Name: Producto cruz
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Definición
Área del paralelogramo
Área de un triángulo
Propiedades del producto vectorial

Definición

El producto vectorial $\textbf{u}\times \textbf{v}$ de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de $\textbf{u}$ a $\textbf{v}$ . Su módulo es igual a:

$|\textbf{u}\times \textbf{v}|=|\textbf{u}|\cdot |\textbf{v}| \text{ sen }\alpha$

El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:

$\textbf{u}\times \textbf{v}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ u_1 & u_2 & u_3\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} u_2 & u_3\\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} u_1 & u_3\\ v_1 & v_3 \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} u_1 & u_2\\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}\textbf{k}$

producto vectorial representación gráfica

Ejemplos

1 Calcular el producto vectorial de los vectores $\textbf{u} = (1, 2, 3)$ y $\textbf{v} = (-1, 1, 2)$ .

1 Sustituir en la fórmula

$\textbf{u}\times \textbf{v}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ 1 & 2 & 3\\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 1 & 2 \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} 1 & 3\\ -1 & 2 \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} 1 & 2\\ -1 & 1 \end{vmatrix}\textbf{k}$

2 Calcular los determinantes de $2\times 2$

$\textbf{u}\times \textbf{v}=\textbf{i}-5\textbf{j}+3\textbf{k}$

2 Dados los vectores $\textbf{u} = 3\textbf{i}-\textbf{j}+\textbf{k}$ y $\textbf{v} = \textbf{i}+\textbf{j}+\textbf{k}$ , hallar el producto vectorial de dichos vectores. Comprobar que el vector hallado es ortogonal a $\textbf{u}$ y $\textbf{v}$ .

1 Sustituir en la fórmula

$\textbf{u}\times \textbf{v}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ 3 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -1 & 1\\ 1 & 1 \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 1 & 1 \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 1 & 1 \end{vmatrix}\textbf{k}$

2 Calcular los determinantes de $2\times 2$

$\textbf{u}\times \textbf{v}=-2\textbf{i}-2\textbf{j}+4\textbf{k}$

3 Verificar perpendicularidad por medio del producto punto

Calculamos el producto punto del vector resultante con $\textbf{u}$ y con $\textbf{v}$ , respectivamente

$(\textbf{u}\times \textbf{v})\perp \textbf{u} \hspace{2cm} (-2,-2,4)\cdot (3,-1,1)=-6+2+4=0$

$(\textbf{u}\times \textbf{v})\perp \textbf{v} \hspace{2cm} (-2,-2,4)\cdot (1,1,1)=-2-2+4=0$

Como da cero, el producto vectorial $\textbf{u} \times \textbf{v}$ es ortogonal a los vectores $\textbf{u}$ y $\textbf{v}$ .

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Área del paralelogramo

Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

$A=|\textbf{u}|\cdot h=|\textbf{u}|\cdot|\textbf{v}|\text{ sen }\alpha=|\textbf{u}\times \textbf{v}|$

area de un paralelogramo representación gráfica

Ejemplo

1 Dados los vectores $\textbf{u} =(3,1,-1)$ y $\textbf{v}=(2,3,4)$ , hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores $\textbf{u}$ y $\textbf{v}$ ·

1 Sustituir en la fórmula

$\textbf{u}\times \textbf{v}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ 3 & 1 & -1\\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & -1\\ 3 & 4 \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} 3 & -1\\ 2 & 4 \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 2 & 3 \end{vmatrix}\textbf{k}$

2 Calcular los determinantes de $2\times 2$

$\textbf{u}\times \textbf{v}=7\textbf{i}-14\textbf{j}+7\textbf{k}$

3 Obtener el área del paralelogramo

$A=|\textbf{u}\times \textbf{v}|=\sqrt{7^2+14^2+7^2}=\sqrt{294}\ u^2$

Área de un triángulo

La diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos iguales, por tanto el área del triángulo será la mitad del área del paralelogramo.

Ejemplo

1 Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos

$A(1, 1, 3)$

$B(2, -1, 5)$

$C(-3, 3, 1)$

1 Encontrar los vectores que forman sus lados

Los lados están formados por los vectores:

$\overline{AB}=(2-1,-1-1,5-3)=(1,-2,2)$

$\overline{AC}=(-3-1,3-1,1-3)=(-4,2,-2)$

2 Sustituir en la fórmula para obtener el producto vectorial

$w= \overline{AB}\times \overline{AC}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k}\\ 1 & -2 & 2\\ -4 & 2 & -2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -2 & 2\\ 2 & -2 \end{vmatrix}\textbf{i}-\begin{vmatrix} 1 & 2\\ -4 & -2 \end{vmatrix}\textbf{j}+\begin{vmatrix} 1 & -2\\ -4 & 2 \end{vmatrix}\textbf{k}$