Producto escalar de vectores sean \vec{u}= (u_1, u_2) y \vec{v} = (v_1, v_2) vectores, entonces tenemos las siguientes fórmulas del producto escalar de vectores, usualmente denotada con \cdot

1 Expresión analítica del producto escalar:

Tenemos que el producto escalar se define como

    \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 \]

 

2Expresión analítica del módulo de un vector

Tenemos que el modulo de un vector se define de la siguiente manera

    \[ |\vec{u}|=\sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}=\sqrt{u_{1} \cdot u_{1}+u_{2} \cdot u_{2}}=\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}} \]

 

3 Producto escalar:

Podemos expresar el producto escalar utilizando módulos y el ángulo entre los vectores, obteniendo que

    \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| \cos \alpha \]

 

4 Expresión analítica del ángulo de dos vectores

Utilizando las fórmulas anteriores expresaremos el ángulo entre dos vectores

    \[ \cos \alpha=\frac{u_{1} \cdot v_{1}+u_{2} \cdot v_{2}}{\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}} \cdot \sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}} \]

 

5 Expresión analítica de la ortogonalidad de dos vectores:

Dos vectores son ortogonales cuando forman un ángulo recto entre si. Si el producto escalar de dos vectores es cero, entonces son ortogonales, es decir, si

    \[ u \cdot v = 0, \quad u_{1} \cdot v_{1}+u_{2} \cdot v_{2} = 0 \]

entonces ortogonales.

 

6 Proyección:

El producto escalar de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Ejemplo de proyección.

Esto se obtiene de:

Calcular el coseno del ángulo \alpha

    \[ \cos \alpha = \cfrac{OA'}{|\vec{u}|} \]

Despejamos OA' el cual es la proyección escalar de \vec{u} sobre el vector \vec{v}

    \[ OA' = |\vec{u}| \cdot \cos \alpha \]

Sabemos que \cos \alpha = \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u} | \cdot |\vec{v}|} , luego

    \[ OA' = |\vec{u}| \cdot \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u} | \cdot |\vec{v}|} \]

Simplificando se obtiene

    \[ OA' = \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|} \]

Despejando se obtiene

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} =|\vec{v}| \cdot OA' ]

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗