Name: La combinacion lineal de vectores
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Definición y propiedades

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por algunos escalares. Es decir, una combinación lineal es una expresión de la forma:

$\displaystyle \vec{v} = a_1 \vec{v_1} + a_2 \vec{v_2} + \cdots + a_n \vec{v_n}$

Para el caso particular de dos vectores $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , y dos números $a,b$ , entonces una combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ está dada por el vector $a\vec{u}+b\vec{v}$ .

La siguiente figura muestra la representación gráfica del vector $\displaystyle \vec{w} = 2\vect{u} + 3\vect{v}$ .

combinacion lineal de los vectores u y v

Nota: Cualquier vector en el plano se puede poner como combinación lineal de otros dos vectores que tengan distinta dirección. Asimismo, esta combinación lineal es única.

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Ejemplos

1Dados los vectores $\vec{x} = (1, 2)$ y $\vec{y} = (3, -1)$ , hallar el vector combinación lineal $\vec{z} = 2\vec{x} + 3\vec{y}$ .

Solución: Para encontrar el vector $\vec{z}$ , simplemente realizamos las operaciones necesarias:

$\displaystyle \vec{z} = 2(1, 2) + 3(3, -1) = (2, 4) + (9, -3) = (11, 1)$

Por lo que,

$\displaystyle \vec{z} = (11, 1)$

2 Expresa al vector $\vec{z} = (2, 1)$ como una combinación lineal de los vectores $\vec{x} = (3, -2)$ y $\vec{y} = (1, 4)$ .

Solución: Supongamos que $\vec{z}$ se puede escribir como una combinación lineal de $\vec{x}$ y $vec{y}$ , es decir, existen constantes $a, b$ tales que $\vec{z} = a \vec{x} + b\vec{y}$ . Por lo tanto, solo debemos encontrar estas constantes:

$(2, 1) = a(3, -2) + b(1, 4) = (3a, -2a) + (b, 4b)$

Por tanto, tenemos que

$(2, 1) = (3a + b, -2a + 4b)$

Es decir, las constantes $a, b$ deben resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineal:

$\displaystyle \begin{cases} 3a + b = 2\\ -2a + 4b = 1 \end{cases}$

Cuya solución está dada por

$\displaystyle a = \frac{1}{2}, \quad b = \frac{1}{2}$

De este modo, $\vec{z}$ se puede escribir como

$\displaystyle \vec{z} = \frac{1}{2} \vec{x} + \frac{1}{2} \vec{y}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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