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1 $\displaystyle \int \cfrac{5x + 3}{x^2 + 4} \, dx$

1 Separamos los términos del numerador, cada uno con el denominador común y aplicamos la propiedad de la integral para sumas

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{5x + 3}{x^2 + 4} \, dx & = & \displaystyle \int \left ( \cfrac{5x}{x^2 + 4} + \cfrac{3}{x^2 + 4} \right ) \, dx \end{array}$

2 Integramos cada una de las integrales obtenidas, para esto empleamos las fórmulas

$\displaystyle \int \cfrac{u' dx}{u} = \ln u + C, \ \ \ \ \ \ \displaystyle \int \cfrac{u' dx}{u^2 + a^2} = \cfrac{1}{a} arc \, tg \left (\cfrac{u}{a} \right ) + C$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{5x}{x^2 + 4} \, dx & = & \displaystyle \cfrac{5}{2} \int \cfrac{2x}{x^2 + 4} \, dx \\\\ & = & \cfrac{5}{2} \ln (x^2 + 4) + C, \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{3}{x^2 + 4} \, dx & = & \displaystyle 3 \int \cfrac{dx}{x^2 + 4} \\\\ & = & \cfrac{3}{2} arc \, tg \left (\cfrac{x}{2} \right ) + C \end{array}$

3 Así, el resultado de la integral es

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{5x + 3}{x^2 + 4} \, dx & = & \cfrac{5}{2} \ln (x^2 + 4) + \cfrac{3}{2} arc \, tg \left (\cfrac{x}{2} \right ) + C\end{array}$

2 $\displaystyle \int \cfrac{3x^3 + 5x}{x^2 - x - 2} \, dx$

1 Expresamos el cociente en la forma $\cfrac{p}{q} = c + \cfrac{r}{q}$ , donde $c$ es el cociente y $r$ es el resto

$\cfrac{3x^3 + 5x}{x^2 - x - 2} = 3x + 3 + \cfrac{14x + 6}{x^2 - x - 2}$

2 Escribimos la integral

$\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{3x^3 + 5x}{x^2 - x - 2} \, dx & = & \displaystyle \int \left ( 3x + 3 + \cfrac{14x + 6}{x^2 - x - 2} \right ) \, dx \\\\ & = & \displaystyle \int (3x + 3) \, dx + \displaystyle \int \cfrac{14x + 6}{x^2 - x - 2} \, dx \end{array}$

3 Resolvemos la primera integral

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int (3x + 3) \, dx & = & \cfrac{3x^2}{2} + 3x + C \end{array}$

4 Resolvemos la segunda integral por fracciones parciales

$\cfrac{14x + 6}{x^2 - x - 2} = \cfrac{A}{x - 2} + \cfrac{B}{x +1}$

Se efectúa la suma:

$\cfrac{14x + 6}{x^2 - x - 2} = \cfrac{A(x+1) + B(x - 2)}{(x - 2) (x + 1)}$

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

$14x + 6 = A(x+1) + B(x - 2)$

Para calcular los valores de ${A, B}$ , damos a ${x}$ los valores que anulan al denominador y otro más

$\begin{array}{rcccl}x=-1 & \Longrightarrow & -8 = -3B & \Longrightarrow & B = \cfrac{8}{3} \\\\ x = 2 & \Longrightarrow & 34 = 3A & \Longrightarrow & A = \cfrac{34}{3} \end{array}$

Se calculan las integrales de las fracciones simples:

$\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{14x + 6}{x^2 - x - 2} \, dx & = & \displaystyle \cfrac{34}{3} \int \cfrac{dx}{x - 2} + \cfrac{8}{3} \int \cfrac{dx}{x + 1} \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{34}{3} \ln (x - 2) + \frac{8}{3} \ln (x +1) + C \end{array}$

5 Así, el resultado de la integral es

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{3x^3 + 5x}{x^2 - x - 2} \, dx & = & \cfrac{3x^2}{2} + 3x + \cfrac{34}{3} \ln (x - 2) + \cfrac{8}{3} \ln (x +1) + C\end{array}$

3 $\displaystyle \int \cfrac{3x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1} \, dx$

1 Factorizamos el cociente

$x^3 - x^2 - x + 1 = (x + 1) (x - 1)^2$

2 Resolvemos por fracciones parciales

$\cfrac{3x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1} = \cfrac{A}{x + 1} + \cfrac{B}{x - 1} + \cfrac{C}{(x - 1)^2}$

Se efectúa la suma:

$\cfrac{3x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1} = \cfrac{A(x - 1)^2 + B(x + 1) (x - 1) + C(x + 1)}{(x + 1) (x - 1)^2}$

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

$3x + 5 = A(x - 1)^2 + B(x + 1) (x - 1) + C(x + 1)$

Para calcular los valores de ${A, B, C}$ , damos a ${x}$ los valores que anulan al denominador y otro más

$\begin{array}{rcccl}x=-1 & \Longrightarrow & 2 = 4A & \Longrightarrow & A = \cfrac{1}{2} \\\\ x = 1 & \Longrightarrow & 8 = 2C & \Longrightarrow & C = 4 \\\\ x = 0 & \Longrightarrow & \cfrac{1}{2} = -B & \Longrightarrow & B = -\cfrac{1}{2} \end{array}$

3 Se calculan las integrales de las fracciones simples:

$\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{3x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1} \, dx & = & \displaystyle \cfrac{1}{2} \int \cfrac{dx}{x + 1} - \cfrac{1}{2} \int \cfrac{dx}{x + 1} + 4 \int \cfrac{dx}{(x + 1)^2} \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{1}{2} \ln (x + 1) - \frac{1}{2} \ln (x -1) - \cfrac{4}{x + 1} + C \end{array}$

4 Así, el resultado de la integral es

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{3x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1} \, dx & = & \displaystyle \cfrac{1}{2} \ln (x + 1) - \frac{1}{2} \ln (x -1) - \cfrac{4}{x - 1} + C \end{array}$

4 $\displaystyle \int \cfrac{3x^2 + 1}{(x + 2)^3} \, dx$

1 Resolvemos por fracciones parciales

$\cfrac{3x^2 + 1}{(x + 2)^3} = \cfrac{A}{x + 2} + \cfrac{B}{(x + 2)^2} + \cfrac{C}{(x + 2)^3}$

Se efectúa la suma:

$\cfrac{3x^2 + 1}{(x + 2)^3} = \cfrac{A(x + 2)^2 + B(x + 2) + C}{(x + 2)^3}$

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

$3x^2 + 1 = A(x + 2)^2 + B(x + 2) + C$

Para calcular los valores de ${A, B, C}$ , damos a ${x}$ los valores que anulan al denominador y otro más

$\begin{array}{rcc}x=-2 & \Longrightarrow & 13 = C \end{array}$

Derivamos y volvemos a sustituir ${x = -2}$

$\begin{array}{rcc}6x = 2A(x + 2) + B & \Longrightarrow & -12 = B \end{array}$

Volvemos a derivar

$\begin{array}{rcc}6 = 2A & \Longrightarrow & 3 = A \end{array}$

2 Se calculan las integrales de las fracciones simples:

$\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{3x^2 + 1}{(x + 2)^3} \, dx & = & \displaystyle 3 \int \cfrac{dx}{x + 2} - 12 \int \cfrac{dx}{(x + 2)^2} + 13 \int \cfrac{dx}{(x + 2)^3} \\\\ & = & \displaystyle 3 \ln (x + 2) + \frac{12}{(x + 2)} - \cfrac{13}{2(x + 2)^2} + C \end{array}$

3 Así, el resultado de la integral es

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{3x^2 + 1}{(x + 2)^3} \, dx & = & \displaystyle 3 \ln (x + 2) + \frac{12}{(x + 2)} - \cfrac{13}{2(x + 2)^2} + C\end{array}$

5 $\displaystyle \int \cfrac{2x^2 - 3x + 2}{x^3 + x} \, dx$

1 Factorizamos el cociente

$x^3 + x = x (x^2 + 1)$

2 Resolvemos por fracciones parciales

$\cfrac{2x^2 - 3x + 2}{x^3 + x} = \cfrac{A}{x} + \cfrac{Bx + C}{x^2 + 1}$

Se efectúa la suma:

$\cfrac{2x^2 - 3x + 2}{x^3 + x} = \cfrac{A(x ^2 + 1) + Bx^2 + Cx}{x(x ^2 + 1)}$

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

$2x^2 - 3x + 2 = A(x^2 + 1) + Bx^2 + Cx$

Para calcular los valores de ${A, B, C}$ , damos a ${x}$ los valores que anulan al denominador

$\begin{array}{rcc}x=0 & \Longrightarrow & 2 = A \\\\ \end{array}$

Derivamos y volvemos a sustituir ${x = 0}$

$\begin{array}{rcc}4x - 3 = 4x + 2Bx + C & \Longrightarrow & -3 = C \end{array}$

Volvemos a derivar

$\begin{array}{rcc}4 = 4 + 2B & \Longrightarrow & 0 = B \end{array}$

3 Se calculan las integrales de las fracciones simples:

$\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{2x^2 - 3x + 2}{x^3 + x} \, dx & = & \displaystyle 2 \int \cfrac{dx}{x} - 3 \int \cfrac{dx}{x^2 + 1} \\\\ & = & \displaystyle 2 \ln x - 3 arc \, tg x + C \end{array}$

4 Así, el resultado de la integral es

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{2x^2 - 3x + 2}{x^3 + x} \, dx & = & \displaystyle 2 \ln x - 3 arc \, tg \, x + C \end{array}$

6 $\displaystyle \int \cfrac{x^3 + 2x^2 - 2x - 5}{x^2 + 2x - 3} \, dx$

1 Expresamos el cociente en la forma $\cfrac{p}{q} = c + \cfrac{r}{q}$ , donde $c$ es el cociente y $r$ es el resto

$\cfrac{x^3 + 2x^2 - 2x - 5}{x^2 + 2x - 3} = x + \cfrac{x - 5}{x^2 + 2x - 3}$

2 Escribimos la integral

$\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{x^3 + 2x^2 - 2x - 5}{x^2 + 2x - 3} \, dx & = & \displaystyle \int \left ( x + \cfrac{x - 5}{x^2 + 2x - 3} \right ) \, dx \\\\ & = & \displaystyle \int x \, dx + \displaystyle \int \cfrac{x - 5}{x^2 + 2x - 3} \, dx \end{array}$

3 Resolvemos la primera integral

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int x \, dx & = & \cfrac{x^2}{2} + C \end{array}$

Factorizamos el cociente

$x^2 + 2x - 3 = (x + 3) (x - 1)$

Resolvemos por fracciones parciales

$\cfrac{x - 5}{x^2 + 2x - 3} = \cfrac{A}{x - 1} + \cfrac{B}{x + 3}$

Se efectúa la suma:

$\cfrac{x - 5}{x^2 + 2x - 3} = \cfrac{A(x + 3) + B(x - 1)}{(x - 1) (x + 3)}$

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

$x - 5 = A(x + 3) + B(x - 1)$

Para calcular los valores de ${A, B}$ , damos a ${x}$ los valores que anulan al denominador

$\begin{array}{rcccc}x = 1 & \Longrightarrow & -4 = 4A & \Longrightarrow & A = -1 \\\\ x = -3 & \Longrightarrow & -8 = -4B & \Longrightarrow & B = 2 \end{array}$

4 Se calculan las integrales de las fracciones simples:

$\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{x - 5}{x^2 + 2x - 3} \, dx & = & \displaystyle - \int \cfrac{dx}{x - 1} + 2 \int \cfrac{dx}{x + 3} \\\\ & = & \displaystyle - \ln (x - 1) + 2 \ln (x + 3) + C \end{array}$

5 Así, el resultado de la integral es

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{x^3 + 2x^2 - 2x - 5}{x^2 + 2x - 3} \, dx & = & \displaystyle \cfrac{x^2}{2} - \ln (x - 1) + 2 \ln (x + 3) + C \end{array}$

7 $\displaystyle \int \cfrac{6x^2 - 3x + 2}{x^3 - x^2} \, dx$

1 Factorizamos el cociente

$x^3 - x^2 = x^2 (x - 1)$

2 Resolvemos por fracciones parciales

$\cfrac{6x^2 - 3x + 2}{x^3 - x^2} = \cfrac{A}{x} + \cfrac{B}{x^2} + \cfrac{C}{x - 1}$

Se efectúa la suma:

$\cfrac{6x^2 - 3x + 2}{x^3 - x^2} = \cfrac{Ax(x - 1) + B(x - 1) + Cx^2}{x^2(x - 1)}$

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

$6x^2 - 3x + 2 = Ax(x - 1) + B(x - 1) + Cx^2$

Para calcular los valores de ${A, B, C}$ , damos a ${x}$ los valores que anulan al denominador y otro más

$\begin{array}{rcc}x=0 & \Longrightarrow & -2 = B \\\\ \end{array}$

Derivamos y volvemos a sustituir ${x = 0}$

$\begin{array}{rcc}12x - 3 = A(2x - 1) - 2 + 2Cx & \Longrightarrow & 1 = A \end{array}$

Volvemos a derivar

$\begin{array}{rcc}12 = 2 + 2C & \Longrightarrow & 5 = C \end{array}$

3 Se calculan las integrales de las fracciones simples:

$\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{6x^2 - 3x + 2}{x^3 - x^2} \, dx & = & \displaystyle \int \cfrac{dx}{x} - 2 \int \cfrac{dx}{x^2} + 5 \int \cfrac{dx}{x - 1} \\\\ & = & \displaystyle \ln x + \cfrac{2}{x} + 5 \ln (x - 1) + C \end{array}$

4 Así, el resultado de la integral es

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{6x^2 - 3x + 2}{x^3 - x^2} \, dx & = & \displaystyle \ln x + \cfrac{2}{x} + 5 \ln (x - 1) + C \end{array}$

8 $\displaystyle \int \cfrac{x^2 - 6x + 7}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)} \, dx$

1 Resolvemos por fracciones parciales

$\cfrac{x^2 - 6x + 7}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)} = \cfrac{A}{x + 1} + \cfrac{B}{x - 2} + \cfrac{C}{x - 3}$

Se efectúa la suma:

$\cfrac{x^2 - 6x + 7}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)} = \cfrac{A(x - 2) (x - 3) + B(x + 1)(x - 3) + C(x + 1) (x - 2)}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)}$

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

$x^2 - 6x + 7 = A(x - 2) (x - 3) + B(x + 1)(x - 3) + C(x + 1) (x - 2)$

Para calcular los valores de ${A, B, C}$ , damos a ${x}$ los valores que anulan al denominador

$\begin{array}{rcccc}x=-1 & \Longrightarrow & 14 = 12A & \Longrightarrow & A = \cfrac{7}{6} \\\\ x = 2 & \Longrightarrow & -1 = -3B & \Longrightarrow & B = \cfrac{1}{3} \\\\ x = 3& \Longrightarrow & -2 = 4C & \Longrightarrow & C = -\cfrac{1}{2}\end{array}$

2 Se calculan las integrales de las fracciones simples:

$\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{x^2 - 6x + 7}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)} \, dx & = & \displaystyle \cfrac{7}{6} \int \cfrac{dx}{x + 1} + \cfrac{1}{3} \int \cfrac{dx}{x - 2} - \cfrac{1}{2} \int \cfrac{dx}{x - 3} \\\\ & = & \displaystyle \cfrac{7}{6}\ln (x + 1) + \cfrac{1}{3} \ln (x - 2) - \cfrac{1}{2} \ln (x - 3) + C \end{array}$

3 Así, el resultado de la integral es

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{x^2 - 6x + 7}{(x + 1) (x - 2) (x - 3)} \, dx & = & \displaystyle \cfrac{7}{6}\ln (x + 1) + \cfrac{1}{3} \ln (x - 2) - \cfrac{1}{2} \ln (x - 3) + C \end{array}$

9 $\displaystyle \int \cfrac{5x^2 + 6x + 9}{(x - 3)^2 (x + 1)^2} \, dx$

1 Resolvemos por fracciones parciales

$\cfrac{5x^2 + 6x + 9}{(x - 3)^2 (x + 1)^2} = \cfrac{A}{x - 3} + \cfrac{B}{(x - 3)^2} + \cfrac{C}{x + 1} + \cfrac{D}{(x + 1)^2}$

Se efectúa la suma:

$\cfrac{5x^2 + 6x + 9}{(x - 3)^2 (x + 1)^2} = \cfrac{A(x - 3) (x + 1)^2 + B(x + 1)^2 + C(x + 1) (x - 3)^2 + D(x - 3)^2}{(x - 3)^2 (x + 1)^2}$

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

$5x^2 + 6x + 9 = A(x - 3) (x + 1)^2 + B(x + 1)^2 + C(x + 1) (x - 3)^2 + D(x - 3)^2$

Para calcular los valores de ${A, B, C, D}$ , damos a ${x}$ los valores que anulan al denominador

$\begin{array}{rcccc}x=-1 & \Longrightarrow & 8 = 16D & \Longrightarrow & D = \cfrac{1}{2} \\\\ x = 3 & \Longrightarrow & 72 = 16B & \Longrightarrow & B = \cfrac{9}{2} \end{array}$

Derivamos y damos a ${x}$ los valores que anulan al denominador

$10x + 6 = A(x + 1)^2 + 2A(x - 3)(x + 1) + 9(x + 1) + C(x - 3)^2 + 2C(x + 1)(x - 3) + (x - 3)$

$\begin{array}{rcccc}x=-1 & \Longrightarrow & -4 = 16C - 4 & \Longrightarrow & C = 0 \\\\ x = 3 & \Longrightarrow & 36 = 16A + 36 & \Longrightarrow & A = 0 \end{array}$

2 Se calculan las integrales de las fracciones simples:

$\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cfrac{5x^2 + 6x + 9}{(x - 3)^2 (x + 1)^2} \, dx & = & \displaystyle \cfrac{9}{2} \int \cfrac{dx}{(x - 3)^2} + \cfrac{1}{2} \int \cfrac{dx}{(x + 1)^2} \\\\ & = & \displaystyle -\cfrac{9}{2(x - 3)} - \cfrac{1}{2(x + 1)} + C \end{array}$

3 Así, el resultado de la integral es

$\begin{array}{rcl} \displaystyle \int \cfrac{5x^2 + 6x + 9}{(x - 3)^2 (x + 1)^2} \, dx & = & \displaystyle -\cfrac{9}{2(x - 3)} - \cfrac{1}{2(x + 1)} + C\end{array}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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lydia

Marzo 2022

en el ejercicio3, la ultima integral tiene en el denominador de la solución cambiado. es una errata verdad?

Antonio Tapia

Marzo 2022

Una disculpa ya se corrigió.

Toni

Diciembre 2021

El primero está mal. La segunda integral es 6arctgte x/2+c

Antonio Tapia

Enero 2022

No, esta bien si integramos $\int \frac{dx}{x^{2}+4}=\frac{1}{2}arctg(\frac{x}{2})+c$ y lo multiplicas por 3 dando el resultado indicado en el articulo.

Eugenio

Febrero 2022

no entiendo el 1/2, lo correcto serí poner 1/4 ya que queremos que se vaya el +4

Antonio Tapia

Marzo 2022

Es 1/2 por que a^2=4 eso implica que a=2 y por lo tanto la formula me dice (1/a)arctg(x/a) y sustituyendo queda (1/2)arctg(x/2).

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