Coordenadas del punto medio de un segmento

 

punto medio de un segmento AB
 
Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de los extremos.
 
{\begin{matrix} x_M = \dfrac{x_1 + x_2}{2} & y_M = \dfrac{y_1 + y_2}{2} \end{matrix}}

 
Ejemplo:
 
Hallar las coordenadas del punto medio del segmento {AB}.
 
{\begin{matrix} A(3,9) & B(-1,5) \end{matrix}}
 
{\begin{matrix} x_M = \dfrac{3-1}{2} = \dfrac{2}{2} = 1 & y_M = \dfrac{9+5}{2} = \dfrac{14}{2} = 7 \end{matrix}}
 
{P_M(1,7)}
 

 
 

razón de un segmento
 

Los puntos {A(x_1 , y_1), B(x_2,y_2)} y {C(x_3,y_3)} están alineados siempre que los vectores {\overrightarrow{AB}} y {\overrightarrow{BC}} tengan la misma dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales.
 
{\dfrac{x_2 - x_1}{x_3 - x_2} = \dfrac{y_2 - y_1}{y_3 - y_2}}

 
Ejemplo:
 
Calcular el valor de {a} para que los puntos estén alineados.
 
{\begin{matrix} A(2,1) & B(4,2) & C(6,a) \end{matrix}}
 
{\dfrac{4-2}{6-4} = \dfrac{2-1}{a-2}}
 
{(4-2)(a-2) = (2-1)(6-4)}
 
{2(a-2) = 2}
 
{a-2 = 1 \Rightarrow a = 3}

 

Simétrico de un punto respecto de otro

 
punto medio de un segmento AA'
 

Si {A'} es el simétrico de {A} respecto de {M}, entonces {M} es el punto medio del segmento {AA'}. Por lo que se verificará igualdad:
 
{\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MA'}}

 
Ejemplo:
 
Hallar el simétrico del punto {A(7, 4)} respecto de {M(3, - 11)}.

Punto medio de un segmento AA'
 

Se tiene que cumplir la siguiente igualdad
 
{\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MA'}}
 
es decir,
 
{(-4,-15) = (x-3, y+11)}
 
Igualando las respectivas coordenadas
 
{\begin{matrix} x-3 = -4 & x = -1\\ y+11 = -15 & y = -26 \end{matrix}}
 
Tenemos que el simétrico de {A} es
 
{A'=(-1,-26)}
 

 

Coordenadas del baricentro

 

 
Baricentro de un triángulo

 

 
Baricentro o centro de gravedad de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas.

 

Las coordenadas del baricentro son:

 

{G\left(\dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)}

 

Ejemplo:

 

Dados los vértices de un triángulo {A(-3, -2), B(7, 1)} y {C(2, 7)}, hallar las coordenadas del baricentro.

 

 
{\begin{matrix} x_G = \dfrac{-3 + 7 + 2}{3} = \dfrac{6}{3} = 2 & \\ & G(2,2)\\ y_G = \dfrac{-2+1+7}{3} = \dfrac{6}{3} = 2 & \end{matrix}}
 

 

División de un segmento en una relación dada

 

{\dfrac{PA}{PB} = r}
 

Dividir un segmento {AB} en una relación dada {r} es determinar un punto {P} de la recta que contiene al segmento {AB}, de modo que las dos partes, {PA} y {PB}, están en la relación {r}:


 

Ejemplo:

 

¿Qué puntos {P} y {Q} dividen al segmento de extremos {A(-1, -3)} y {B(5, 6)} en tres partes iguales?

División de un segmento en 3 partes
 

Buscamos resolver la siguiente igualdad{\overrightarrow{AP} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}}
 
es decir,
 
{(x_P + 1 , y_P+3)=\dfrac{1}{3}(6,9)}
 
Igualando las respectivas coordenadas
 
{\begin{matrix} x_P + 1 = 2 & x_P = 1 &\\ & & P(1,0)\\ y_P + 3 = 3 & y_P = 0 & \end{matrix}}
 
Tenemos también que
 
{\overrightarrow{AQ} = 2\overrightarrow{AP}}
 
es decir,
 
{(x_Q + 1, y_Q + 3) = 2(2,3)}
 
Igualando cada una de las coordenadas
 
{\begin{matrix} x_Q + 1 = 4 & x_Q = 3 & \\ & & Q(3,3)\\ y_Q + 3 = 6 & y_Q = 3 & \end{matrix}}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗