Marta

22 abril 2020

Temas

 

Definición

 

El producto vectorial \textbf{u}\times \textbf{v} de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de \textbf{u} a \textbf{v}. Su módulo es igual a:

 

|\textbf{u}\times \textbf{v}|=|\textbf{u}|\cdot |\textbf{v}| \text{ sen }\alpha

 

El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:

 

\textbf{u}\times \textbf{v}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} u_2 & u_3\\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} u_1 & u_3\\ v_1 & v_3 \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} u_1 & u_2\\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}\textbf{k}

 

producto vectorial representación gráfica
 

Ejemplos

 

1 Calcular el producto vectorial de los vectores \textbf{u} = (1, 2, 3) y \textbf{v} = (-1, 1, 2).

 

\textbf{u}\times \textbf{v}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} u_2 & u_3\\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} u_1 & u_3\\ v_1 & v_3 \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} u_1 & u_2\\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}\textbf{k}

 

1 Sustituir en la fórmula

 

\textbf{u}\times \textbf{v}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ 1 & 2 & 3\\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 1 & 2 \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} 1 & 3\\ -1 & 2 \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} 1 & 2\\ -1 & 1 \end{vmatrix}\textbf{k}

 

2 Calcular los determinantes de 2\times 2

 

\textbf{u}\times \textbf{v}=\textbf{i}-5\textbf{j}+3\textbf{k}

 

2 Dados los vectores \textbf{u} = 3\textbf{i}-\textbf{j}+\textbf{k} y \textbf{v} = \textbf{i}+\textbf{j}+\textbf{k}, hallar el producto vectorial de dichos vectores. Comprobar que el vector hallado es ortogonal a \textbf{u} y \textbf{v}.

 

\textbf{u}\times \textbf{v}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} u_2 & u_3\\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} u_1 & u_3\\ v_1 & v_3 \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} u_1 & u_2\\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}\textbf{k}

 

1 Sustituir en la fórmula

 

\textbf{u}\times \textbf{v}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ 3 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -1 & 1\\ 1 & 1 \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 1 & 1 \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 1 & 1 \end{vmatrix}\textbf{k}

 

2 Calcular los determinantes de 2\times 2

 

\textbf{u}\times \textbf{v}=-2\textbf{i}-2\textbf{j}+4\textbf{k}

 

3 Verificar perpendicularidad por medio del producto punto

 

Calculamos el producto punto del vector resultante con \textbf{u} y con \textbf{v} , respectivamente

(\textbf{u}\times \textbf{v})\perp \textbf{u} \hspace{2cm} (-2,-2,4)\cdot (3,-1,1)=-6+2+4=0

(\textbf{u}\times \textbf{v})\perp \textbf{v} \hspace{2cm} (-2,-2,4)\cdot (1,1,1)=-2-2+4=0

Como da cero, el producto vectorial \textbf{u} \times \textbf{v} es ortogonal a los vectores \textbf{u} y \textbf{v} .

 

 

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Área del paralelogramo

 

Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

 

A=|\textbf{u}|\cdot h=|\textbf{u}|\cdot|\textbf{v}|\text{ sen }\alpha=|\textbf{u}\times \textbf{v}|

 

area de un paralelogramo representación gráfica
 

Ejemplo

 

1 Dados los vectores \textbf{u} =(3,1,-1) y \textbf{v}=(2,3,4) , hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores \textbf{u} y \textbf{v} ·

 

\textbf{u}\times \textbf{v}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} u_2 & u_3\\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} u_1 & u_3\\ v_1 & v_3 \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} u_1 & u_2\\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}\textbf{k}

 

1 Sustituir en la fórmula

 

\textbf{u}\times \textbf{v}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ 3 & 1 & -1\\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 3 & 4 \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 2 & 4 \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 2 & 3 \end{vmatrix}\textbf{k}

 

2 Calcular los determinantes de 2\times 2

 

\textbf{u}\times \textbf{v}=7\textbf{i}-14\textbf{j}+7\textbf{k}

 

3 Obtener el área del paralelogramo

 

A=|\textbf{u}\times \textbf{v}|=\sqrt{7^2+14^2+7^2}=\sqrt{294}\ u^2

 

 

Área de un triángulo

 

La diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos iguales, por tanto el área del triángulo será la mitad del área del paralelogramo.

 

Ejemplo

 

1 Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos

A(1, 1, 3)

B(2, -1, 5)

C(-3, 3, 1)

 

1 Encontrar los vectores que forman sus lados

 

Los lados están formados por los vectores:

\overline{AB}=(2-1,-1-1,5-3)=(1,-2,2)

\overline{AC}=(-3-1,3-1,1-3)=(-4,2,-2)

 

2 Sustituir en la fórmula para obtener el producto vectorial

 

w= \overline{AB}\times \overline{AC}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ 1 & -2 & 2\\ -4 & 2 & -2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -2 & 2\\ 2 & -2 \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} 1 & 2\\ -4 & -2 \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} 1 & -2\\ -4 & 2 \end{vmatrix}\textbf{k}

 

3 Calcular los determinantes de 2\times 2

 

w=0\textbf{i}-6\textbf{j}-6\textbf{k}

Expresamos con coordenadas

w=(0,-6,-6)

 

4 Obtenemos el área

 

Calculamos el módulo del vector resultante del producto vectorial

|w|=\sqrt{0^2+(-6)^2+(-6)^2}=6\sqrt{2}

Dividimos entre dos

\displaystyle A=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{2}=3\sqrt{2} \ u^2

 

 

Propiedades del producto vectorial

 

1 Anticonmutativa

u\times v=-v\times u

2 Homogénea

\lambda(u\times v)=(\lambda u) \times v = u\times (\lambda v)

3 Distributiva

u\times (v+ w)=u\times v+u\times w

4 El producto vectorial de dos vectores paralelos en igual al vector nulo.

u\parallel v \hspace{2cm} u\times v=0

5 El producto vectorial  u\times v es perpendicular a u y a v.

(u\times v)\perp u \hspace{2cm}(u\times v) \cdot u=0

(u\times v)\perp v \hspace{2cm} (u\times v)\cdot v=0

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗