Definición y propiedades del baricentro

 

El baricentro de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas. En la siguiente imagen podemos observar el baricentro de un triángulo:

 

baricentro de un triángulo

 

Las coordenadas del baricentro del triángulo con vértices A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) y C(x_3, y_3) son

 

\displaystyle G\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)

 

Recordemos que las medianas de un triángulo son las rectas que unen el punto medio de cualquier lado con el vértice opuesto. Así, en la siguiente figura el punto N es el punto medio entre B y C (y ocurre algo similar con los puntos M y P).

 

medianas de un triángulo

 

Ahora, consideremos un triángulo en el espacio, cuyas coordenadas son A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2) y C(x_3, y_3, z_3). En este caso, las coordenadas del baricentro son

 

\displaystyle G\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} \right)

 

En geometría, los términos de baricentro, centro de gravedad y centroide son sinónimos. Sin embargo, en física el concepto de centro de gravedad depende de la densidad del objeto y es diferente al baricentro.

 

Asimismo, si un objeto se forma con n puntos A_1(x_1, y_1), A_2(x_2, y_2), \dots, A_n(x_n, y_n), entonces las coordenadas del baricentro son

 

\displaystyle G\left( \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}, \frac{y_1 + y_2 + \cdots + y_n}{n} \right)

 

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Ejemplos

 

1 Encuentra las coordenadas del baricentro para:

 

a un triángulo con vértices en A(-3, -2), B(7, 1) y C(2, 7),

 

b el triángulo con vértices A(1, 2), B(-3, 4) y C(-1, 3).

 

En este ejercicio sólo debemos utilizar la fórmula del baricentro de un triángulo. Así:

 

a Para el primer inciso tenemos

 

\displaystyle G\left( \frac{-3+7+2}{3}, \frac{-2+1+7}{3} \right) = G(2, 2)

 

b Mientras que para el segundo inciso tenemos

 

\displaystyle G\left( \frac{1 -3 - 1}{3}, \frac{2 + 4 + 3}{3} \right) = G(-1, 3)

 

2 Considera un triángulo donde dos de sus vértices son A(2, 1) y B(1, 0). Si el baricentro del triángulo es G(2/3, 0), ¿cuáles son las coordenadas del tercer vértice C?

 

Denotemos las coordenadas de C como C(x, y). Entonces el baricentro se calcula utilizando

 

\displaystyle G\left( \frac{2 + 1 + x}{3}, \frac{1 + 0 + y}{3} \right) = G\left( \frac{3 + x}{3}, \frac{1 + y}{3} \right)

 

Pero también tenemos que G(2/3, 0), por lo que

 

\displaystyle \frac{3 + x}{3} = \frac{2}{3}, \qquad \frac{1 + y}{3} = 0

 

Multiplicando por 3, obtenemos

 

\displaystyle 3 + x = 2, \qquad 1 + y = 0

 

De aquí se sigue que x = -1 y y = -1. Por lo tanto, el vértice C es

 

\displaystyle C(-1, -1)

 

3 Sean A = (2, 1, 0), B = (1, 1, 1) y C = (4, 1, -2) los vértices de un triángulo en el espacio. Determina las coordenadas de su baricentro.

 

Simplemente utilizamos la fórmula de las coordenadas del baricentro:

 

\displaystyle G\left( \frac{2 + 1 + 4}{3}, \frac{1 + 1+ 1}{3}, \frac{0 + 1 - 2}{3} \right) = G\left( \frac{7}{3}, 1, -\frac{1}{3} \right)

 

4 Dado el triángulo de vértices A(2, 3, 4), B(1, -1, 5) y C(5, 5, 4), encuentra:

 

a las ecuaciones de las medianas del triángulo,

 

b las coordenadas del baricentro del triángulo,

 

c las coordenadas del baricentro del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados del triángulo ABC.

 

Observa la siguiente figura:

 

imagen del ejercicio

 

a El primer paso será calcular las coordenadas de los puntos M, N y P. Notemos que M es el punto medio de A y C, es decir,

 

\displaystyle M\left( \frac{2 + 5}{2}, \frac{3 + 5}{2}, \frac{4 + 4}{2} \right) = M\left( \frac{7}{2}, 4, 4 \right)

 

Similarmente, N es el punto medio de B y C,

 

\displaystyle N\left( \frac{1 + 5}{2}, \frac{-1 + 5}{2}, \frac{5 + 4}{2} \right) = N\left( 3, 2, \frac{9}{2} \right)

 

Luego, P es el punto medio de A y B,

 

\displaystyle P\left( \frac{2 + 1}{2}, \frac{3 - 1}{2}, \frac{4 + 5}{2} \right) = P\left( \frac{3}{2}, 1, \frac{9}{2} \right)

 

De este modo, ya tenemos los puntos medios y ya podemos calcular las ecuaciones de las rectas. Como tenemos rectas en el espacio, entonces la ecuación de la recta es la ecuación parametrizada. Recordemos que si A y B son dos puntos en el espacio, entonces la ecuación de la recta que pasa por A y B es

 

\displaystyle (x, y, z) = (B - A)t + A

 

Así, la mediana que pasa por A y N es

 

    \begin{align*} (x, y, z) &= \left( 3 - 2, 2 - 3, \frac{9}{2} - 4 \right)t + (2, 3, 4)\\& = \left( 1, -1, \frac{1}{2}\right)t + (2, 3, 4)\\& = \left( t + 2, -t + 3, \frac{t}{2} + 4 \right)\end{align*}

 

es decir

 

\displaystyle \mathbf{r}(t) \equiv (x, y, z) = \left( t + 2, -t + 3, \frac{t}{2} + 4 \right)

 

Luego, la mediana que pasa por B y M es

 

    \begin{align*} (x, y, z) &= \left( \frac{7}{2} - 1, 4 + 1, 4 - 5 \right)t + (1, -1, 5)\\& = \left( \frac{5}{2}, 5, -1\right)t + (1, -1, 5)\\& = \left( \frac{5t}{2} + 1, 5t - 1, -t + 5 \right)\end{align*}

 

es decir

 

\displaystyle \mathbf{s}(t) \equiv (x, y, z) = \left( \frac{5t}{2} + 1, 5t - 1, -t + 5 \right)

 

Por último, la mediana que pasa por C y P es

 

    \begin{align*} (x, y, z) &= \left( \frac{3}{2} - 5, 1 - 5, \frac{9}{2} - 4 \right)t + (5, 5, 4)\\& = \left( -\frac{7}{2}, -4, \frac{1}{2} \right)t + (5, 5, 4)\\& = \left( -\frac{7t}{2} + 5, -4t + 5, \frac{t}{2} + 4 \right)\end{align*}

 

es decir

 

\displaystyle \mathbf{u}(t) \equiv (x, y, z) = \left( -\frac{7t}{2} + 5, -4t + 5, \frac{t}{2} + 4 \right)

 

b Para calcular las coordenadas del baricentro tenemos dos opciones: encontrar la intersección de las tres medianas o utilizar la fórmula que ya conocemos. Como es más sencillo utilizar la fórmula, es lo que haremos:

 

\displaystyle G\left( \frac{2 + 1 + 5}{3}, \frac{3 - 1 + 5}{3}, \frac{4 + 5 + 4}{3} \right) = G\left( \frac{8}{3}, \frac{7}{3}, \frac{13}{3} \right)

 

c Ahora calcularemos el baricentro del triángulo MNP. Utilizamos la misma fórmula

 

\displaystyle G_2\left( \frac{7/2 + 3 + 3/2}{3}, \frac{4 + 2 + 1}{3}, \frac{4 + 9/2 + 9/2}{3} \right) = G_2\left( \frac{8}{3}, \frac{7}{3}, \frac{13}{3} \right)

 

Observemos que ambos triángulos tienen el mismo baricentro.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗