Resuelve los siguientes problemas

1Calcular el homotético del siguiente triángulo de centro el origen y razón 2, cuyos vértices son A (2, 3), B (2, 1), C (5, 1).

A' = \Big ( \Big ),

 B' = \Big ( \Big ),

C' = \Big ( \Big )

Como la razón de homotecia vale 2, basta multiplicar en cada vértice sus coordenadas por 2.

 

A' = (2 \cdot 2, 2 \cdot 3) = (4, 6).

 

B' = (2 \cdot 2, 2 \cdot 1) = (4, 2).

 

C' = (2 \cdot 5, 2 \cdot 1) = (10, 2).

 

homotecias 1

 

2Para el rectángulo con vértices A (2, 3), B (2, 1), C (6, 3), D(6, 1) encuentre el homotético de centro el origen y razón 3.

A' = \Big ( , \Big ),

 B' = \Big ( , \Big ),

C' = \Big (, \Big ),

 D' = \Big ( , \Big ),

Como la razón de homotecia vale 3, basta multiplicar en cada vértice sus coordenadas por 3.

 

A' = (3 \cdot 2, 3 \cdot 3) = (6, 9).

 

B' = (3 \cdot 2, 3 \cdot 1) = (6, 3).

 

C' = (3 \cdot 6, 3 \cdot 3) = (18, 9).

 

D' = (3 \cdot 6, 3 \cdot 1) = (18, 3).

 

homotecia 2

 

3Para la estrella con vértices A (3, 12), B (9, 9), C (12, 3), D(15, 9), E(21, 12), F(15, 15), G(12, 21), H(9, 15) encuentre el área del homotético de centro el origen y razón 3.

A' = \Big ( , \Big ),

 B' = \Big ( , \Big ),

C' = \Big (, \Big ),

 D' = \Big ( , \Big ),

E' = \Big ( , \Big ),

 F' = \Big ( , \Big ),

G' = \Big (, \Big ),

 H' = \Big ( , \Big ),

Como la razón de homotecia vale 3, basta multiplicar en cada vértice sus coordenadas por 3

 

A' = (3 \cdot 2, 3 \cdot 3) = (3, 12).

 

B' = (3 \cdot 2, 3 \cdot 1) = (9, 9).

 

C' = (3 \cdot 6, 3 \cdot 3) = (12, 3).

 

D' = (3 \cdot 6, 3 \cdot 1) = (15, 9).

 

E' = (3 \cdot 2, 3 \cdot 3) = (21, 12).

 

F' = (3 \cdot 2, 3 \cdot 1) = (15, 15).

 

G' = (3 \cdot 6, 3 \cdot 3) = (12, 21).

 

H' = (3 \cdot 6, 3 \cdot 1) = (9, 15).

 

homotecia 6

 

4Para el triángulo con vértices A (2, 3), B (2, 1), C (6, 3) encuentre el perímetro del homotético de centro el origen y razón -\cfrac{1}{2}.

P =

Como la razón de homotecia vale -\cfrac{1}{2}, basta multiplicar en cada vértice sus coordenadas por -\cfrac{1}{2}.

 

A' = \left(-\cfrac{1}{2} \cdot 2, -\cfrac{1}{2} \cdot 3 \right) = \left (-1, -\cfrac{3}{2}\right).

 

B' = \left (-\cfrac{1}{2} \cdot 2, -\cfrac{1}{2} \cdot 1 \right) = \left(-1, -\cfrac{1}{2} \right).

 

C' = \left(-\cfrac{1}{2} \cdot 6, -\cfrac{1}{2} \cdot 3 \right) = \left (-3, -\cfrac{3}{2} \right).

 

Calculamos los lados del triángulo homotético

 

\overline{A'B'} = 1, \ \ \overline{A'C'} = 2, \ \ \overline{B'C'} = \sqrt{5}.

 

El perímetro es

 

P = 1 + 2 + \sqrt{5} = 3 + \sqrt{5} = 5.24.

 

Observe que el perímetro del homotético es igual al perímetro de la figura original multiplicado por el valor absoluto de la razón dada

 

P = \cfrac{1}{2} \left ( \overline{AB} + \overline{AC} + \overline{BC} \right ) = \cfrac{1}{2} (2 + 4 + 2\sqrt{5}) = 3 + \sqrt{5} = 5.24.

 

homotecia 3

 

5El perímetro de un polígono es de 12 \, cm. Encuentre el perímetro P del homotético de centro O y razón 3.

P =cm

Como el perímetro del homotético es igual al perímetro de la figura original multiplicado por el valor absoluto de la razón dada

 

P = 3 \cdot 12 = 36 \, cm.

 

6Para el trapecio con vértices A (2, 1), B (6, 1), C (5, 3), D(3, 3) encuentre el área del homotético de centro el origen y razón 2.

A =

El área del homotético es igual al área de la figura original multiplicado por el cuadrado de la razón dada. El área del trapecio original es

 

 A = \cfrac{1}{2} \left ( 4 + 2 \right ) \cdot 2 = 6.

 

El área del homotético es

 

 A = 2^2 \left ( 6 \right ) = 24.

 

homotecia 5

 

7Para la estrella con vértices A (3, 12), B (9, 9), C (12, 3), D(15, 9), E(21, 12), F(15, 15), G(12, 21), H(9, 15) encuentre el área del homotético de centro el origen y razón \cfrac{1}{3}.

A =

El área del homotético es igual al área de la figura original multiplicado por el cuadrado de la razón dada. El área de la estrella original está formada por un cuadrado de lado 6 y cuatro triángulos isósceles en con base en cada uno de los lados del cuadrado y altura 6

 

 A = 6^2 + 4 \left ( \cfrac{6 \cdot 6}{2} \right ) = 108.

 

El área del homotético es

 

 A = \left (\cfrac{1}{3} \right )^2 \left ( 108 \right ) = 12.

 

homotecia 6

 

8Para el cuadrado con vértices A (1, 1), B (4, 1), C (4, 4), D (1, 4) tiene por homotético al cuadrado con vértices A' (9, 3), B' (6, 3), C' (6, 0), D' (9, 0). Encuentre la razón y el centro de homotecia.

k = ,

O = \Big ( , \Big ),

Como las figuras son homotéticas la razón del perímetro del homotético y el perímetro de la figura original es igual, en valor absoluto, a la razón de homotecia[/latex]

 

El perímetro del cuadrado con vértices A, B, C, D es 9.

 

El perímetro del cuadrado con vértices A', B', C', D' es 9.

 

Luego la razón de homotecia (en valor absoluto) es 1.

 

Para determinar el signo de la razón de homotecia tomamos dos lados paralelos entre ambas figuras y si se preserva la orientación el signo es positivo, de lo contrario el signo es negativo. Los vectores con extremos A, B y A', B' satisfacen

 

\overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{A'B'}

 

Así  k = -1.

 

El centro de homotecia coincide con el punto medio de los vértices y sus imágenes. Para A y A' se tiene

 

O = P_M = (5, 2).

 

homotecia 7

 

9Para el triángulo con vértices A (2, 4), B (5, 1), C (6, 3) tiene por homotético al triángulo con vértices A' (3, 7), B' (9, 1), C' (11, 5). Encuentre la razón y el centro de homotecia.

k = ,

O = \Big ( , \Big ),

Como las figuras son homotéticas la razón de los lados paralelos es igual, en valor absoluto, a la razón de homotecia[/latex]

 

El lado \overline{AB} es 3 \sqrt{2}.

 

El lado \overline{A'B'} es 6 \sqrt{6}.

 

Luego la razón de homotecia (en valor absoluto) es

 

|k| = \cfrac{3 \sqrt{2}}{6 \sqrt{2}} = 2.

 

Para determinar el signo de la razón de homotecia tomamos dos lados paralelos entre ambas figuras y si se preserva la orientación el signo es positivo, de lo contrario el signo es negativo. Los vectores con extremos A, B y A', B' satisfacen

 

\overrightarrow{AB} = 2 \overrightarrow{A'B'}

 

Así  k = 2.

 

El centro de homotecia junto con A' son los extremos del segmento cuyo punto medio es A, luego

 

O = (2 \cdot 2 - 3, 2 \cdot 4 - 7) = (1, 1).

 

homotecia 9

 

10Dada la circunferencia de centro C (6, 4) y radio 2.83 \, cm, calcular su homotética sabiendo que el centro de homotecia es el origen y la razón −1.

C' = \Big ( \Big ),

 \ \ r' =

Si dos circunferencias son concéntricas, ¿su centro de homotecia es el mismo?

¿Y si son exteriores?

La razón es -1, por tanto basta multiplicar por -1 las coordenadas del centro de la circunferencia para obterner las coordenadas de la circunferencia homotética. El radio de la nueva circunferencia no varía, es decir, mide 2.83 \, cm. Obsérvese que un punto arbitrario P de la circunferencia se transforma en su opuesto P' como se ve en la figura.

 

C' = ( -1 \cdot 6, -1 \cdot 4) = (-6 , -4)

 

homotecias 2

 

Cuando las circunferencias son concéntricas su centro de homotecia sí es el mismo, mientras que cuando son exteriores no es el mismo, el centro de homotecia es el punto donde se cortan las tangentes exteriores.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗