Combinación lineal

 

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares

 

{\vec{v}=a_{1}\vec{v}_{1}+a_{2}\vec{v}_{2}+\cdots +a_{n}\vec{v}_{n}}

 

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.

 

{\vec{w}=2\vec{u}+3\vec{v}}

 

Esta combinación lineal es única.

 

Representación gráfica de combinación lineal de vectores

 

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

 

{a_{1}\vec{v}_{1}+a_{2}\vec{v}_{2}+\cdots +a_{n}\vec{v}_{n}=\vec{0}}

 

Propiedades

1 Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

 

{a_{1}\vec{v}_{1}+a_{2}\vec{v}_{2}+\cdots +a_{n}\vec{v}_{n}=\vec{0} \ \ \Longrightarrow \ \ \vec{v}_{1}=-\displaystyle\frac{a_{2}}{a_{1}}\vec{v}_{2}-\cdots -\displaystyle\frac{a_{n}}{a_{1}}\vec{v}_{n}}

 

También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

 

2 Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.

 

3 Dos vectores libres del plano {\vec{u}=(u_{1},u_{2}), \, \vec{v}=(v_{1},v_{2})} son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

 

{\displaystyle \frac{v_{1}}{u_{1}}=\frac{v_{2}}{u_{2}}=k}

 

4 {n} vectores en {\mathbb{R}^{n}} son linealmente dependientes si su determinante es igual a cero.

 

Ejemplo:

 

Determinar los valores de {k} para que sean linealmente dependientes los vectores {\vec{u}=(3, k, -6), \, \vec{v}=(-2, 1, k+3), \, \vec{w}=(1, k+2, 4)}. Escribir {\vec{u}} como combinación lineal de {\vec{v}} y {\vec{w}}, siendo {k} el valor calculado.

 

Los vectores son linealmente dependientes si el determinante de la matriz que forman es nulo, es decir que el rango de la matriz es menor que 3.

 

1Calculamos el determinante

 

{\left|\begin{array}{ccc} 3 & k & -6 \\ -2 & 1 & k+3 \\ 1 & k+2 & 4 \end{array}\right| = k^{2}-4k-12}

 

2Igualamos el determinante a cero

 

{k^{2}-4k-12=0}

 

3Resolvemos la ecuación y obtenemos

 

{k=-2, \ \ k=6}

 

4Así para {k=-2} los vectores son {\vec{u}=(3, -2, -6), \, \vec{v}=(-2, 1, 1), \, \vec{w}=(1, 0, 4)}. Escribimos {\vec{u}} en términos de {\vec{v}} y {\vec{w}}

 

{(3, -2, -6)=a(-2, 1, 1)+b(1, 0, 4)}

 

5Calculamos los valores de los escalares {a,b}

 

{\begin{array}{rcl} (3, -2, -6)&=&a(-2, 1, 1)+b(1, 0, 4) \\ && \\ &=& (-2a+1, a, a+4b) \end{array}}

 

6Igualando las coordenadas del lado izquierdo con las del derecho y resolviendo las ecuaciones obtenemos {a=-2, \ \ b=-1}

 

7Así la combinación lineal buscada es

 

{\vec{u}=-2\vec{v}-\vec{w}}

 

8Se repiten los pasos 4, 5, 6 y 7 para {k=6}

 

 

Vectores linealmente independientes

 

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes, de manera que si la combinación lineal es igual a cero, entonces cada uno de sus coeficientes es igual a cero

 

{a_{1}\vec{v}_{1}+a_{2}\vec{v}_{2}+\cdots +a_{n}\vec{v}_{n}=\vec{0} \ \ \Longrightarrow \ \ a_{1}=a_{2}= \cdots =a_{n}=0}

 

Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

 

{n} vectores en {\mathbb{R}^{n}} son linealmente independientes si su determinante es distinto de cero.

 

Ejemplo:

 

Estudiar si son linealmente dependientes o independientes los vectores {\vec{u}=(2, 3, 1), \, \vec{v}=(1, 0, 1), \, \vec{w}=(0, 3, -1)}

 

1Calculamos el determinante de los vectores

 

{\left|\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \end{array}\right| = 0}

 

2Como el determinante es igual a cero, concluimos que los vectores son linealmente dependientes.

 

Base

 

Tres vectores {\vec{u}, \, \vec{v} \, \vec{w}} con distinta dirección forman una base, porque cualquier vector {\vec{A}} del espacio se puede representar como combinación lineal de ellos

 

{\vec{A}=a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}}

 

Las coordenadas del vector respecto a la base son:

 

{\vec{A}=(a, b, c)}

 

Base ortogonal

 

Una base es ortogonal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí.

 

Base ortonormal

 

Una base es ortonormal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí, y además tienen módulo 1.

 

La base formada por los vectores {\hat{i}=(1,0,0), \, \hat{j}=(0,1,0), \, \hat{k}=(0,0,1)} se denomina base canónica.

 

Ejemplo:

 

¿Para que valores de {a} los vectores {\vec{u}=(1, 1, 1), \, \vec{v}=(1, a, 1), \, \vec{w}=(1, 1, a)} forman una base?

 

1Calculamos el determinante de los vectores

 

{\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{array}\right| = a^{2}-2a+1}

 

2El determinante se hace cero para {a=1}, luego los vectores son linealmente dependientes y no forman una base si {a=1}.

 

3El determinante es distinto de cero para {a\neq 1}, luego los vectores son linealmente independientes y forman una base si {a\neq 1}.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗