Las integrales racionales son aquellas en las que la función a integrar puede expresarse como el cociente de dos polinomios. Resolver este tipo de integrales requiere, en muchos casos, aplicar técnicas específicas como la descomposición en fracciones parciales, sustituciones algebraicas o transformaciones que simplifiquen la expresión inicial.
En este artículo, se presentan una serie de ejercicios resueltos paso a paso que abarcan los casos más comunes de integrales racionales. El objetivo es proporcionar una guía clara que permita comprender la lógica detrás de cada procedimiento, reforzando tanto la técnica como la interpretación de los resultados obtenidos.
Resolver las siguientes integrales:
1 Integramos la integral obtenida, para esto empleamos la fórmula
2 Así, el resultado de la integral es
1 Separamos los términos del numerador, cada uno con el denominador común y aplicamos la propiedad de la integral para sumas
2 Integramos cada una de las integrales obtenidas, para esto empleamos las fórmulas
3 Así, el resultado de la integral es
1 Expresamos el cociente en la forma 
, donde 
es el cociente y 
es el resto
2 Escribimos la integral
3 Resolvemos la primera integral
4 Resolvemos la segunda integral por fracciones parciales
Se efectúa la suma:
Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:
Para calcular los valores de 
, damos a 
los valores que anulan al denominador y otro más
Se calculan las integrales de las fracciones simples:
5 Así, el resultado de la integral es
1 Factorizamos el cociente
2 Resolvemos por fracciones parciales
Se efectúa la suma:
Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:
Para calcular los valores de 
, damos a los valores que anulan al denominador y otro más
3 Se calculan las integrales de las fracciones simples:
4 Así, el resultado de la integral es
1 Resolvemos por fracciones parciales
Se efectúa la suma:
Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:
Para calcular los valores de , damos a los valores que anulan al denominador y otro más
Derivamos y volvemos a sustituir 
Volvemos a derivar
2 Se calculan las integrales de las fracciones simples:
3 Así, el resultado de la integral es
1 Factorizamos el cociente
2 Resolvemos por fracciones parciales
Se efectúa la suma:
Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:
Para calcular los valores de , damos a los valores que anulan al denominador
Derivamos y volvemos a sustituir 
Volvemos a derivar
3 Se calculan las integrales de las fracciones simples:
4 Así, el resultado de la integral es
1 Expresamos el cociente en la forma , donde es el cociente y es el resto
2 Escribimos la integral
3 Resolvemos la primera integral
Factorizamos el cociente
Resolvemos por fracciones parciales
Se efectúa la suma:
Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:
Para calcular los valores de , damos a los valores que anulan al denominador
4 Se calculan las integrales de las fracciones simples:
5 Así, el resultado de la integral es
1 Factorizamos el cociente
2 Resolvemos por fracciones parciales
Se efectúa la suma:
Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:
Para calcular los valores de , damos a los valores que anulan al denominador y otro más
Derivamos y volvemos a sustituir
Volvemos a derivar
3 Se calculan las integrales de las fracciones simples:
4 Así, el resultado de la integral es
1 Resolvemos por fracciones parciales
Se efectúa la suma:
Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:
Para calcular los valores de , damos a los valores que anulan al denominador
2 Se calculan las integrales de las fracciones simples:
3 Así, el resultado de la integral es
1 Resolvemos por fracciones parciales
Se efectúa la suma:
Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:
Para calcular los valores de 
, damos a los valores que anulan al denominador
Derivamos y damos a los valores que anulan al denominador
2 Se calculan las integrales de las fracciones simples:
3 Así, el resultado de la integral es
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Podrían brindarme información sobre el autor y la fecha de publicación del articulo? Estoy realizando una monografía en matemáticas y esta agina me ha servido mucho pero necesito esa información para referenciar correctamente la información.
¡Hola Yanela! 👋 Desde Superprof nos alegra que el artículo te haya sido útil. 😊 Para referenciarlo correctamente en tu monografía, puedes citarlo de la siguiente manera:
«Superprof. Ejercicios resueltos de integrales por sustitución. [En línea] Disponible en: [URL del artículo].»
Por motivos de privacidad, no podemos facilitar datos personales del autor ni fecha exacta de publicación. 📚✨
Veo un error en el ejercicio 9 a la hora de devolver la variable, recuerda que x^2+1 = u^2, no x^2+1 = u
Hola tienes razón, una disculpa y ya se corrigió.
Hay un error en el integral de seno de x multiplicado por coseno de x.
Haciendo sustitución queda u^2/2 lo que indica que es sen(x)^2/2.
Hola en tu razonamiento estas bien, pero hay una cuestión para resolver este ejercicio hay dos formas una como tu dices y otra usando identidades trigonométricas, puedes comprobar que sale el mismo resultado en la integral definida.
holaa, en el caso 4, en la última identidad están mal los signos, sería sen(a)sen(b)=1/2(cos(a-b)-cos(a+b))
Hola la manera en como presentas la fórmula esta bien, pero en la propiedad 4 que mencionas es lo mismo pero escrita de forma diferente, si multiplicas por el signo negativo queda igual a lo que tienes, si tienen alguna duda mencionalo.