Definición y propiedades

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por algunos escalares. Es decir, una combinación lineal es una expresión de la forma:

 

\displaystyle \vec{v} = a_1 \vec{v_1} + a_2 \vec{v_2} + \cdots + a_n \vec{v_n}

 

Para el caso particular de dos vectores \vec{u}, \vec{v} , y dos números a,b, entonces una combinación lineal de \vec{u}  y \vec{v} está dada por el vectora\vec{u}+b\vec{v} .

 

La siguiente figura muestra la representación gráfica del vector \displaystyle \vec{w} = 2\vect{u} + 3\vect{v}.

 

combinacion lineal de los vectores u y v

 

Nota: Cualquier vector en el plano se puede poner como combinación lineal de otros dos vectores que tengan distinta dirección. Asimismo, esta combinación lineal es única.

 

Superprof

Ejemplos

 

1Dados los vectores \vec{x} = (1, 2) y \vec{y} = (3, -1) , hallar el vector combinación lineal \vec{z} = 2\vec{x} + 3\vec{y}.

 

Solución: Para encontrar el vector \vec{z}, simplemente realizamos las operaciones necesarias:

 

\displaystyle \vec{z} = 2(1, 2) + 3(3, -1) = (2, 4) + (9, -3) = (11, 1)

 

Por lo que,

 

\displaystyle \vec{z} = (11, 1)

 

2 Expresa al vector \vec{z} = (2, 1) como una combinación lineal de los vectores \vec{x} = (3, -2) y \vec{y} = (1, 4).

 

Solución: Supongamos que \vec{z} se puede escribir como una combinación lineal de \vec{x} y vec{y}, es decir, existen constantes a, b tales que \vec{z} = a \vec{x} + b\vec{y}. Por lo tanto, solo debemos encontrar estas constantes:

 

(2, 1) = a(3, -2) + b(1, 4) = (3a, -2a) + (b, 4b)

 

Por tanto, tenemos que

 

(2, 1) = (3a + b, -2a + 4b)

Es decir, las constantes a, b deben resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineal:

 

\displaystyle \begin{cases} 3a + b = 2\\ -2a + 4b = 1 \end{cases}

 

Cuya solución está dada por

 

\displaystyle a = \frac{1}{2}, \quad b = \frac{1}{2}

 

De este modo, \vec{z} se puede escribir como

 

\displaystyle \vec{z} = \frac{1}{2} \vec{x} + \frac{1}{2} \vec{y}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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