Definición de vectores linealmente independientes

 

Varios vectores libres \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

 

Lo anterior quiere decir que si la combinación lineal de los n vectores es igual al vector cero, entonces cada uno de los coeficientes de la combinación lineal es cero

 

a_1 \vec{v}_1 + a_2 \vec{v}_2 + \cdots + a_n \vec{v}_n =  \vec{0} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0

 

Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

 

Otra forma de determinar que los vectores son linealmente independientes es mediante el determinantes de la matriz de sus componentes, si este es distinto de cero entonces los vectores son linealmente independientes; en caso contrario se dice que los vectores son linealmente dependientes.

 

Det \left( \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \right) = \left | \begin{array}{ccc} v_{11} & \cdots & v_{n1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ v_{1n} & \cdots & v_{nn}    \end{array}\right | \neq 0

 

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Ejercicios de vectores liealmente independientes

 

1Estudiar si son linealmente dependientes o independientes los vectores:

\vec{u} = (2, 3, 1), \ \vec{v} = (1, 0, 1), \ \vec{w} = (0, 3, -1).

1Escribimos la matriz de componentes

 

\left ( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & -1    \end{array} \right )

 

2Calculamos el determinante de la matriz de componentes

 

\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & -1    \end{array}\right | & = & 2 \left | \begin{array}{cc}  0 & 3 \\ 1 & -1 \\   \end{array}\right | - 1 \left | \begin{array}{cc} 3 & 3 \\ 1 & -1 \\   \end{array}\right | \\\\  & = & 2(-3) - (-3 - 3) \\\\  & = & 0 \end{array}

 

3Como el determinante es cero, entonces concluimos que los vectores son linealmente dependientes.

 

2Siendo \vec{u} = (1, 0, 1), \ \vec{v} = (1, 1, 0), \ \vec{w} = (0, 1, 1), demostrar que dichos vectores son linealmente independientes y expresa el vector \vec{m} = (1, 2, 3) como combinación lineal de dichos vectores.

1Escribimos la matriz de componentes

 

\left ( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1  \end{array} \right )

 

2Calculamos el determinante de la matriz de componentes

 

\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1  \end{array}\right | & = & 1 \left | \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right | - 1 \left | \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array}\right | \\\\ & = & 1(1) - 1(-1) \\\\ & = & 2 \end{array}

 

3Como el determinante es distinto de cero, entonces concluimos que los vectores son linealmente independientes.

 

4Para expresar \vec{m} como combinación lineal de \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}, escribimos dicha expresión

 

\begin{array}{rcl} (1, 2, 3) & = & a(1, 0, 1) + b(1, 1, 0) + c(0, 1, 1)\end{array}

 

5Realizamos las operaciones en la parte derecha de la ecuación

 

\begin{array}{rcl} (1, 2, 3) & = & a(1, 0, 1) + b(1, 1, 0) + c(0, 1, 1) \\\\ & = & (a + b, b + c, a + c) \end{array}

 

6Igualando las coordenadas, se obtiene el sistema de ecuaciones

 

\left \{ \begin{array}{l} a + b = 1, \\ b + c = 2,\\ a + c = 3 \end{array} \right.

 

7Sumando miembro a miembro las tres ecuaciones y simplificando se obtiene

 

2a + 2b + 2c = 6 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a + b + c = 3

 

8A la ecuación obtenida se le resta cada una de las ecuaciones y se obtiene

 

\left \{ \begin{array}{l} a + b + c = 3, \\ a + b = 1, \end{array} \right. \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c = 2

 

\left \{ \begin{array}{l} a + b + c = 3, \\ b + c = 2, \end{array} \right. \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a = 1

 

\left \{ \begin{array}{l} a + b + c = 3, \\ a + c = 3, \end{array} \right. \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b = 0

 

Así, \vec{m} = \vec{u} + 2 \vec{w}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗