El producto mixto —también llamado triple producto escalar— únicamente puede definirse para vectores en el espacio cartesiano. Si \vec{u}, \vec{v} y \vec{w} son vectores en el espacio cartesiano su producto mixto, representado como \left [\vec{u}, \vec{v},\vec{w}\right ], se define como el producto escalar del primer vector \vec{u} por el vector resultante del producto vectorial de \vec{v} y \vec{w}:

 

 \left [ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \right ]:= \vec{u}\cdot \left ( \vec{v} \times \vec{w} \right ).

 

Cálculo del producto mixto por determinantes

Un método útil para realizar el cálculo del producto mixto consiste en hacer un arreglo matricial con las coordenadas de los vectores y calcular su determinante:

 

 \left [ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \right ]= \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix},

así,

 \left [ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \right ]= u_1\left ( v_2w_3- v_3w_2 \right )-u_2\left ( v_1w_3- v_3w_1\right )+u_3\left ( v_1w_2 - v_2w_1 \right ).

 

Ejemplo

 

1 Calcular el producto mixto de los vectores  \vec{u}=(2,-1,3), \vec{v}=(0,2,-5) y  \vec{w}=(1,-1,-2) .

 

 \left [ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \right ]= \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 &2 & -5 \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix} =2\left ( -4- 5 \right )+1\left ( 0+5\right )+3\left ( 0-2 \right ) =-18+5-6=-19

 

 

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Propiedades del producto mixto

 

1El producto mixto no varía si se permutan cíclicamente sus factores:

 

 \left [ u,v,w \right ]=\left [ v,w,u \right ]=\left [ w,u,v \right ].

 

2Si se intercambia el orden de dos vectores en el producto mixto se obtiene el mismo valor salvo por un signo:

 

 \left [ u,v,w \right ]=-\left [ v,u,w \right ]=-\left [ u,w,v \right ] =-\left [ w,v, u \right ]

 

3Si la triada de vectores no es linealmente independiente, es decir, si agrupando los vectores dos a dos éstos son coplanarios, el producto mixto vale cero.

 

Representación analítica del volumen de un paralelepípedo

 

El valor absoluto del producto mixto de tres vectores corresponde al volumen del paralelepípedo que se forma con éstos. Este cuerpo geométrico se forma considerando a cada uno de los vectores como su largo, su ancho y su alto:

 

paralepipedo

 

Ejemplo

 

1Hallar el volumen del paralelepípedo formado por los vectores  \vec{u}=(3,-2,5), \vec{v}=(2,2,-1) y  \vec{w}=(-4,3,2).

 

 V= \begin{vmatrix} 3 & -2 & 5 \\ 2 &2 & -1 \\ -4 & 3 & 2 \end{vmatrix} =3\left ( 4+3 \right )+2\left ( 4-4\right )+5\left ( 6+8 \right ) =21+0+70 = 91\ \textup{u}^3.

 

 

Obtención del volumen de un tetraedro a partir del producto mixto

 

Al seccionar el paralelepípedo en dos prismas de base triangular considerando las diagonales de sus bases superior e inferior, el volumen de cada prisma triangular corresponde a la mitad del volumen del paralelepípedo. Ahora, como el volumen de una pirámide de base triangular (un tetraedro) es un tercio del volumen del prisma triangular que la inscribe, su volumen corresponde a un sexto del volumen del paralelogramo inicial. Por tanto, si se conocen los vectores que forman un paralelepípedo, el volumen del tetraedro que lo forman es igual a un sexto del valor absoluto de su producto mixto.

 

Por otro lado, si se tienen las coordenadas de los vértices  A, B, C, D del tetraedro, es posible conocer los tres vectores que lo forman y calcular su volumen:

 

 A=(a_1, a_2, a_3) \quad B=(b_1, b_2, b_3) \quad C=(c_1, c_2, c_3) \quad D=(d_1, d_2, d_3)

 

    \begin{align*} \overrightarrow{AB} &= B-A =(b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3)\\ \overrightarrow{AC} &= C-A =(c_1-a_1,c_2-a_2,c_3-a_3)\\ \overrightarrow{AD} &= D-A =(d_1-a_1,d_2-a_2,d_3-a_3) \end{align*} \qquad \Longrightarrow \qquad V=\dfrac{1}{6}\left | \left[ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right ] \right |.

Ejemplo

 

1Calcular el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos  A(3, 2, 1), B(1, 2, 4), C(4, 0, 3) y  D(1, 1, 7).

 

    \begin{align*} \overrightarrow{AB} &= B-A =(-2,0,3)\\ \overrightarrow{AC} &= C-A =(1, -2, 2)\\ \overrightarrow{AD} &= D-A =(-2,-1,6) \end{align*}

 

 V= \dfrac{1}{6} \left | \begin{vmatrix} -2 & 0 & 3 \\ 1 &-2 & 2 \\ -2 & -1 & 6 \end{vmatrix} \right | =\dfrac{1}{6}\left | -2\left ( -12+2 \right )+0+3\left ( -1-4 \right ) \right |= \dfrac{1}{6} \left | 20-15 \right | = \dfrac{5}{6}\ \textup{u}^3

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗