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Definición y propiedades
Ejemplos de combinaciones lineales

Definición y propiedades

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por algunos escalares. Es decir, una combinación lineal es una expresión de la forma:

$\displaystyle \vec{v} = a_1 \vec{v_1} + a_2 \vec{v_2} + \cdots + a_n \vec{v_n}$

Para el caso particular de dos vectores $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , y dos números $a,b$ , entonces una combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ está dada por el vector $a\vec{u}+b\vec{v}$ .

La siguiente figura muestra la representación gráfica del vector $\displaystyle \vec{w} = 2\vect{u} + 3\vect{v}$ .

Nota: Cualquier vector en el plano se puede poner como combinación lineal de otros dos vectores que tengan distinta dirección. Asimismo, esta combinación lineal es única.

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Ejemplos de combinaciones lineales

1Dados los vectores $\vec{x} = (1, 2)$ y $\vec{y} = (3, -1)$ , hallar el vector combinación lineal $\vec{z} = 2\vec{x} + 3\vec{y}$ .

Solución: Para encontrar el vector $\vec{z}$ , simplemente realizamos las operaciones necesarias:

$\displaystyle \vec{z} = 2(1, 2) + 3(3, -1) = (2, 4) + (9, -3) = (11, 1)$

Por lo que,

$\displaystyle \vec{z} = (11, 1)$

2 Expresa al vector $\vec{z} = (2, 1)$ como una combinación lineal de los vectores $\vec{x} = (3, -2)$ y $\vec{y} = (1, 4)$ .

Solución: Supongamos que $\vec{z}$ se puede escribir como una combinación lineal de $\vec{x}$ y $vec{y}$ , es decir, existen constantes $a, b$ tales que $\vec{z} = a \vec{x} + b\vec{y}$ . Por lo tanto, solo debemos encontrar estas constantes:

$(2, 1) = a(3, -2) + b(1, 4) = (3a, -2a) + (b, 4b)$

Por tanto, tenemos que

$(2, 1) = (3a + b, -2a + 4b)$

Es decir, las constantes $a, b$ deben resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineal:

$\displaystyle \begin{cases} 3a + b = 2\\ -2a + 4b = 1 \end{cases}$

Cuya solución está dada por

$\displaystyle a = \frac{1}{2}, \quad b = \frac{1}{2}$

De este modo, $\vec{z}$ se puede escribir como

$\displaystyle \vec{z} = \frac{1}{2} \vec{x} + \frac{1}{2} \vec{y}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Azul Guerrero

Marzo 2022

Dado los vectores w=(3,4) v=(3,-3) y u=(4,6)

ariel

Febrero 2022

El vector x (3,5,8) es combinación lineal (CL) de los vectores

Javier

Diciembre 2021

A=(-2+1-1)

Ximena

Mostrar que w= (1, 2, 5) es combinación lineal de v1= (1, 1, 1); v2= (1, 2, 3); v3= (2, -1, 1)

Daniel

Determinar si v=1,2,1 es combinación lineal de a= 1,0,1 b=1,1,1

Marcela Barrios

Noviembre 2021

Excelente, claro y sencillo

astrid ojeda

esta informacion

kevin emmanuel carrazco ramirez

Comprobar si es una combinación lineal

v1 = (1,2,1) v2= (1,0,2) v3=(1,1,0)

vector v= (2,1,5)
ayuda porfa.

vector v= (2,1,5)

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