Marta

1 junio 2019

Temas

Definición y propiedades
Ejemplos

Definición y propiedades

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por algunos escalares. Es decir, una combinación lineal es una expresión de la forma:

$\displaystyle \vec{v} = a_1 \vec{v_1} + a_2 \vec{v_2} + \cdots + a_n \vec{v_n}$

Para el caso particular de dos vectores $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , y dos números $a,b$ , entonces una combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ está dada por el vector $a\vec{u}+b\vec{v}$ .

La siguiente figura muestra la representación gráfica del vector $\displaystyle \vec{w} = 2\vect{u} + 3\vect{v}$ .

Nota: Cualquier vector en el plano se puede poner como combinación lineal de otros dos vectores que tengan distinta dirección. Asimismo, esta combinación lineal es única.

Los/las mejores profesores/as de Matemáticas que están disponibles

Ejemplos

1Dados los vectores $\vec{x} = (1, 2)$ y $\vec{y} = (3, -1)$ , hallar el vector combinación lineal $\vec{z} = 2\vec{x} + 3\vec{y}$ .

Solución: Para encontrar el vector $\vec{z}$ , simplemente realizamos las operaciones necesarias:

$\displaystyle \vec{z} = 2(1, 2) + 3(3, -1) = (2, 4) + (9, -3) = (11, 1)$

Por lo que,

$\displaystyle \vec{z} = (11, 1)$

2 Expresa al vector $\vec{z} = (2, 1)$ como una combinación lineal de los vectores $\vec{x} = (3, -2)$ y $\vec{y} = (1, 4)$ .

Solución: Supongamos que $\vec{z}$ se puede escribir como una combinación lineal de $\vec{x}$ y $vec{y}$ , es decir, existen constantes $a, b$ tales que $\vec{z} = a \vec{x} + b\vec{y}$ . Por lo tanto, solo debemos encontrar estas constantes:

$(2, 1) = a(3, -2) + b(1, 4) = (3a, -2a) + (b, 4b)$

Por tanto, tenemos que

$(2, 1) = (3a + b, -2a + 4b)$

Es decir, las constantes $a, b$ deben resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineal:

$\displaystyle \begin{cases} 3a + b = 2\\ -2a + 4b = 1 \end{cases}$

Cuya solución está dada por

$\displaystyle a = \frac{1}{2}, \quad b = \frac{1}{2}$

De este modo, $\vec{z}$ se puede escribir como

$\displaystyle \vec{z} = \frac{1}{2} \vec{x} + \frac{1}{2} \vec{y}$

¿Necesitas un profesor de Matemáticas?

¿Te ha gustado el artículo?

Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vez

Aprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?

Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar

4,06/5 - 33 vote(s)

Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Comentarios

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

Cancelar la respuesta

Anthuam

Noviembre

Dado los vectores A=(2,-1,-2) ; B=(1,1,-1) y C=(0,1,0)
Compruebe si A es combinación lineal de B y C

Gabby

Febrero

Datos de Los vectores combinados lineal a=(1,5),d=(2,5)y c=(3,15)

maria

Marzo

resultado x igual 0 y yigual 1/3

Combinación lineal de vectores

Definición y propiedades

Ejemplos

Cancelar la respuesta

Resumen

Traslaciones, giros y simetría axial y central

Resumen de vectores y producto escalar

Teoría

Definición de vectores

Simétrico de un punto respecto de otro

Division de un segmento en una relación dada

El vector unitario o de magnitud uno

Suma y resta de vectores

Producto de un número por un vector

Resumen de vectores de un plano

¿Cuales son los elementos y las clases de vectores?

Sistema de referencia

Independencia lineal entre vectores

Operaciones de vectores en el espacio

Dependencia e independencia lineal. Bases

Transformaciones geométricas

Giros

Simetría central

Distancia entre dos puntos y modulo de un vector

Producto escalar de dos vectores

Operaciones con vectores – suma, resta y multiplicacion por escalar

Vectores en el espacio

Condicion para que tres puntos esten alineados

Traslaciones de vectores

Base ortogonal y base ortonormal de dos vectores

Simetria axial

Coordenadas del baricentro

Coordenadas del punto medio de un segmento

El vector de posicion y el vector en el plano

Producto escalar de vectores en el espacio cartesiano

Definicion y ejemplos del producto mixto de tres vectores

Definicion de vectores equipolentes y libres

Aplicaciones de vectores y segmentos

Fórmulas

Vectores ortogonales y ortonormales

Ejercicios de vectores en el espacio

Coordenadas cartesianas y polares

Vectores en el plano

Cosenos directores

Base ortogonal y base ortonormal – tres vectores

Distancia entre dos puntos

Dependencia e independencia lineal

Producto escalar de vectores parte II

Sistemas de referencia

Interpretación geométrica del producto escalar

Fórmulas del producto escalar de vectores

Fórmulas de vectores

Combinacion lineal de vectores en el espacio

Producto cruz

Tipos de vectores

Producto punto

Angulo de dos vectores

Vectores y coordenadas

Suma analitica y grafica de vectores

Multiplicacion de un escalar por un vector

¿Qué son los vectores linealmente independientes?

Vectores linealmente dependientes

Ejercicios interactivos

Ejercicios interactivos: el punto simetrico

Ejercicios interactivos del vector posición y coordenadas de un vector

Ejercicios interactivos: modulo de un vector, distancia entre dos puntos

Ejercicios interactivos de vectores unitarios

Ejercicios interactivos de operaciones con vectores

Ejercicios interactivos de las coordenadas del punto medio y del baricentro

Ejercicios interactivos de tres puntos alineados y división de un segmento en tres partes iguales

Ejercicios interactivos de traslaciones

Ejercicios interactivos de giros

Ejercicios interactivos de simetría central

Ejercicios interactivos de simetría axial

Ejercicios interactivos de homotecias

Ejercicios interactivos de tres puntos alineados y division de un segmento en tres partes iguales

Ejercicios interactivos de suma y resta de vectores

Otros ejercicios

Ejercicios de vectores (parte 2)

Ejercicios resueltos de vectores II