Definición
El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de
a
. Su módulo es igual a:
El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:
Ejemplos
1 Calcular el producto vectorial de los vectores y
.
1 Sustituir en la fórmula
2 Calcular los determinantes de
2 Dados los vectores y
, hallar el producto vectorial de dichos vectores. Comprobar que el vector hallado es ortogonal a
y
.
1 Sustituir en la fórmula
2 Calcular los determinantes de
3 Verificar perpendicularidad por medio del producto punto
Calculamos el producto punto del vector resultante con y con
, respectivamente
Como da cero, el producto vectorial es ortogonal a los vectores
y
.
Área del paralelogramo
Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.
Ejemplo
1 Dados los vectores y
, hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores
y
·
1 Sustituir en la fórmula
2 Calcular los determinantes de
3 Obtener el área del paralelogramo
Área de un triángulo
La diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos iguales, por tanto el área del triángulo será la mitad del área del paralelogramo.
Ejemplo
1 Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos
1 Encontrar los vectores que forman sus lados
Los lados están formados por los vectores:
2 Sustituir en la fórmula para obtener el producto vectorial
3 Calcular los determinantes de
Expresamos con coordenadas
4 Obtenemos el área
Calculamos el módulo del vector resultante del producto vectorial
Dividimos entre dos
Propiedades del producto vectorial
1 Anticonmutativa
2 Homogénea
3 Distributiva
4 El producto vectorial de dos vectores paralelos en igual al vector nulo.
5 El producto vectorial es perpendicular a
y a
.
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Aplicando las propiedades del producto vectorial, hallar los productos vectoriales siguientes en forma directa:
(2j ̂ )x(3k ̂)
(3i ̂ )x(-2k ̂)
(2j ̂xi ̂ )-3k ̂
tengo una duda es posible hacer un vector cruz si se contienen cuatros elementos ejemplo: v1 =(1,2,3,4)
Excelente. Directo al punto. Soy seguidor de esta pagina.
Soy una señora de 65 años y estoy aprendiendo càlculo vectorial, y me han ayudado mucho, gracias 🙂
❤️
Es lo mismo que un producto cruz?
Dados los vectores 𝐴=(3,−2),𝐵⃗=(−1,2)𝑦𝐶=(0,−5).Calcula 𝑚𝑦𝑛de modo que: 𝐶=𝑚𝐴+𝑛𝐵⃗.
Hola, me podrían ayudar
EJERCICIOS
Sean u=(-1,2,-2) v=(4,-3,5) w=(-4,-2,0),d=(-1,-2,-1,√3). Calcular las expresiones siguientes
‖u+v‖
‖u‖+‖u‖
‖u‖-‖u‖
‖u-v‖
‖v‖v+‖w‖
u∙v
w∙u
u∙(v+w)
(d∙d)d
(1/‖d‖ )d
u∙v+u∙w
w∙w
u×v
(u×v)×w
u+(v×w)
u×(v×w)
Cuáles pares de vectores son ortogonales
(1,-1)(1,1)
(1,-1,-1)(0,1,-1)
(4,-2,-1)(-2,3,4)
Resolver
Determine un vector unitario que sea ortogonal a (-2,3,1)
Encuentre los valores de x, tales que los vectores dados sean ortogonales.
Calcule la proyección ortogonal de u sobre v
u=(2,3),v=(-2,1)
u=(0,-1,6),v=(-1,-3,5)
u=(-2,-1,0),v=(0,0,-1)
Determine el ángulo entre los vectores
u=(1,1),v=(1,-1)
u=(√3,1,-2),v=(1,√3,-2)
u=(2,-2,1),v=(-1,1,1)
Encontrar los ángulos directores del vector (-2,3,1)
Sea u×v=(2,1,-5). Determine
v×u
-2(v×u)
u×10v
‖u×v‖
Calcule el volumen del paralelepípedo cuyos lados adyacentes son los vectores de posición (1,-2,3), (2,0,-5) y (0,4,-1)
Cuál es el área del paralelogramo cuyos lados adyacentes son (PQ) ⃗ y (PR) ⃗ donde P=(1,1,1), Q=(1,-1,-1) y R=(0,1,-1)
Aplique el producto cruz para demostrar que (1,2,-1) y (-2,4,2) son paralelos.
me ayudas 1. determina el valor del productos vectorial de los vectores dados con el metodo de Gauss johordan.
vectores
u=2i-4j+6k
v=4i+5j-1k