Name: Vectores en el espacio
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Vector en el espacio
Componentes de un vector en el espacio
Módulo de un vector
Distancia entre dos puntos
Vector unitario
Propiedades de la suma de vectores
Producto de un número real por un vector
Propiedades del producto de un número por un vector

Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje ${Z}$ , perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes ${X}$ e ${Y}$ .

Cada punto viene determinado por tres coordenadas ${P(x, y, z)}$ .

Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: ${XY, XZ}$ e ${YZ}$ . Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el primer octante las tres coordenadas son positivas.

${\vec{u}=(u_{1}, u_{2}, u_{3}), \ \ \ \vec{v}=(v_{1}, v_{2}, v_{3})}$

Vector en el espacio

Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

${\vec{v}=(3, 1, 2)}$

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Componentes de un vector en el espacio

Si las coordenadas de ${A}$ y ${B}$ son: ${A(x_1, y_1, z_1)}$ y ${B(x_{2}, y_{2}, z_{2})}$ Las coordenadas o componentes del vector ${\overrightarrow{AB}}$ son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

${\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=(x_{2}-x_{1}, y_{2}-y_{1}, z_{2}-z_{1})}$

Ejemplo:

Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo de vértices ${A(-3, 4, 0), B(3, 6, 3)}$ y ${C(-1, 2, 1)}$ .

${\overrightarrow{AB}=(3+3,6-4, 3-0)=(6,2,3)}$

${\overrightarrow{BA}=(-3-3,4-6, 0-3)=(-6,-2,-3)}$

${\overrightarrow{AC}=(-1+3,2-4, 1-0)=(2,-2,1)}$

${\overrightarrow{CA}=(-3+1,4-2, 0-1)=(-2,2,-1)}$

Módulo de un vector

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.

Cálculo del módulo conociendo sus componentes

El módulo de un vector ${\vec{u}=(u_{1}, u_{2}, u_{3})}$ es

${|\vec{u}|=\sqrt{u_{1}^{2}+ u_{2}^{2}+ u_{3}^{2}}}$

Ejemplo:

Dados los vectores ${\vec{u}=(3, 1, -1)}$ y ${\vec{v}=(2, 3, 4)}$ , hallar los módulos de ${\vec{u}}$ y ${\vec{v}}$ ·

${|\vec{u}|=\sqrt{3^{2}+ 1^{2}+ (-1)^{2}}=\sqrt{11}}$

${|\vec{v}|=\sqrt{2^{2}+3^{2}+4^{2}}=\sqrt{29}}$

Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

El módulo de un vector ${\overrightarrow{AB}}$ con extremos ${A(x_1, y_1, z_1)}$ y ${B(x_2, y_2, z_2)}$ es

${\left |\overrightarrow{AB} \right |=\sqrt{(x_2 - x_1)^{2}+ (y_2 - y_1)^{2}+ (z_2 - z_1)^{2}}}$

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

Ejemplo:

Hallar la distancia entre los puntos ${A(1, 2, 3)}$ y ${B(-1, 2, 0)}$ .

${\left |\overrightarrow{AB} \right |=\sqrt{(-1 - 1)^{2}+ (2 - 2)^{2}+ (0 - 3)^{2}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}}$

Vector unitario

Un vector unitario tiene módulo la unidad.

La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado, el cual se obtiene dividiendo cada componente del vector por su módulo.

${\displaystyle\frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}=\left(\frac{u_{1}}{|\vec{u}|}, \frac{u_{2}}{|\vec{u}|}, \frac{u_{3}}{|\vec{u}|}\right)}$

Suma de vectores

Para sumar dos vectores ${\vec{u}=(u_{1}, u_{2}, u_{3}), \; \vec{v}=(v_{1}, v_{2}, v_{3})}$ se suman sus respectivas componentes

${\vec{u}+\vec{v}=(u_{1}+v_{1}, u_{2}+v_{2}, u_{3}+v_{3})}$

Ejemplo:

1 Dados ${\vec{u}=(2, 1, 3), \; \vec{v}=(1, -1, 0), \; \vec{w}= (1, 2, 3)}$ , hallar el vector ${\vec{x}= \vec{u} + \vec{v} - \vec{w}}$ .

${\vec{x}= \vec{u} + \vec{v} - \vec{w}=(2, 1, 3)+(1, -1, 0)-(1, 2, 3)=(2, -2, 0)}$

2 Dados los vectores ${\vec{u}=(2, 4, 5)}$ y ${\vec{v}=(3, 1, 2)}$ , hallar el módulo del vector ${\vec{u}-\vec{v}}$ .

${\vec{u}-\vec{v}=(2, 4, 5)-(3, 1, 2)=(-1, 3, 3)}$

${|\vec{u}-\vec{v}|=\sqrt{(-1)^{2}+3^{2}+3^{2}}=\sqrt{19}}$

Propiedades de la suma de vectores

Asociativa

${\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})=(\vec{u} + \vec{v})+ \vec{w}}$

Conmutativa

${\vec{u} + \vec{v}=\vec{v} + \vec{u}}$

Elemento neutro

${\vec{u} + \vec{0}=\vec{u} }$

Elemento opuesto

${\vec{u} + (-\vec{u})=\vec{0}}$

Producto de un número real por un vector

El producto de un número real ${k\in\mathbb{R}}$ por un vector ${\vec{u}}$ es otro vector:

De igual dirección que el vector ${\vec{u}}$ .

Del mismo sentido que el vector ${\vec{u}}$ si ${k}$ es positivo.

De sentido contrario del vector ${\vec{u}}$ si ${k}$ es negativo.

De módulo ${|k|\cdot |\vec{u}|}$

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por ${k}$ las componentes del vector.

${k\cdot \vec{u}=(ku_{1}, ku_{2}, ku_{3})}$

Propiedades del producto de un número por un vector

Asociativa

${k_1\cdot (k_2 \cdot \vec{u})=(k_1 \cdot k_2)\cdot \vec{u}}$

Distributiva respecto a la suma de vectores

${k\cdot (\vec{u}+\vec{v})=k\cdot \vec{u}+k\cdot \vec{v}}$

Distributiva respecto a los escalares

${(k_1+k_2)\cdot \vec{u}=k_1\cdot \vec{u}+k_2\cdot \vec{u}}$

Elemento neutro

${1\cdot \vec{u}=\vec{u}}$

Ejemplo:

Dado ${\vec{v}=(6,2,0)}$ determinar ${\vec{u}}$ de modo que sea ${3\vec{u}=\vec{v}}$ .

${\vec{u}=\displaystyle\frac{1}{3}\vec{v}=\left( 2, \frac{2}{3}, 0\right)}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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González

Octubre 2019

buenas estuve viendo su contenido y esta bien pero hace falta algo y por ello les tengo una pregunta ¿como se representan vectores en el espacio?

Superprof

Noviembre 2019

Hola Gonzalez, gracias por el comentario. Hemos añadido la representación de un vector en el espacio. Espero que te hemos podido ayudar.

Jesús

Octubre 2020

Podrían añadir también el como se representa un vector asimétrico en el espacio

Rodriguez Nartha

Mayo 2020

buenas como se pueden graficar las componentes de un vector que tiene un angulo de 180 grados

Luis Maciel Baron

Junio 2020

¡Hola Nartha!

Un vector a 180º queda exactamente sobre el eje ‘x’ en el sentido negativo. Puedes calcular las componentes usando:
Vx= acos180º = -a (Componente en ‘x’ sobre el eje ‘x’ en sentido negativo)
Vy= asen180º = 0 (Componente en ‘y’ es cero, es decir no tiene componente en ‘y’)

Espero haberte ayudado, no dudes en contactarnos para cualquier otra duda

Milani

Octubre 2020

Como seria la suma de tres vectores determinando analiticamente y grafucamente

Lopez

Septiembre 2020

¿Como puedo determinar la localizacion de un punto (x,y,z) que satisfaga las condiciones?

z=6

Jose Gabriel Rosales Castañeda

Octubre 2020

Hola López.

Mientras z=6 sea la única condición que tengas que respetar cualquier punto (x,y,z) con z=6, es decir (x,y,6) satisface la condición deseada.
Saludos.

JOSE NOEL VALERO

Octubre 2020

3. Ahora mide el largo y ancho de un libro:
Y este el eje x
Escribe los valores y represéntalos vectorialmente A=(X, Y), con estos valores determina modulo, dirección del vector además del ángulo. En el informe deberás dibujar el libro con las medidas respectivas
Modulo. A= √𝑨𝑿𝟐+𝑨𝒀𝟐 ángulo ɵ= tg-1 𝐴𝑦𝐴𝑥

JSLRatia

Diciembre 2020

Buenos días! Necesito descomponer vectores en su vectores unitarios. Y no sé como hacerlo. Estos son los vectores. a (2,3) ; b) d (-3,-6); c) m (0, -5); d) n (2,0); e) f (5,0); f) h (-1,-7); g) P (3,2); h) r (-
4,2)

karolan

Enero 2021

RESUELVA:
1. Sean U = (-1, 7), V = (2,5; -9,3). Encuentre U + V
2. Sean V = (-3, 10), W = (-3; -5). Encuentre V + W
3. Sean U = (7, -3), V = (3, -1), w = (6, -12). Encuentre U + V + W
4. Sean U = (-1, 5), V = (3,7; -3,5). Encuentre U – V
5. Sean V = (-5, 2), W = (-3, -16). Entonces V – W
6. Para a= – 5 y U = (-1/6, 3/7), encuentre a.U
7. Para a= 9 y U= (-7, 15), encuentre a.U

Alejandra Narvaez

Enero 2021

hola ¿como hago para graficar un modulo?

edwin

Marzo 2021

Buenas una pregunta,que es espacio vectorial en r3?

Sara

Mayo 2021

una pregunta como graficar este vector (-3,4) en ab y cb….

Alexandra loor

Junio 2021

Problema de aplicación: en una granja hay gallinas y conejos si contamos las cabezas resultan 50 ,y si contamos las patas ,150 ¿ Cuántas gallinas y cuántos conejos hay ? Explicación : pensamos si las gallinas y los conejos tienen una sola cabeza entonces tendríamos :g=gallinas C= conejos g+c =50 ahora como cada gallina tiene 2 patas y cada conejo tiene cuatro patas entonces tendríamos : 2g+4g=150 unimos las dos ecuaciones y tendríamos : 1)g+c=150
2)2g+4c=150a partir de aquí ya podemos resolver el sistema de 2ecuaciones con 2incognitas

Emily Moreira

Agosto 2021

Buenas Tardes , me parece una muy buena app la de ustedes 🧡
Me podrian ayudar con este ejercicio porfavor: A=(1,-2,5) vector director v> (3,1 ,-2)

Ángel Anthony Soto Gutiérrez

Septiembre 2021

por qué un punto en el espacio también es un vector

Antonio Tapia

Noviembre 2021

Ese punto en el espacio puede ser la suma de dos vectores, y la suma de dos vectores es un vector, otra razón seria la existencia del vector cero que es necesario para la definición de espacio vectorial.

Francy azuaje

Noviembre 2021

Necesito que me ayude a resolver ejercicio de vectores de r2 y r3

Francy azuaje

Noviembre 2021

5 ejemplo de vectores de r2 y r3

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