1 Hallar el simétrico del punto A(3, −2) respecto de M(−2, 5).

Buscamos el punto A'(x,y) simétrico al punto A respecto a M, por lo que se debe cumplir que

     \[ \vector{AM} = \vector{MA'} \]

entonces

     \[ (-2-3, 5+2) = (x+2, y-2) \]

     \[ \Rightarrow \quad -5 = x + 2 \quad \texrm{y} \quad 7 = y - 5 \]

es decir,

     \[ x = -7 \quad \textrm{y} \quad y = 12 \]

Por tanto,  A' (-7, 12) .

2 Hallar el simétrico del punto B(7, 4) respecto de M(3, −11).

Buscamos el punto B'(x,y) simétrico al punto B respecto a M, por lo que se debe cumplir que

     \[ \vector{BM} = \vector{MB'} \]

es decir

     \[ (3-7, -11 - 4) = ( x - 3, y + 11) \]

por lo que

     \begin{align*} 3 - 7 &= x - 3\\ -4 &= x - 3 \\ -1 &= x \end{align*}

y

     \begin{align*} - 11 -4 &= y + 11\\ -15 &= y + 11 \\ -26 &= y \end{align*}

y de aqui concluimos que B'(-1, -26)

3 Dados dos vértices de un triángulo A(2, 1), B(1, 0) y el baricentro G(2/3, 0), calcular el tercer vértice.

Denotemos las coordenadas del tercer vertice C como C(x, y). Recordando que las coordenadas del baricentro de un triángulo con vértices A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) y C(x_3, y_3) son

     \[ G\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right) \]

Entonces el baricentro se calcula utilizando

    \[ G\left( \frac{2 + 1 + x}{3}, \frac{1 + 0 + y}{3} \right) = G\left( \frac{3 + x}{3}, \frac{1 + y}{3} \right) \]

Pero también tenemos que G(2/3, 0), por lo que

 

\displaystyle \frac{3 + x}{3} = \frac{2}{3}, \qquad \frac{1 + y}{3} = 0

 

Multiplicando por 3, obtenemos

 

\displaystyle 3 + x = 2, \qquad 1 + y = 0

 

De aquí se sigue que x = -1 y y = -1. Por lo tanto, el vértice C es

 

\displaystyle C(-1, -1)

4 Sean A = (2, 1, 0), B = (1, 1, 1) y C = (4, 1, -2) los vértices de un triángulo en el espacio. Determina las coordenadas de su baricentro.

Recordando que las coordenadas del baricentro de un triangulo en el espacio con vértices A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2) y C(x_3, y_3, z_3) son

    \[ G\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} \right) \]

entonces as coordenadas del baricentro de nuestro triángulo son

    \[ G\left( \frac{2 + 1 + 4}{3}, \frac{1 + 1+ 1}{3}, \frac{0 + 1 - 2}{3} \right) = G\left( \frac{7}{3}, 1, -\frac{1}{3} \right) \]

5 Dados los puntos A(3, 2) y B(5, 4) halla un punto C, alineado con A y B, de manera que se obtenga  \frac{CA}{CB} = \frac{3}{2} .

Puesto que se debe cumplir que  \frac{CA}{CB} = \frac{3}{2} , entonces\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{\overrightarrow{CA}}{\overrightarrow{CB}}&=&\displaystyle\frac{3}{2} \\ && \\ \overrightarrow{CA}&=& \displaystyle\frac{3}{2} \overrightarrow{CB} \\ && \\ (3-x,2-y) & = & \displaystyle\frac{3}{2} (5-x,4-y) \end{array}}

Igualamos ambas expresiones coordenada a coordenada y obtenemos

{3-x=\displaystyle\frac{3}{2} (5-x) \ \ \ \ \ \ 2-y=\displaystyle\frac{3}{2} (4-y)}

Resolvemos ambas ecuaciones para obtener las coordenadas de {C}

{\begin{array}{rcl} 3-x &=&\displaystyle\frac{3}{2}(5-x)\\ && \\ 2(3-x)&=& 3(5-x) \\ && \\ 6-2x &=& 15-3x \\ && \\ 3x-2x & = & 15-6 \\ && \\ x &=& 9 \end{array}}

 

{\begin{array}{rcl} 2-y &=&\displaystyle\frac{3}{2}(4-y)\\ && \\ 2(2-y)&=& 3(4-y) \\ && \\ 4-2y &=& 12-3y \\ && \\ 3y-2y & = & 12-4 \\ && \\ y &=& 8 \end{array}}

6Calcular el valor de {k} sabiendo que {\vec{a}=(-2,k), \; \vec{b}=(5,-3)} y {\vec{a} \cdot \vec{b}=-6}

Calculamos el producto de vectores

{\begin{array}{rcl} \vec{a}\cdot \vec{b} & = & (-2) \cdot 5 + (-3)k \\\\ & = & -10 - 3k \end{array}}

Igualamos el resultado a {-6} y resolvemos para {k}

{\begin{array}{rcl} -10 - 3k & = & -6 \\\\ -3k & = & -6 + 10 \\\\ k & = & -\cfrac{4}{3} \end{array}}

7 Hallar un vector unitario de la misma dirección que el vector \vec{v} = (8, -6).

Podemos encontrar un vector unitaria en la misma dirección utilizando la formula

     \[ {\vec{u} = \displaystyle\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}} \]

Utiliando la formula anterior, procedemos a encontrar la magnitud del vector \vec{v}

     {\begin{align*} |\vec{v}| & = \sqrt{8^2 + (-6)^2} \\ & = \sqrt{100} \\ & = 10 \end{align*}

Sustituimos en la fórmula de vector unitario y obtenemos

     \[ \vec{u} = \cfrac{1}{10}(8, -6) = \left(\cfrac{4}{5}, - \cfrac{3}{5} \right) \]

8 Si \vec{v}=(3,-2,9), hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.

Encontramos pirmero la magnitud del vector

     \[ \| \vec{v} |=\sqrt{3^2+(-2)^2+9^2}=\sqrt{9+4+81}= \sqrt{94} \]

entonces el vector buscado será

    \[ \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{94}}\left ( 3,-2,9 \right )= \left ( \frac{3}{\sqrt{94}},\frac{-2}{\sqrt{94}},\frac{9}{\sqrt{94}} \right ) \]

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗