Definiciones importantes sobre vectores

 

Vectores equipolentes

 

Ejemplo de vectores equipolentes

 

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.

 

Vectores libres

 

Ejemplo de vectores libres

 

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

 

Vectores fijos

 

Vector fijo

 

Un vector fijo es un representante del vector libre. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y origen.

 

Vectores ligados

 

Vectores ligados

 

Los vectores ligados son vectores equipolentes que actúan en la misma recta. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y se encuentran en la misma recta.

 

 

Vectores opuestos

 

Ejemplo de vectores opuestos

 

Los vectores opuestos tienen el mismo módulo, dirección, y distinto sentido.

 

 

Vectores unitarios

 

Vector unitario

 

Los vectores untario tienen de módulo, la unidad. Esto quiere decir que un vector \displaystyle \vec{v} es unitario si

 

\displaystyle || \vec{v}|| = 1

 

Para obtener un vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado se divide éste por su módulo.

 

Vectores concurrentes

Ejemplo de vectores concurrentes

 

Los vectores concurrentes tienen el mismo origen.

 

 

Vector de posición

 

Vector posición

 

El vector \displaystyle \overrightarrow{OP} que une el origen de coordenadas \displaystyle O = (0, 0) con un punto \displaystyle P = (P_1, P_2) se llama vector de posición del punto \displaystyle P.

 

Vectores linealmente independientes

 

Varios vectores linealmente independientes

 

Hay dos formas principales de definir esto. La primera es que varios vectores libres del plano son linealmente independientes si ninguno puede expresarse como una combinación lineal de los demás. La segunda es que varios vectores libres del plano son linealmente independientes si es que si existe una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal. Esto es, los vectores \displaystyle \vec{v_1}, \vec{v_2}, \dots, \vec{v_n} son linealmente independientes si existen números reales \displaystyle a_1, a_2, \cdots, a_n no todos cero (al menos algún \displaystyle a_i \neq 0) tal que

 

\displaystyle a_1 \vec{v_1} + a_2 \vec{v_2} + \cdots + a_n \vec{v_n} = \vec{0}

 

Vectores linealmente dependientes

 

Vectores linealmente dependientes

 

De igual manera hay dos formas principales de definir esto. La primera es que varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si alguno puede expresarse como una combinación lineal de los demás. La segunda es que varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si la única manera de que una combinación lineal de estos sea igual al vector cero es que todos los coeficientes sean igual al escalar cero. Esto es, tenemos que si se cumple que

 

\displaystyle a_1 \vec{v_1} + a_2 \vec{v_2} + \cdots + a_n \vec{v_n} = \vec{0}

 

entonces esto solo puede pasar si

 

\displaystyle a_1 = a_2 = \cdots = a_n

 

Vectores ortogonales

 

Vectores ortogonales

 

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto escalar es cero. Esto es, los vectores \vec{v} = (v_1, v_2) y \vec{u} = (u_1, u_2) son ortogonales si y sólo si

 

\displaystyle \vec{v} \cdot \vec{u} = v_1u_1 + v_2u_2 = 0 .

 

 

Vectores ortonormales

 

Vector ortogonal y normal, ortonormal

 

Dos vectores \vec{v} = (v_1, v_2) y \vec{u} = (u_1, u_2) son ortonormales si cumplen los siguiente:

 

    • Son ortogonales:

      \displaystyle \vec{v} \cdot \vec{u} = 0

       

 

  • Son unitarios: 

    \displaystyle ||\vec{v}|| = 1, \qquad ||\vec{u}|| = 1

     

 

Los/las mejores profesores/as de Matemáticas que están disponibles
¡1a clase gratis!
José arturo
4,9
4,9 (36 opiniones)
José arturo
12€
/h
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (26 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (45 opiniones)
Alex
12€
/h
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (77 opiniones)
José angel
5€
/h
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (11 opiniones)
Fátima
12€
/h
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (24 opiniones)
Santiago
9€
/h
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (94 opiniones)
Julio
14€
/h
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (51 opiniones)
Amin
10€
/h
¡1a clase gratis!
José arturo
4,9
4,9 (36 opiniones)
José arturo
12€
/h
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (26 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (45 opiniones)
Alex
12€
/h
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (77 opiniones)
José angel
5€
/h
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (11 opiniones)
Fátima
12€
/h
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (24 opiniones)
Santiago
9€
/h
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (94 opiniones)
Julio
14€
/h
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (51 opiniones)
Amin
10€
/h
1ª clase gratis>

Ejemplos sobre vectores

 

1. Dado el vector \vec{u} = (2, -1), determinar dos vectores equipolentes a \vec{u}, \overrightarrow{AB} y \overrightarrow{CD}, sabiendo que A(1, -3) y D(2, 0).

 

Para resolver este ejercicio, notemos que \vec{u} es el vector posición del punto P(2, -1), y notemos que P - O = (2 - 0, -1 - 0) = (2, -1) (O es el origen), esto es, el vector está definido por la diferencia de los puntos que une, así, todo vector equipolente a \vec{u} debe cumplir que el punto final menos el inicial es igual a P - O = (2, -1). Dicho esto, tenemos el punto inicial del vector \overrightarrow{AB}, A(1, -3), ahora solo debemos encontrar el punto final B(b_1, b_2), eso lo haremos de la siguiente manera

 

     \begin{align*} B(b_1, b_2) - A(1, -3) &= (2, -1)\\ (b_1 - 1, b_2 + 3) &= (2, -1)\\ (b_1, b_2) &= (2 + 1, -1 - 3)\\ (b_1, b_2) &= (3, -4)\\ \end{align*}

 

Esto nos dice que B(3, -4). Ahora encontraremos el punto inicial del vector \overrightarrow{CD}, dado que ya conocemos el final D(2, 0)

 

     \begin{align*} D(2, 0) - C(c_1, c_2) &= (2, -1)\\ (2 - c_1, 0 - c_2) &= (2, -1)\\ (2 - c_1, - c_2) &= (2, -1)\\ (- c_1, - c_2) &= (2 - 2, -1)\\ (- c_1, - c_2) &= (0, -1)\\ (c_1, c_2) &= (0, 1)\\ \end{align*}

 

Esto nos dice que C(0, 1).

 

2. Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-1, -2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.

 

Nuestro paralelogramo se muestra en la siguiente imagen

 

Paralelogramo con vectores

 

Nuestra tarea es encontrar las coordenadas de D. Para esto procederemos igual que en el ejercicio anterior. Tenemos que los vectores \overrightarrow{AB} y \overrightarrow{CD} deben de ser vectores equipolentes, por lo tanto, tenemos que B - A = D - C. Por medio de esta igualdad despejaremos los valores de las coordenadas del punto D

 

     \begin{align*} B(4, -1) - A(-1, -2) &= D(d_1, d_2) - C(5, 2)\\ B(4, -1) - A(-1, -2) + C(5, 2) &= D(d_1, d_2) \\ (4 - (-1) + 5, -1 - (-2) + 2) &= (d_1, d_2) \\ (10, 3) &= (d_1, d_2) \\ \end{align*}

 

Así, nuestro punto es D(10, 3).

 

3. Si \displaystyle \vec{v} es un vector de componentes \displaystyle (3, 4), hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.

 

Para resolver esto primero obtendremos la magnitud de nuestro vector

 

\displaystyle || \vec{v} || = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5

 

Nuestro vector deseado es simplemente el vector \displaystyle \vec{v} entre su magnitud, esto es

 

\displaystyle \vec{u} = \frac{\vec{v}}{5} = \left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right)

 

4. Hallar un vector unitario de la misma dirección que el vector \displaystyle \vec{v} = (8, -6).

 

Para resolver esto primero obtendremos la magnitud de nuestro vector

 

\displaystyle || \vec{v} || = \sqrt{(8)^2 + (-6)^2} = 10

 

Nuestro vector deseado es simplemente el vector \displaystyle \vec{v} entre su magnitud, esto es

 

\displaystyle \vec{u} = \frac{\vec{v}}{10} = \left( \frac{8}{10}, \frac{-6}{10} \right) = \left( \frac{4}{5}, \frac{-3}{5} \right).

 

Notemos que el vector \displaystyle -\vec{u} también es unitario, tiene la misma dirección, pero tiene sentido opuesto.

 

5. Hallar un vector unitario \displaystyle \vec{u} que tenga la misma dirección que el vector \displaystyle \vec{v} = 8 i - 6 j

 

Para resolver esto primero obtendremos la magnitud de nuestro vector

 

\displaystyle || \vec{v} || = \sqrt{(8)^2 + (-6)^2} = 10

 

Nuestro vector deseado es simplemente el vector \displaystyle \vec{v} entre su magnitud, esto es

 

\displaystyle \vec{u} = \frac{8 i - 6 j}{10} = \frac{8}{10}i - \frac{6}{10}j =\frac{4}{5}i - \frac{3}{5}j.

 

Notemos que el vector \displaystyle -\vec{u} también es unitario, tiene la misma dirección, pero tiene sentido opuesto.

 

Encuentra a tu profesor de matemáticas ideal en Madrid gracias a Superprof.

¿Necesitas un profesor de Matemáticas?

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,25/5 - 60 vote(s)
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗