Definición y propiedades

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por algunos escalares. Es decir, una combinación lineal es una expresión de la forma:

 

\displaystyle \vec{v} = a_1 \vec{v_1} + a_2 \vec{v_2} + \cdots + a_n \vec{v_n}

 

Para el caso particular de dos vectores \vec{u}, \vec{v} , y dos números a,b, entonces una combinación lineal de \vec{u}  y \vec{v} está dada por el vectora\vec{u}+b\vec{v} .

 

La siguiente figura muestra la representación gráfica del vector \displaystyle \vec{w} = 2\vect{u} + 3\vect{v}.

 

combinacion lineal de los vectores u y v

 

Nota: Cualquier vector en el plano se puede poner como combinación lineal de otros dos vectores que tengan distinta dirección. Asimismo, esta combinación lineal es única.

 

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Ejemplos

 

1Dados los vectores \vec{x} = (1, 2) y \vec{y} = (3, -1) , hallar el vector combinación lineal \vec{z} = 2\vec{x} + 3\vec{y}.

 

Solución: Para encontrar el vector \vec{z}, simplemente realizamos las operaciones necesarias:

 

\displaystyle \vec{z} = 2(1, 2) + 3(3, -1) = (2, 4) + (9, -3) = (11, 1)

 

Por lo que,

 

\displaystyle \vec{z} = (11, 1)

 

2 Expresa al vector \vec{z} = (2, 1) como una combinación lineal de los vectores \vec{x} = (3, -2) y \vec{y} = (1, 4).

 

Solución: Supongamos que \vec{z} se puede escribir como una combinación lineal de \vec{x} y vec{y}, es decir, existen constantes a, b tales que \vec{z} = a \vec{x} + b\vec{y}. Por lo tanto, solo debemos encontrar estas constantes:

 

(2, 1) = a(3, -2) + b(1, 4) = (3a, -2a) + (b, 4b)

 

Por tanto, tenemos que

 

(2, 1) = (3a + b, -2a + 4b)

Es decir, las constantes a, b deben resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineal:

 

\displaystyle \begin{cases} 3a + b = 2\\ -2a + 4b = 1 \end{cases}

 

Cuya solución está dada por

 

\displaystyle a = \frac{1}{2}, \quad b = \frac{1}{2}

 

De este modo, \vec{z} se puede escribir como

 

\displaystyle \vec{z} = \frac{1}{2} \vec{x} + \frac{1}{2} \vec{y}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗