Fórmula del ángulo entre dos vectores

 

El ángulo que forman dos vectores \vec{u} = (u_1, u_2) y \vec{v} = (v_1, v_2) viene dado por la expresión:

 

\cos \alpha = \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}

 

La expresión en función de sus coordenadas es

 

\cos \alpha = \cfrac{u_1 \cdot v_1 +  u_2 \cdot v_2}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2} \cdot \sqrt{v_1^2 + v_2^2}}

 

Ejemplo: Hallar el ángulo comprendido entre los vectores \vec{u} = (3, 0) y \vec{v} = (5, 5)

 

1Para emplear la fórmula que permite encontrar el ángulo comprendido entre dos vectores, primero calculamos el producto de los dos vectores

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & 3 \cdot 5 + 0 \cdot 5 \\\\ & = & 15  \end{array}

 

2Calculamos la magnitud del primer vector

 

\begin{array}{rcl} | \vec{u} |  & = & \sqrt{3^2 + 0^2 \\\\ & = & 3  \end{array}

 

3Calculamos la magnitud del segundo vector

 

\begin{array}{rcl} | \vec{v} |  & = & \sqrt{5^2 + 5^2 \\\\ & = & \sqrt{50}  \\\\  & = & 5 \sqrt{2}  \end{array}

 

4Sustituimos los valores previamente obtenidos, en la fórmula del ángulo \alpha entre dos vectores

 

\begin{array}{rcl} \cos \alpha & = & \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}  \\\\  & = &  \cfrac{15}{3 \cdot 5 \sqrt{2}} \\\\  & = &  \cfrac{1}{\sqrt{2}}  \\\\  & = & \cfrac{\sqrt{2}}{2}  \end{arry}

 

5El valor \alpha que satisface la igualdad anterior es \alpha = 45^o

 

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Ejercicios propuestos

 

 

1Calcular el producto escalar y el ángulo que forman los vectores \vec{u} = (3, 4), \  \vec{v} = (-8, 6).

1Para emplear la fórmula que permite encontrar el ángulo comprendido entre dos vectores, primero calculamos el producto de los dos vectores

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & 3 \cdot (-8) + 4 \cdot 6 \\\\ & = & 0 \end{array}

 

2Calculamos la magnitud del primer vector

 

\begin{array}{rcl} | \vec{u} | & = & \sqrt{3^2 + 4^2 \\\\ & = & \sqrt{25}  \\\\  & = &  5 \end{array}

 

3Calculamos la magnitud del segundo vector

 

\begin{array}{rcl} | \vec{v} | & = & \sqrt{(-8)^2 + 6^2 \\\\ & = & \sqrt{100} \\\\ & = & 10 \end{array}

 

4Sustituimos los valores previamente obtenidos, en la fórmula del ángulo \alpha entre dos vectores

 

\begin{array}{rcl} \cos \alpha & = & \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} \\\\ & = & \cfrac{0}{5 \cdot 10} \\\\ & = & \cfrac{0}{50} \\\\ & = & 0 \end{array}

 

5El valor \alpha que satisface la igualdad anterior es \alpha = 90^o

¿Y si pruebas nuestras clases particulares de matematicas?

 

 

2Calcular el producto escalar y el ángulo que forman los vectores \vec{u} = (5, 6), \ \vec{v} = (-1, 4).

1Para emplear la fórmula que permite encontrar el ángulo comprendido entre dos vectores, primero calculamos el producto de los dos vectores

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & 5 \cdot (-1) + 6 \cdot 4 \\\\ & = & 19 \end{array}

 

2Calculamos la magnitud del primer vector

 

\begin{array}{rcl} | \vec{u} | & = & \sqrt{5^2 + 6^2 \\\\ & = & \sqrt{61} \end{array}

 

3Calculamos la magnitud del segundo vector

 

\begin{array}{rcl} | \vec{v} | & = & \sqrt{(-1)^2 + 4^2 \\\\ & = & \sqrt{17} \end{array}

 

4Sustituimos los valores previamente obtenidos, en la fórmula del ángulo \alpha entre dos vectores

 

\begin{array}{rcl} \cos \alpha & = & \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} \\\\ & = & \cfrac{19}{\sqrt{61} \cdot \sqrt{17}} \\\\ & = & 0.59  \end{array}

 

5El valor \alpha que satisface la igualdad anterior es \alpha = 53^o \, 50'

 

 

3Calcular el producto escalar y el ángulo que forman los vectores \vec{u} = (3, 5), \ \vec{v} = (-1, 6).

1Para emplear la fórmula que permite encontrar el ángulo comprendido entre dos vectores, primero calculamos el producto de los dos vectores

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & 3 \cdot (-1) + 5 \cdot 6 \\\\ & = & 27 \end{array}

 

2Calculamos la magnitud del primer vector

 

\begin{array}{rcl} | \vec{u} | & = & \sqrt{3^2 + 5^2 \\\\ & = & \sqrt{34} \end{array}

 

3Calculamos la magnitud del segundo vector

 

\begin{array}{rcl} | \vec{v} | & = & \sqrt{(-1)^2 + 6^2 \\\\ & = & \sqrt{37} \end{array}

 

4Sustituimos los valores previamente obtenidos, en la fórmula del ángulo \alpha entre dos vectores

 

\begin{array}{rcl} \cos \alpha & = & \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} \\\\ & = & \cfrac{27}{\sqrt{34} \cdot \sqrt{37}} \\\\ & = & 0.7612 \end{array}

 

5El valor \alpha que satisface la igualdad anterior es \alpha = 40^o \, 26'

 

 

4Dados los vectores \vec{u} = (2, k), \ \vec{v} = (3, -2), calcula k para que los vectores \vec{u} y \vec{v} sean perpendiculares.

1A partir de la fórmula del ángulo entre dos vectores, se obtiene

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} & = & \cos \alpha \\\\ \vec{u} \cdot \vec{v} & = & |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha \end{array}

 

2Calculamos el producto interno de los vectores

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & 2 \cdot 3 + (-2)k \\\\ & = & 6 - 2k} \end{array}

 

3Dos vectores son perpendiculares si el ángulo entre ellos es de 90^o; el coseno de este ángulo es cero

 

4Calculamos la magnitud del primer vector

 

\begin{array}{rcl} | \vec{u} | & = & \sqrt{2^2 + k^2 \\\\ & = & \sqrt{4 + k^2} \end{array}

 

5Calculamos la magnitud del segundo vector

 

\begin{array}{rcl} | \vec{v} | & = & \sqrt{3^2 + (-2)^2 \\\\ & = & \sqrt{13} \end{array}

 

6Sustituimos en la fórmula inicial los valores previamente obtenidos y resolvemos para k

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha \\\\ 6 - 2k & = & \sqrt{4 + k^2} \cdot \sqrt{13} \cdot 0 \\\\ 6 - 2k & = & 0 \\\\ -2k & = & -6 \\\\ k & = & \cfrac{-6}{-2} \\\\ k & = & 3 \end{array}

 

Así, el valor buscado es k = 3

 

 

5Dados los vectores \vec{u} = (2, k), \ \vec{v} = (3, -2), calcula k para que los vectores \vec{u} y \vec{v} sean paralelos.

1A partir de la fórmula del ángulo entre dos vectores, se obtiene

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} & = & \cos \alpha \\\\ \vec{u} \cdot \vec{v} & = & |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha \end{array}

 

2Calculamos el producto interno de los vectores

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & 2 \cdot 3 + (-2)k \\\\ & = & 6 - 2k} \end{array}

 

3Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es de 0^o; el coseno de este ángulo es uno

 

4Calculamos la magnitud del primer vector

 

\begin{array}{rcl} | \vec{u} | & = & \sqrt{(2^2 + k^2 \\\\ & = & \sqrt{4 + k^2} \end{array}

 

5Calculamos la magnitud del segundo vector

 

\begin{array}{rcl} | \vec{v} | & = & \sqrt{3^2 + (-2)^2 \\\\ & = & \sqrt{13} \end{array}

 

6Sustituimos en la fórmula inicial los valores previamente obtenidos y resolvemos para k

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha \\\\ 6 - 2k & = & \sqrt{4 + k^2} \cdot \sqrt{13} \cdot 1 \\\\ 6 - 2k & = & \sqrt{4 + k^2} \cdot \sqrt{13} \\\\ (6 - 2k)^2 & = & \left ( \sqrt{4 + k^2} \cdot \sqrt{13} \right )^2 \\\\ 36 - 24k + 4k^2 & = & 13 \left ( 4 +k^2 \right ) \\\\ -9k^2 - 24k - 16 & = & 0 \\\\ -(3k + 4)^2 & = & 0 \\\\ 3k + 4 & = & 0 \\\\ k & = & -\cfrac{4}{3} \end{array}

 

Así, el valor buscado es k = -\cfrac{4}{3}

 

Otra forma de resolver el ejercicio es considerar la proporcionalidad de sus componentes

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{2}{3} & = & \cfrac{k}{-2} \\\\ k & = &  -\cfrac{4}{3} \end{array}

 

 

6Dados los vectores \vec{u} = (2, k), \ \vec{v} = (3, -2), calcula k para que los vectores \vec{u} y \vec{v} formen un ángulo de 60^o.

1A partir de la fórmula del ángulo entre dos vectores, se obtiene

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} & = & \cos \alpha \\\\ \vec{u} \cdot \vec{v} & = & |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha \end{array}

 

2Calculamos el producto interno de los vectores

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & 2 \cdot 3 + (-2)k \\\\ & = & 6 - 2k} \end{array}

 

3El ángulo entre lo dos vectores es de 60^o; el coseno de este ángulo es

 

\cos 60^o = \cfrac{1}{2}

 

4Calculamos la magnitud del primer vector

 

\begin{array}{rcl} | \vec{u} | & = & \sqrt{(2^2 + k^2 \\\\ & = & \sqrt{4 + k^2} \end{array}

 

5Calculamos la magnitud del segundo vector

 

\begin{array}{rcl} | \vec{v} | & = & \sqrt{3^2 + (-2)^2 \\\\ & = & \sqrt{13} \end{array}

 

6Sustituimos en la fórmula inicial los valores previamente obtenidos y resolvemos para k

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha \\\\ 6 - 2k & = & \sqrt{4 + k^2} \cdot \sqrt{13} \cdot \cfrac{1}{2} \\\\ 2(6 - 2k) & = & \sqrt{4 + k^2} \cdot \sqrt{13} \\\\ 4(6 - 2k)^2 & = & \left ( \sqrt{4 + k^2} \cdot \sqrt{13} \right )^2 \\\\ 144 - 96k + 16k^2 & = & 13 \left ( 4 +k^2 \right ) \\\\ 3k^2 - 96k + 92 & = & 0 \end{array}

 

7Resolvemos empleando la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación de segundo grado

 

\begin{array}{rcl} k & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-(-96) \pm \sqrt{(-96)^2 - 4(3)(92)}}{2(3)} \\\\ & = & \cfrac{96 \pm \sqrt{8112}}{6} \\\\ & = & \cfrac{96 \pm 90.07}{6} \end{array}

 

Las raíces son k = 31.01, \ k = 0.99, pero solamente k = 0.99 es solución de 6 - 2k = \sqrt{4 + k^2} \cdot \sqrt{13} \cdot \cfrac{1}{2}, ya que tuvimos que elevar al cuadrado para obtener las soluciones. Así, el valor buscado es k = 0.99.

 

 

7Hallar k si el ángulo que forman \vec{u} = (3, k) y \vec{v} = (2, -1)  vale \alpha = 90^o.

1A partir de la fórmula del ángulo entre dos vectores, se obtiene

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} & = & \cos \alpha \\\\ \vec{u} \cdot \vec{v} & = & |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha \end{array}

 

2Calculamos el producto interno de los vectores

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & 3 \cdot 2 + (-1)k \\\\ & = & 6 - k} \end{array}

 

3El coseno de 90^o es cero

 

4Calculamos la magnitud del primer vector

 

\begin{array}{rcl} | \vec{u} | & = & \sqrt{(3^2 + k^2 \\\\ & = & \sqrt{9 + k^2} \end{array}

 

5Calculamos la magnitud del segundo vector

 

\begin{array}{rcl} | \vec{v} | & = & \sqrt{2^2 + (-1)^2 \\\\ & = & \sqrt{5} \end{array}

 

6Sustituimos en la fórmula inicial los valores previamente obtenidos y resolvemos para k

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha \\\\ 6 - k & = & \sqrt{9 + k^2} \cdot \sqrt{5} \cdot 0 \\\\ 6 - k & = & 0 \\\\ -k & = & -6 \\\\ k & = & 6 \\\\ k & = & 3 \end{array}

 

Así, el valor buscado es k = 3

 

 

8Hallar k si el ángulo que forman \vec{u} = (3, k) y \vec{v} = (2, -1) vale \alpha = 0^o.

1A partir de la fórmula del ángulo entre dos vectores, se obtiene

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} & = & \cos \alpha \\\\ \vec{u} \cdot \vec{v} & = & |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha \end{array}

 

2Calculamos el producto interno de los vectores

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & 2 \cdot 3 + (-1)k \\\\ & = & 6 - k} \end{array}

 

3El coseno de 0^o es uno

 

4Calculamos la magnitud del primer vector

 

\begin{array}{rcl} | \vec{u} | & = & \sqrt{(3^2 + k^2 \\\\ & = & \sqrt{9 + k^2} \end{array}

 

5Calculamos la magnitud del segundo vector

 

\begin{array}{rcl} | \vec{v} | & = & \sqrt{2^2 + (-1)^2 \\\\ & = & \sqrt{5} \end{array}

 

6Sustituimos en la fórmula inicial los valores previamente obtenidos y resolvemos para k

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha \\\\ 6 - k & = & \sqrt{9 + k^2} \cdot \sqrt{5} \cdot 1 \\\\ 6 - k & = & \sqrt{9 + k^2} \cdot \sqrt{5} \\\\ (6 - k)^2 & = & \left ( \sqrt{9 + k^2} \cdot \sqrt{5} \right )^2 \\\\ 36 - 12k + k^2 & = & 5 \left ( 9 + k^2 \right ) \\\\ -4k^2 - 12k - 9 & = & 0 \\\\ -(2k + 3)^2 & = & 0 \\\\ 2k + 3 & = & 0 \\\\ k & = & -\cfrac{3}{2} \end{array}

 

Así, el valor buscado es k = -\cfrac{3}{2}

 

 

9Hallar k si el ángulo que forman \vec{u} = (3, k) y \vec{v} = (2, -1) vale \alpha = 45^o.

1A partir de la fórmula del ángulo entre dos vectores, se obtiene

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} & = & \cos \alpha \\\\ \vec{u} \cdot \vec{v} & = & |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha \end{array}

 

2Calculamos el producto interno de los vectores

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & 2 \cdot 3 + (-1)k \\\\ & = & 6 - k} \end{array}

 

3El ángulo entre lo dos vectores es de 45^o; el coseno de este ángulo es

 

\cos 45^o = \cfrac{\sqrt{2}}{2}

 

4Calculamos la magnitud del primer vector

 

\begin{array}{rcl} | \vec{u} | & = & \sqrt{3^2 + k^2 \\\\ & = & \sqrt{9 + k^2} \end{array}

 

5Calculamos la magnitud del segundo vector

 

\begin{array}{rcl} | \vec{v} | & = & \sqrt{2^2 + (-1)^2 \\\\ & = & \sqrt{5} \end{array}

 

6Sustituimos en la fórmula inicial los valores previamente obtenidos y resolvemos para k

 

\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \alpha \\\\ 6 - k & = & \sqrt{9 + k^2} \cdot \sqrt{5} \cdot \cfrac{\sqrt{2}}{2} \\\\ (6 - k)^2 & = & \left ( \sqrt{9 + k^2} \cdot \sqrt{5} \cdot \cfrac{\sqrt{2}}{2} \right )^2  \\\\ 2(36 - 12k +k^2) & = & \left (9 + k^2 \right ) \cdot 5 \\\\ 72 - 24k + 2k^2 & = & 45  + 5k^2  \\\\ -3k^2 - 24k + 27  & = & 0  \\\\  -3(k^2 + 8k - 9) & = & 0  \\\\  -3 (k + 9)(k - 1) & = & 0 \end{array}

 

Las raíces son k = -9, \ k = 1

 

 

10Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados AB y AC del triángulo: A(3,5), B(-2,0), C(0,-3), es paralelo al lado BC e igual a su mitad.

1Representamos gráficamente

 

segmento paralelo a un lado del triangulo

 

2Calculamos el punto medio del lado AB

 

M \left ( \cfrac{3 - 2}{2}, \cfrac{5 + 0}{2} \right ) = M \left ( \cfrac{1}{2}, \cfrac{5}{2} \right )

 

3Calculamos el punto medio del lado AC

 

N \left ( \cfrac{3 + 0}{2}, \cfrac{5 - 3}{2} \right ) = N \left ( \cfrac{3}{2}, 1 \right )

 

4Calculamos el vector \overrightarrow{BC}

 

\begin{array}{rcl} \overrightarrow{BC}  & = & (0 -  (-2), -3 - 0) \\\\ & = & (2, -3) \end{array}

 

5Calculamos el vector \overrightarrow{MN}

 

\begin{array}{rcl} \overrightarrow{MN} & = & \left (\cfrac{3}{2} - \cfrac{1}{2}, 1 - \cfrac{5}{2} \right ) \\\\ & = & \left (1, -\cfrac{3}{2} \right ) \end{array}

 

6Calculamos la magnitud del primer vector

 

\begin{array}{rcl} | \overrightarrow{BC} | & = & \sqrt{2^2 + (-3)^2 \\\\ & = & \sqrt{13} \end{array}

 

7Calculamos la magnitud del segundo vector

 

\begin{array}{rcl} | \overrightarrow{MN} | & = & \sqrt{1^2 + \left (-\cfrac{3}{2} \right )^2 \\\\ & = & \cfrac{1}{2} \sqrt{13} \end{array}

 

8Para verificar si los dos vectores son paralelos, verificamos la proporcionalidad de sus componentes

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{1}{2} & = & \cfrac{-\cfrac{3}{2}}{-3} \\\\ \cfrac{1}{2} & = & \cfrac{1}{2} \end{array}

 

Como sus componentes son proporcionales, entonces los vectores son paralelos

 

 

11Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).

1Representamos gráficamente

 

Angulos interiores de un triangulo

 

2Calculamos el vector \overrightarrow{AB}

 

\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AB} & = & (3 - 6, 5 - 0) \\\\ & = & (-3, 5) \end{array}

 

3Calculamos el vector \overrightarrow{AC}

 

\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AC} & = & (-1 - 6, -1 - 0) \\\\ & = & (-7, -1) \end{array}

 

4Calculamos la magnitud de \overrightarrow{AB}

 

\begin{array}{rcl} | \overrightarrow{AB} | & = & \sqrt{(-3)^2 + 5^2 \\\\ & = & \sqrt{34} \end{array}

 

5Calculamos la magnitud de \overrightarrow{AC}

 

\begin{array}{rcl} | \overrightarrow{AC} | & = & \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2 \\\\ & = & \sqrt{50} \end{array}

 

6Calculamos el producto interno de ambos vectores

 

\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} & = & (-3) \cdot (-7) + 5 \cdot (-1) \\\\ & = & 16 \end{array}

 

7Sustituimos los valores previamente obtenidos, en la fórmula del ángulo \alpha entre dos vectores

 

\begin{array}{rcl} \cos \alpha & = & \cfrac{16}{\sqrt{34} \cdot \sqrt{50}} \\\\ & = & 0.388 \end{array}

 

El valor \alpha corresondiente al vértice A que satisface la igualdad anterior es \alpha = 67^o \, 10'

 

8Calculamos el vector \overrightarrow{BA}

 

\begin{array}{rcl} \overrightarrow{BA} & = & (6 - 3, 0 - 5) \\\\ & = & (3, -5) \end{array}

 

9Calculamos el vector \overrightarrow{BC}

 

\begin{array}{rcl} \overrightarrow{BC} & = & (-1 - 3, -1 - 5) \\\\ & = & (-4, -6) \end{array}

 

10Calculamos la magnitud de \overrightarrow{BA}

 

\begin{array}{rcl} | \overrightarrow{BA} | & = & \sqrt{3^2 + (-5)^2 \\\\ & = & \sqrt{34} \end{array}

 

11Calculamos la magnitud de \overrightarrow{BC}

 

\begin{array}{rcl} | \overrightarrow{BC} | & = & \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2 \\\\ & = & \sqrt{52} \end{array}

 

12Calculamos el producto interno de ambos vectores

 

\begin{array}{rcl} \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} & = & 3 \cdot (-4) + (-5) \cdot (-6) \\\\ & = & 18 \end{array}

 

13Sustituimos los valores previamente obtenidos, en la fórmula del ángulo \beta entre dos vectores

 

\begin{array}{rcl} \cos \beta & = & \cfrac{18}{\sqrt{34} \cdot \sqrt{52}} \\\\ & = & 0.428 \end{array}

 

El valor \beta corresondiente al vértice B que satisface la igualdad anterior es \alpha = 64^o \, 39'

 

14Como la suma de os ángulos interiores de un triángulo es 180^o, entonces el ángulo \gamma correspondiente al vértice C es

 

\begin{array}{rcl} \gamma & = & 180^o - \alpha - \beta \\\\ & = & 180^o - 67^o \, 10' - 64^o \, 39' \\\\ & = & 48^o \, 11' \end{array}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗