \ln (x + 1) - \frac{1}{2} \ln (x -1) - \cfrac{4}{x - 1} + C \end{array}$

4 Así, el resultado de la integral es

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{3x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1} \, dx & = & \displaystyle \cfrac{1}{2} \ln (x + 1) - \frac{1}{2} \ln (x -1) - \cfrac{4}{x - 1} + C \end{array}$

4 $\displaystyle \int \cfrac{3x^2 + 1}{(x + 2)^3} \, dx$

1 Resolvemos por fracciones parciales

$\cfrac{3x^2 + 1}{(x + 2)^3} = \cfrac{A}{x + 2} + \cfrac{B}{(x + 2)^2} + \cfrac{C}{(x + 2)^3}$

Se efectúa la suma:

$\cfrac{3x^2 + 1}{(x + 2)^3} = \cfrac{A(x + 2)^2 + B(x + 2) + C}{(x + 2)^3}$

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

$3x^2 + 1 = A(x + 2)^2 + B(x + 2) + C$

Para calcular los valores de ${A, B, C}$ , damos a ${x}$ los valores que anulan al denominador y otro más

$\begin{array}{rcc}x=-2 & \Longrightarrow & 13 = C \end{array}$

Derivamos y volvemos a sustituir ${x = -2}$

$\begin{array}{rcc}6x = 2A(x + 2) + B & \Longrightarrow & -12 = B \end{array}$

Volvemos a derivar

$\begin{array}{rcc}6 = 2A & \Longrightarrow & 3 = A \end{array}$

2 Se calculan las integrales de las fracciones simples:

$\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{3x^2 + 1}{(x + 2)^3} \, dx & = & \displaystyle 3 \int \cfrac{dx}{x + 2} - 12 \int \cfrac{dx}{(x + 2)^2} + 13 \int \cfrac{dx}{(x + 2)^3} \\\\ & = & \displaystyle 3 \ln (x + 2) + \frac{12}{(x + 2)} - \cfrac{13}{2(x + 2)^2} + C \end{array}$

3 Así, el resultado de la integral es

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{3x^2 + 1}{(x + 2)^3} \, dx & = & \displaystyle 3 \ln (x + 2) + \frac{12}{(x + 2)} - \cfrac{13}{2(x + 2)^2} + C\end{array}$

5 $\displaystyle \int \cfrac{2x^2 - 3x + 2}{x^3 + x} \, dx$

1 Factorizamos el cociente

$x^3 + x = x (x^2 + 1)$

2 Resolvemos por fracciones parciales

$\cfrac{2x^2 - 3x + 2}{x^3 + x} = \cfrac{A}{x} + \cfrac{Bx + C}{x^2 + 1}$

Se efectúa la suma:

$\cfrac{2x^2 - 3x + 2}{x^3 + x} = \cfrac{A(x ^2 + 1) + Bx^2 + Cx}{x(x ^2 + 1)}$

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

$2x^2 - 3x + 2 = A(x^2 + 1) + Bx^2 + Cx$

Para calcular los valores de ${A, B, C}$ , damos a ${x}$ los valores que anulan al denominador

$\begin{array}{rcc}x=0 & \Longrightarrow & 2 = A \\\\ \end{array}$

Derivamos y volvemos a sustituir ${x = 0}$

$\begin{array}{rcc}4x - 3 = 4x + 2Bx + C & \Longrightarrow & -3 = C \end{array}$

Volvemos a derivar

$\begin{array}{rcc}4 = 4 + 2B & \Longrightarrow & 0 = B \end{array}$

3 Se calculan las integrales de las fracciones simples:

$\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{2x^2 - 3x + 2}{x^3 + x} \, dx & = & \displaystyle 2 \int \cfrac{dx}{x} - 3 \int \cfrac{dx}{x^2 + 1} \\\\ & = & \displaystyle 2 \ln x - 3 arc \, tg x + C \end{array}$

4 Así, el resultado de la integral es

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{2x^2 - 3x + 2}{x^3 + x} \, dx & = & \displaystyle 2 \ln x - 3 arc \, tg \, x + C \end{array}$

6 $\displaystyle \int \cfrac{x^3 + 2x^2 - 2x - 5}{x^2 + 2x - 3} \, dx$

1 Expresamos el cociente en la forma $\cfrac{p}{q} = c + \cfrac{r}{q}$ , donde $c$ es el cociente y $r$ es el resto

$\cfrac{x^3 + 2x^2 - 2x - 5}{x^2 + 2x - 3} = x + \cfrac{x - 5}{x^2 + 2x - 3}$

2 Escribimos la integral

$\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{x^3 + 2x^2 - 2x - 5}{x^2 + 2x - 3} \, dx & = & \displaystyle \int \left ( x + \cfrac{x - 5}{x^2 + 2x - 3} \right ) \, dx \\\\ & = & \displaystyle \int x \, dx + \displaystyle \int \cfrac{x - 5}{x^2 + 2x - 3} \, dx \end{array}$

3 Resolvemos la primera integral

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int x \, dx & = & \cfrac{x^2}{2} + C \end{array}$

Factorizamos el cociente

$x^2 + 2x - 3 = (x + 3) (x - 1)$

Resolvemos por fracciones parciales

$\cfrac{x - 5}{x^2 + 2x - 3} = \cfrac{A}{x - 1} + \cfrac{B}{x + 3}$

Se efectúa la suma:

$\cfrac{x - 5}{x^2 + 2x - 3} = \cfrac{A(x + 3) + B(x - 1)}{(x - 1) (x + 3)}$

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

$x - 5 = A(x + 3) + B(x - 1)$

Para calcular los valores de ${A, B}$ , damos a ${x}$ los valores que anulan al denominador

$\begin{array}{rcccc}x = 1 & \Longrightarrow & -4 = 4A & \Longrightarrow & A = -1 \\\\ x = -3 & \Longrightarrow & -8 = -4B & \Longrightarrow & B = 2 \end{array}$

4 Se calculan las integrales de las fracciones simples:

$\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{x - 5}{x^2 + 2x - 3} \, dx & = & \displaystyle - \int \cfrac{dx}{x - 1} + 2 \int \cfrac{dx}{x + 3} \\\\ & = & \displaystyle - \ln (x - 1) + 2 \ln (x + 3) + C \end{array}$

5 Así, el resultado de la integral es

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{x^3 + 2x^2 - 2x - 5}{x^2 + 2x - 3} \, dx & = & \displaystyle \cfrac{x^2}{2} - \ln (x - 1) + 2 \ln (x + 3) + C \end{array}$

7 $\displaystyle \int \cfrac{6x^2 - 3x + 2}{x^3 - x^2} \, dx$

1 Factorizamos el cociente

$x^3 - x^2 = x^2 (x - 1)$

2 Resolvemos por fracciones parciales

$\cfrac{6x^2 - 3x + 2}{x^3 - x^2} = \cfrac{A}{x} + \cfrac{B}{x^2} + \cfrac{C}{x - 1}$

Se efectúa la suma:

$\cfrac{6x^2 - 3x + 2}{x^3 - x^2} = \cfrac{Ax(x - 1) + B(x - 1) + Cx^2}{x^2(x - 1)}$

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

$6x^2 - 3x + 2 = Ax(x - 1) + B(x - 1) + Cx^2$

Para calcular los valores de ${A, B, C}$ , damos a ${x}$ los valores que anulan al denominador y otro más

$\begin{array}{rcc}x=0 & \Longrightarrow & -2 = B \\\\ \end{array}$

Derivamos y volvemos a sustituir ${x = 0}$

$\begin{array}{rcc}12x - 3 = A(2x - 1) - 2 + 2Cx & \Longrightarrow & 1 = A \end{array}$

Volvemos a derivar

$\begin{array}{rcc}12 = 2 + 2C & \Longrightarrow & 5 = C \end{array}$

3 Se calculan las integrales de las fracciones simples:

$\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{6x^2 - 3x + 2}{x^3 - x^2} \, dx & = & \displaystyle \int \cfrac{dx}{x} - 2 \int \cfrac{dx}{x^2} + 5 \int \cfrac{dx}{x - 1} \\\\ & = & \displaystyle \ln x + \cfrac{2}{x} + 5 \ln (x - 1) + C \end{array}$

4 Así, el resultado de la integral es

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{6x^2 - 3x + 2}{x^3 - x^2} \, dx & = & \displaystyle \ln x + \cfrac{2}{x} + 5 \ln (x - 1) + C \end{array}$

8 $\displaystyle \int \cfrac{x^2 - 6x + 7}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)} \, dx$

1 Resolvemos por fracciones parciales

$\cfrac{x^2 - 6x + 7}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)} = \cfrac{A}{x + 1} + \cfrac{B}{x - 2} + \cfrac{C}{x - 3}$

Se efectúa la suma:

$\cfrac{x^2 - 6x + 7}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)} = \cfrac{A(x - 2) (x - 3) + B(x + 1)(x - 3) + C(x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

$x^2 - 6x + 7 = A(x - 2) (x - 3) + B(x + 1)(x - 3) + C(x + 1) (x - 2)$

Para calcular los valores de ${A, B, C}$ , damos a ${x}$ los valores que anulan al denominador

$\begin{array}{rcccc}x=-1 & \Longrightarrow & 14 = 12A & \Longrightarrow & A = \cfrac{7}{6} \\\\ x = 2 & \Longrightarrow & -1 = -3B & \Longrightarrow & B = \cfrac{1}{3} \\\\ x = 3& \Longrightarrow & -2 = 4C & \Longrightarrow & C = -\cfrac{1}{2}\end{array}$

2 Se calculan las integrales de las fracciones simples:

$\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{x^2 - 6x + 7}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)} \, dx & = & \displaystyle \cfrac{7}{6} \int \cfrac{dx}{x + 1} + \cfrac{1}{3} \int \cfrac{dx}{x - 2} - \cfrac{1}{2} \int \cfrac{dx}{x - 3} \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{7}{6}\ln (x + 1) + \cfrac{1}{3} \ln (x - 2) - \cfrac{1}{2} \ln (x - 3) + C \end{array}$

3 Así, el resultado de la integral es

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{x^2 - 6x + 7}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)} \, dx & = & \displaystyle \cfrac{7}{6}\ln (x + 1) + \cfrac{1}{3} \ln (x - 2) - \cfrac{1}{2} \ln (x - 3) + C \end{array}$

9 $\displaystyle \int \cfrac{5x^2 + 6x + 9}{(x - 3)^2 (x + 1)^2} \, dx$

1 Resolvemos por fracciones parciales

$\cfrac{5x^2 + 6x + 9}{(x - 3)^2 (x + 1)^2} = \cfrac{A}{x - 3} + \cfrac{B}{(x - 3)^2} + \cfrac{C}{x + 1} + \cfrac{D}{(x + 1)^2}$

Se efectúa la suma:

$\cfrac{5x^2 + 6x + 9}{(x - 3)^2 (x + 1)^2} = \cfrac{A(x - 3) (x + 1)^2 + B(x + 1)^2 + C(x + 1) (x - 3)^2 + D(x - 3)^2}{(x - 3)^2 (x + 1)^2}$

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

$5x^2 + 6x + 9 = A(x - 3) (x + 1)^2 + B(x + 1)^2 + C(x + 1) (x - 3)^2 + D(x - 3)^2$

Para calcular los valores de ${A, B, C, D}$ , damos a ${x}$ los valores que anulan al denominador

$\begin{array}{rcccc}x=-1 & \Longrightarrow & 8 = 16D & \Longrightarrow & D = \cfrac{1}{2} \\\\ x = 3 & \Longrightarrow & 72 = 16B & \Longrightarrow & B = \cfrac{9}{2} \end{array}$

Derivamos y damos a ${x}$ los valores que anulan al denominador

$10x + 6 = A(x + 1)^2 + 2A(x - 3)(x + 1) + 9(x + 1) + C(x - 3)^2 + 2C(x + 1)(x - 3) + (x - 3)$

$\begin{array}{rcccc}x=-1 & \Longrightarrow & -4 = 16C - 4 & \Longrightarrow & C = 0 \\\\ x = 3 & \Longrightarrow & 36 = 16A + 36 & \Longrightarrow & A = 0 \end{array}$

2 Se calculan las integrales de las fracciones simples:

$\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{5x^2 + 6x + 9}{(x - 3)^2 (x + 1)^2} \, dx & = & \displaystyle \cfrac{9}{2} \int \cfrac{dx}{(x - 3)^2} + \cfrac{1}{2} \int \cfrac{dx}{(x + 1)^2} \\\\ & = & \displaystyle -\cfrac{9}{2(x - 3)} - \cfrac{1}{2(x + 1)} + C \end{array}$

3 Así, el resultado de la integral es

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{5x^2 + 6x + 9}{(x - 3)^2 (x + 1)^2} \, dx & = & \displaystyle -\cfrac{9}{2(x - 3)} - \cfrac{1}{2(x + 1)} + C\end{array}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Ramos

Mayo

Felicidades es una excelente profesora.

Superprof

Mayo

¡Muchas gracias!

Kleber

Febrero

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