Fórmula del ángulo entre dos vectores
El ángulo que forman dos vectores 
y 
viene dado por la expresión:
La expresión en función de sus coordenadas es
Ejemplo: Hallar el ángulo comprendido entre los vectores 
y 
1Para emplear la fórmula que permite encontrar el ángulo comprendido entre dos vectores, primero calculamos el producto de los dos vectores
2Calculamos la magnitud del primer vector
3Calculamos la magnitud del segundo vector
4Sustituimos los valores previamente obtenidos, en la fórmula del ángulo 
entre dos vectores
5El valor que satisface la igualdad anterior es 
Ejercicios propuestos
Calcular el producto escalar y el ángulo que forman los vectores 
.
1Para emplear la fórmula que permite encontrar el ángulo comprendido entre dos vectores, primero calculamos el producto de los dos vectores
2Calculamos la magnitud del primer vector
3Calculamos la magnitud del segundo vector
4Sustituimos los valores previamente obtenidos, en la fórmula del ángulo entre dos vectores
5El valor que satisface la igualdad anterior es 
Calcular el producto escalar y el ángulo que forman los vectores 
.
1Para emplear la fórmula que permite encontrar el ángulo comprendido entre dos vectores, primero calculamos el producto de los dos vectores
2Calculamos la magnitud del primer vector
3Calculamos la magnitud del segundo vector
4Sustituimos los valores previamente obtenidos, en la fórmula del ángulo entre dos vectores
5El valor que satisface la igualdad anterior es 
Calcular el producto escalar y el ángulo que forman los vectores 
.
1Para emplear la fórmula que permite encontrar el ángulo comprendido entre dos vectores, primero calculamos el producto de los dos vectores
2Calculamos la magnitud del primer vector
3Calculamos la magnitud del segundo vector
4Sustituimos los valores previamente obtenidos, en la fórmula del ángulo entre dos vectores
5El valor que satisface la igualdad anterior es 
Dados los vectores 
, calcula 
para que los vectores 
y 
sean perpendiculares.
1A partir de la fórmula del ángulo entre dos vectores, se obtiene
2Calculamos el producto interno de los vectores
3Dos vectores son perpendiculares si el ángulo entre ellos es de 
; el coseno de este ángulo es cero
4Calculamos la magnitud del primer vector
5Calculamos la magnitud del segundo vector
6Sustituimos en la fórmula inicial los valores previamente obtenidos y resolvemos para
Así, el valor buscado es 
Dados los vectores , calcula para que los vectores y sean paralelos.
1A partir de la fórmula del ángulo entre dos vectores, se obtiene
2Calculamos el producto interno de los vectores
3Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es de 
; el coseno de este ángulo es uno
4Calculamos la magnitud del primer vector
5Calculamos la magnitud del segundo vector
6Sustituimos en la fórmula inicial los valores previamente obtenidos y resolvemos para
Así, el valor buscado es 
Otra forma de resolver el ejercicio es considerar la proporcionalidad de sus componentes
Dado el vector 
, calcula para que sea paralelo al eje 
.
1A partir de la fórmula del ángulo entre dos vectores, se obtiene
2Calculamos el producto interno del vector con el eje que representamos con el vector 
3Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es de ; el coseno de este ángulo es uno
4Calculamos la magnitud del primer vector
5Calculamos la magnitud del segundo vector
6Sustituimos en la fórmula inicial los valores previamente obtenidos y resolvemos para
Así, el valor buscado es 
Otra forma de resolver el ejercicio es considerar la proporcionalidad de sus componentes
Dado el vector 
, calcula para que sea paralelo al eje 
.
1A partir de la fórmula del ángulo entre dos vectores, se obtiene
2Calculamos el producto interno del vector con el eje que representamos con el vector 
3Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es de ; el coseno de este ángulo es uno
4Calculamos la magnitud del primer vector
5Calculamos la magnitud del segundo vector
6Sustituimos en la fórmula inicial los valores previamente obtenidos y resolvemos para
Así, el valor buscado es
Otra forma de resolver el ejercicio es considerar la proporcionalidad de sus componentes
Dados los vectores , calcula para que los vectores y formen un ángulo de 
.
1A partir de la fórmula del ángulo entre dos vectores, se obtiene
2Calculamos el producto interno de los vectores
3El ángulo entre lo dos vectores es de ; el coseno de este ángulo es
4Calculamos la magnitud del primer vector
5Calculamos la magnitud del segundo vector
6Sustituimos en la fórmula inicial los valores previamente obtenidos y resolvemos para
7Resolvemos empleando la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación de segundo grado
Las raíces son 
, pero solamente 
es solución de 
, ya que tuvimos que elevar al cuadrado para obtener las soluciones. Así, el valor buscado es .
Hallar si el ángulo que forman y 
vale .
1A partir de la fórmula del ángulo entre dos vectores, se obtiene
2Calculamos el producto interno de los vectores
3El coseno de es cero
4Calculamos la magnitud del primer vector
5Calculamos la magnitud del segundo vector
6Sustituimos en la fórmula inicial los valores previamente obtenidos y resolvemos para
Así, el valor buscado es
Hallar si el ángulo que forman y vale 
.
1A partir de la fórmula del ángulo entre dos vectores, se obtiene
2Calculamos el producto interno de los vectores
3El coseno de es uno
4Calculamos la magnitud del primer vector
5Calculamos la magnitud del segundo vector
6Sustituimos en la fórmula inicial los valores previamente obtenidos y resolvemos para
Así, el valor buscado es 
Hallar si el ángulo que forman y vale .
1A partir de la fórmula del ángulo entre dos vectores, se obtiene
2Calculamos el producto interno de los vectores
3El ángulo entre lo dos vectores es de 
; el coseno de este ángulo es
4Calculamos la magnitud del primer vector
5Calculamos la magnitud del segundo vector
6Sustituimos en la fórmula inicial los valores previamente obtenidos y resolvemos para
Las raíces son 
Hallar si el ángulo que forman 
y el eje vale .
1Consideramos el eje x con el vector . A partir de la fórmula del ángulo entre dos vectores, se obtiene
2Calculamos el producto interno de los vectores
3El ángulo entre lo dos vectores es de ; el coseno de este ángulo es
4Calculamos la magnitud del primer vector
5Calculamos la magnitud del segundo vector
6Sustituimos en la fórmula inicial los valores previamente obtenidos y resolvemos para
Las raíces son 
Hallar si el ángulo que forman 
y el eje vale 
.
1Consideramos el eje y con el vector . A partir de la fórmula del ángulo entre dos vectores, se obtiene
2Calculamos el producto interno de los vectores
3El ángulo entre lo dos vectores es de ; el coseno de este ángulo es
4Calculamos la magnitud del primer vector
5Calculamos la magnitud del segundo vector
6Sustituimos en la fórmula inicial los valores previamente obtenidos y resolvemos para
Las raíces son 
Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados 
y 
del triángulo: 
, es paralelo al lado 
e igual a su mitad.
1Representamos gráficamente
2Calculamos el punto medio del lado
3Calculamos el punto medio del lado
4Calculamos el vector 
5Calculamos el vector 
6Calculamos la magnitud del primer vector
7Calculamos la magnitud del segundo vector
8Para verificar si los dos vectores son paralelos, verificamos la proporcionalidad de sus componentes
Como sus componentes son proporcionales, entonces los vectores son paralelos
Calcular los ángulos del triángulo de vértices: 
.
1Representamos gráficamente
2Calculamos el vector 
3Calculamos el vector 
4Calculamos la magnitud de
5Calculamos la magnitud de
6Calculamos el producto interno de ambos vectores
7Sustituimos los valores previamente obtenidos, en la fórmula del ángulo entre dos vectores
El valor corresondiente al vértice 
que satisface la igualdad anterior es 
8Calculamos el vector 
9Calculamos el vector
10Calculamos la magnitud de
11Calculamos la magnitud de
12Calculamos el producto interno de ambos vectores
13Sustituimos los valores previamente obtenidos, en la fórmula del ángulo 
entre dos vectores
El valor corresondiente al vértice 
que satisface la igualdad anterior es 
14Como la suma de os ángulos interiores de un triángulo es 
, entonces el ángulo 
correspondiente al vértice 
es
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Suma de vectores f1=450n,30. 1FR=f1+f6
como sacar el residuo de una multiplicación
Hallar las coordenadas de punto medio del segmento que une (4,7);(14,12)
Hola, podrias mencionar que tipo de multiplicación (normal, de vectores etc.).
si se aplica una traslación al punto E(0;2) se obtiene el punto E'(-1;-5),indicar el vector de translación
Traslaciones Juan es un diseñador gráfico y de acuerdo con las exigencias de uno de sus clientes debe reorganizar los elementos de uno de los avisos publicitarios observemos en la ilustración los cambios y desplazamientos que realizo.
En la ilustración el barco se trasladó dos unidades hacia arriba.
Una traslación es el desplazamiento de una figura sobre un plano sin girarla en ninguna dirección para indicar una traslación usamos una flecha que muestra el sentido hacia donde se hace el movimiento:
Derecha , izquierda, arriba, abajo, occidente, Oriente, Norte o sur) y la magnitud (número de unidades que se mueve la figura).
En el aviso publicitario,? Cuál de los siguientes desplazamientos se realizó con el logo del pez? Márcalo con x
Vectores 400n+horizontal y a la izquierda