Producto escalar de vectores sean \vec{u}= (u_1, u_2) y  \vec{v} = (v_1, v_2) vectores, entonces tenemos las siguientes fórmulas del producto escalar de vectores, usualmente denotada con  \cdot

1 Expresión analítica del producto escalar:

Tenemos que el producto escalar se define como

     \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 \]

 

2Expresión analítica del módulo de un vector

Tenemos que el modulo de un vector se define de la siguiente manera

     \[ |\vec{u}|=\sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}=\sqrt{u_{1} \cdot u_{1}+u_{2} \cdot u_{2}}=\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}} \]

 

3 Producto escalar:

Podemos expresar el producto escalar utilizando módulos y el ángulo entre los vectores, obteniendo que

     \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| \cos \alpha \]

 

4 Expresión analítica del ángulo de dos vectores

Utilizando las fórmulas anteriores expresaremos el ángulo entre dos vectores

     \[ \cos \alpha=\frac{u_{1} \cdot v_{1}+u_{2} \cdot v_{2}}{\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}} \cdot \sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}} \]

 

5 Expresión analítica de la ortogonalidad de dos vectores:

Dos vectores son ortogonales cuando forman un ángulo recto entre si. Si el producto escalar de dos vectores es cero, entonces son ortogonales, es decir, si

     \[ u \cdot v = 0, \quad u_{1} \cdot v_{1}+u_{2} \cdot v_{2} = 0 \]

entonces ortogonales.

 

6 Proyección:

El producto escalar de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Ejemplo de proyección.

Esto se obtiene de:

Calcular el coseno del ángulo  \alpha

     \[ \cos \alpha = \cfrac{OA'}{|\vec{u}|} \]

Despejamos OA' el cual es la proyección escalar de \vec{u} sobre el vector \vec{v}

     \[ OA' = |\vec{u}| \cdot \cos \alpha \]

Sabemos que  \cos \alpha = \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u} | \cdot |\vec{v}|} , luego

     \[ OA' = |\vec{u}| \cdot \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u} | \cdot |\vec{v}|} \]

Simplificando se obtiene

     \[ OA' = \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|} \]

Despejando se obtiene

 \[ \vec{u} \cdot \vec{v} =|\vec{v}| \cdot OA' ]

>

La plataforma que conecta profes particulares y estudiantes

¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 5,00 (1 nota(s))
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗