El concepto de base es uno de los mas importantes en álgebra lineal. Básicamente una base es un subconjunto de elementos de nuestro espacio vectorial con la cual podemos expresar todos los vectores en términos de estos.Primero recordemos que tres vectores \vec{u}, \vec{v} y \vec{w} son linealmente independientes en el espacio si uno de ellos no se puede escribir como combinación lineal de los otros dos. Esto implica que los tres vectores tienen distinta dirección.Además los tres vectores \vec{u}, \vec{v} y \vec{w} generan todo el espacio si un vector \vec{x} cualquiera se puede escribir como combinación lineal de \vec{u}, \vec{v} y \vec{w}, es decir,

    $$\vec{x}=a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w},$$

donde a, b y c son números reales.

Finalmente, definimos una base del espacio como un conjunto de tres elementos \vec{u}, \vec{v} y \vec{w} tal que ellos son linealmente independientes y que generan todo el espacio.

El ejemplo más destacado de una base de tres vectores es la base canónica, que consiste de los siguientes tres vectores:

    $$\vec{i}=(1,0,0),\quad \vec{j}=(0,1,0),\quad \vec{k}=(0,0,1).$$

De esta forma las coordenadas de un vector cualquiera \vec{x} son las siguientes

    $$\vec{x}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)=(a,b,c).$$

Base ortogonal

Una base de vectores \vec{u}, \vec{v} y \vec{w} es ortogonal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí, es decir,

    $$\vec{u}\cdot\vec{v}=0,\quad \vec{u}\cdot\vec{w}=0,\quad \vec{v}\cdot\vec{w}=0,$$

donde \cdot representa el producto interno.

La base canónica es una base ortogonal, ya que sus elemento son perpendiculares entre si.

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Vamos

Base ortonormal

Una base es ortonormal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí, y además tienen módulo 1, es decir,

    $$|\vec{u}|=1,\quad |\vec{v}|=1,\quad |\vec{w}|=1.$$

De nuevo podemos decir que la base canónica es ortonormal ya que

    $$|\vec{i}|=\sqrt{1^{2}+0^{2}+0^{2}}=1,\quad |\vec{j}|=\sqrt{0^{2}+1^{2}+0^{2}}=1,\quad |\vec{k}|=\sqrt{0^{2}+0^{2}+1^{2}}=1.$$

Ejemplos de bases ortogonal y ortonormal

 1  Dados los vectores \vec{u}=(1,2,3), \vec{v}=(2,1,0) y \vec{w}=(-1,-1,0), demostrar que dichos vectores forman una base y calcula las coordenadas del vector (1,-1,0) respecto de dicha base.
Debemos ver que estos vectores son linealmente, entonces planteamos la siguiente ecuación

    $$a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=0,$$

    $$a(1,2,3)+b(2,1,0)+c(-1,-1,0)=(0,0,0).$$

De esto obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones,

    $$(a+2b-c,2a+b-c,3a)=(0,0,0),$$

    $$\begin{cases} a+2b-c=0\\ 2a+b-c=0\\ 3a=0 \end{cases}$$

Para saber cuantas soluciones tiene este sistema debemos calcular su determinante, si este es distinto de cero entonces solo tenemos la solución trivial (0,0,0),

    $$\begin{vmatrix} 1&2&-1\\ 2&1&-1\\ 3&0&0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&-1\\ 0&0 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} 2&-1\\ 3&0 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 2&1\\ 3&0 \end{vmatrix}=-3\neq0.$$

El sistema homogéneo sólo admite la solución trivial:

    $$a=0,\quad b=0,\quad c=0.$$

Por tanto, los tres vectores son linealmente independientes y forman una base.

Ahora buscaremos las coordenadas del vector (1,-1,0) con respecto a nuestra base. Para esto planteamos las siguiente ecuación con x, y y z número reales,

    $$(1,-1,0)=x(1,2,3)+y(2,1,0)+z(-1,-1,0).$$

De esto obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones del cual obtendremos las solucione para x, y y z que representan las coordenadas que buscamos

    $$\begin{cases} x+2y-z=1\\ 2z+y-z=-1\\ 3x=0 \end{cases}$$

Por inspección obtenemos que x=0, luego

    $$y-z=-1$$

lo cual implica que

    $$y=-1+z$$

y que

    $$-z=1-2y=1-2(-1+z),$$

así

    $$z=3,\quad y=-1+z=-1+3=2.$$

Por lo tanto las coordenadas de (1,-1,0) en nuestra base son (0,2,3).

 

 2   Dados los vectores: (1, 1, 0), (1, 0, 1) y (0, 1, 1).

 

A Demostrar que forman una base.

 

Los tres vectores forman una base si son linealmente independientes. Para ver esto planteamos la siguiente ecuación y sistema

    $$a(1,1,0)+b(1,0,1)+c(0,1,1)=(0,0,0).$$

De esto obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones,

    $$(a+b,a+c,b+c)=(0,0,0),$$

    $$\begin{cases} a+b=0\\ a+c=0\\ b+c=0 \end{cases}$$

Para saber cuantas soluciones tiene este sistema debemos calcular su determinante, si este es distinto de cero entonces solo tenemos la solución trivial (0,0,0),

    $$\begin{vmatrix} 1&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0&1\\ 1&1 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{vmatrix}=-1\neq0.$$

El sistema homogéneo sólo admite la solución trivial:

    $$a=0,\quad b=0,\quad c=0.$$

Por tanto, los tres vectores son linealmente independientes y forman una base.

 

B Hallar las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de esta base.

 

Para resolver esto debemos plantear las siguientes tres ecuaciones

    $$(1,0,0)=a_{1}(1,1,0)+b_{1}(1,0,1)+c_{1}(0,1,1),$$

    $$(0,1,0)=a_{2}(1,1,0)+b_{2}(1,0,1)+c_{2}(0,1,1),$$

    $$(0,0,1)=a_{3}(1,1,0)+b_{3}(1,0,1)+c_{3}(0,1,1).$$

Y hallar los valores para cada a_{i}, b_{i} y c_{i}, los cuales son los que determinan las coordenadas para los vectores de la base canónica. Empezamos por la primera ecuación, de la cual obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

    $$\begin{cases} a_1+b_1=1\\ a_1+c_1=0\\ b_1+c_1=0 \end{cases}$$

Por inspección tenemos que

    $$b_1=-c_1,\quad b_1=a_1,$$

entonces

    $$a_1+a_1=1\Rightarrow 2a_1=1\Rightarrow a_1=\cfrac{1}{2}.$$

Y por tanto

    $$b_1=\cfrac{1}{2},\quad c_1=-\cfrac{1}{2}.$$

Así que las coordenadas del vector \vec{i}=(1,0,0) son \left(\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{2},-\cfrac{1}{2}\right). De la segunda ecuación, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

    $$\begin{cases} a_{2}+b_{2}=0\\ a_2+c_{2}=1\\ b_2+c_2=0 \end{cases}$$

Por inspección tenemos que

    $$-b_2=c_2,\quad -b_2=a_2,$$

entonces

    $$a_2+a_2=1\Rightarrow 2a_2=1\Rightarrow a_2=\cfrac{1}{2}.$$

Y por tanto

    $$b_2=-\cfrac{1}{2},\quad c_2=\cfrac{1}{2}.$$

Así que las coordenadas del vector \vec{j}=(0,1,0) son \left(\cfrac{1}{2},-\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{2}\right). De la ultima ecuación, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

    $$\begin{cases} a_{3}+b_{3}=0\\ a_3+c_{3}=0\\ b_3+c_3=1 \end{cases}$$

Por inspección tenemos que

    $$-a_3=c_3,\quad -b_3=a_3,$$

entonces

    $$b_3+b_3=1\Rightarrow 2b_3=1\Rightarrow b_3=\cfrac{1}{2}.$$

Y por tanto

    $$a_3=-\cfrac{1}{2},\quad c_3=\cfrac{1}{2}.$$

Así que las coordenadas del vector \vec{k}=(0,0,1) son \left(-\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{2}\right).

 

C Calcular el valor de a para que los vectores \vec{u}=(1,1,0), \vec{u}=(a,1,1) y \vec{w}=(1,a,0) formen una base.

 

Debemos ver que estos vectores son linealmente independientes. Esto lo comprobamos calculando el determinantes de la matriz formada por ellos. Si el determinante es no nulo entonces ellos son linealmente independientes,

    $$\begin{vmatrix} 1&1&0\\ a&1&1\\ 1&a&0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&1\\ a&0 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} a&1\\ 1&0 \end{vmatrix}+(0)\begin{vmatrix} 1&1\\ a&0 \end{vmatrix}=1-a.$$

Este determinante es no cero si y solo si 1-a\neq0, es decir, a\neq1. Por lo tanto concluimos que si a\neq1 , los vectores forman una base.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗