Definición

 

El producto vectorial \textbf{u}\times \textbf{v} de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de \textbf{u} a \textbf{v}. Su módulo es igual a:

 

|\textbf{u}\times \textbf{v}|=|\textbf{u}|\cdot |\textbf{v}| \text{ sen }\alpha

 

El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:

 

\textbf{u}\times \textbf{v}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} u_2 & u_3\\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} u_1 & u_3\\ v_1 & v_3 \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} u_1 & u_2\\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}\textbf{k}

 

producto vectorial representación gráfica
 

Ejemplos

 

1 Calcular el producto vectorial de los vectores \textbf{u} = (1, 2, 3) y \textbf{v} = (-1, 1, 2).

 

\textbf{u}\times \textbf{v}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} u_2 & u_3\\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} u_1 & u_3\\ v_1 & v_3 \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} u_1 & u_2\\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}\textbf{k}

 

1 Sustituir en la fórmula

 

\textbf{u}\times \textbf{v}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ 1 & 2 & 3\\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 1 & 2 \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} 1 & 3\\ -1 & 2 \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} 1 & 2\\ -1 & 1 \end{vmatrix}\textbf{k}

 

2 Calcular los determinantes de 2\times 2

 

\textbf{u}\times \textbf{v}=\textbf{i}-5\textbf{j}+3\textbf{k}

 

2 Dados los vectores \textbf{u} = 3\textbf{i}-\textbf{j}+\textbf{k} y \textbf{v} = \textbf{i}+\textbf{j}+\textbf{k}, hallar el producto vectorial de dichos vectores. Comprobar que el vector hallado es ortogonal a \textbf{u} y \textbf{v}.

 

\textbf{u}\times \textbf{v}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} u_2 & u_3\\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} u_1 & u_3\\ v_1 & v_3 \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} u_1 & u_2\\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}\textbf{k}

 

1 Sustituir en la fórmula

 

\textbf{u}\times \textbf{v}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ 3 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -1 & 1\\ 1 & 1 \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 1 & 1 \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 1 & 1 \end{vmatrix}\textbf{k}

 

2 Calcular los determinantes de 2\times 2

 

\textbf{u}\times \textbf{v}=-2\textbf{i}-2\textbf{j}+4\textbf{k}

 

3 Verificar perpendicularidad por medio del producto punto

 

Calculamos el producto punto del vector resultante con \textbf{u} y con \textbf{v} , respectivamente

(\textbf{u}\times \textbf{v})\perp \textbf{u} \hspace{2cm} (-2,-2,4)\cdot (3,-1,1)=-6+2+4=0

(\textbf{u}\times \textbf{v})\perp \textbf{v} \hspace{2cm} (-2,-2,4)\cdot (1,1,1)=-2-2+4=0

Como da cero, el producto vectorial \textbf{u} \times \textbf{v} es ortogonal a los vectores \textbf{u} y \textbf{v} .

 

 

Superprof

Área del paralelogramo

 

Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

 

A=|\textbf{u}|\cdot h=|\textbf{u}|\cdot|\textbf{v}|\text{ sen }\alpha=|\textbf{u}\times \textbf{v}|

 

area de un paralelogramo representación gráfica
 

Ejemplo

 

1 Dados los vectores \textbf{u} =(3,1,-1) y \textbf{v}=(2,3,4) , hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores \textbf{u} y \textbf{v} ·

 

\textbf{u}\times \textbf{v}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} u_2 & u_3\\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} u_1 & u_3\\ v_1 & v_3 \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} u_1 & u_2\\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}\textbf{k}

 

1 Sustituir en la fórmula

 

\textbf{u}\times \textbf{v}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ 3 & 1 & -1\\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 3 & 4 \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 2 & 4 \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 2 & 3 \end{vmatrix}\textbf{k}

 

2 Calcular los determinantes de 2\times 2

 

\textbf{u}\times \textbf{v}=7\textbf{i}-14\textbf{j}+7\textbf{k}

 

3 Obtener el área del paralelogramo

 

A=|\textbf{u}\times \textbf{v}|=\sqrt{7^2+14^2+7^2}=\sqrt{294}\ u^2

 

 

Área de un triángulo

 

La diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos iguales, por tanto el área del triángulo será la mitad del área del paralelogramo.

 

Ejemplo

 

1 Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos

A(1, 1, 3)

B(2, -1, 5)

C(-3, 3, 1)

 

1 Encontrar los vectores que forman sus lados

 

Los lados están formados por los vectores:

\overline{AB}=(2-1,-1-1,5-3)=(1,-2,2)

\overline{AC}=(-3-1,3-1,1-3)=(-4,2,-2)

 

2 Sustituir en la fórmula para obtener el producto vectorial

 

w= \overline{AB}\times \overline{AC}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ 1 & -2 & 2\\ -4 & 2 & -2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -2 & 2\\ 2 & -2 \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} 1 & 2\\ -4 & -2 \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} 1 & -2\\ -4 & 2 \end{vmatrix}\textbf{k}

 

3 Calcular los determinantes de 2\times 2

 

w=0\textbf{i}-6\textbf{j}-6\textbf{k}

Expresamos con coordenadas

w=(0,-6,-6)

 

4 Obtenemos el área

 

Calculamos el módulo del vector resultante del producto vectorial

|w|=\sqrt{0^2+(-6)^2+(-6)^2}=6\sqrt{2}

Dividimos entre dos

\displaystyle A=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{2}=3\sqrt{2} \ u^2

 

 

Propiedades del producto vectorial

 

1 Anticonmutativa

u\times v=-v\times u

2 Homogénea

\lambda(u\times v)=(\lambda u) \times v = u\times (\lambda v)

3 Distributiva

u\times (v+ w)=u\times v+u\times w

4 El producto vectorial de dos vectores paralelos en igual al vector nulo.

u\parallel v \hspace{2cm} u\times v=0

5 El producto vectorial  u\times v es perpendicular a u y a v.

(u\times v)\perp u \hspace{2cm}(u\times v) \cdot u=0

(u\times v)\perp v \hspace{2cm} (u\times v)\cdot v=0

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Marta

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Ochoa
Ochoa
Invité
22 Abr.

Muy buena profesoraaa

Ochoa
Ochoa
Invité
22 Abr.

Estuvo muy buena la explicación de los vectoressss

Superprof
Superprof
Administrateur
22 Abr.

¡Gracias!

Correa
Correa
Invité
29 Jun.

me podria ayudar a encontrar el vector no con determinantes, si no usando propiedades del producto cruz
(ixj)xk

Karla Paulette Flores Silva
Karla Paulette Flores Silva
Editor
17 Jul.

Hola, del producto punto sabemos que

i×j= k

j×k= i

k×i= j

además

i×i= 0

j×j= 0

k×k= 0

ya con esto podemos concluir que

(i×j)×k = k×k = 0

Espero la solución te sea útil
¡saludos!