Temas
Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y.
Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).
Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el primer octante las tres coordenadas son positivas.
Vector en el espacio
Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.
Componentes de un vector en el espacio
Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del vector 
son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.
Ejemplo:
Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo de vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).
Módulo de un vector
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.
El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.
Cálculo del módulo conociendo sus componentes
Ejemplo:
Dados los vectores 
y 
, hallar los módulos de 
y 
·
Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.
Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).
Vector unitario
Un vector unitario tiene de módulo la unidad.
La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su módulo.
Suma de vectores
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.
Ejemplos
Dados 
= (2, 1, 3), 
= (1, −1, 0), 
= (1, 2, 3), hallar el vector 
= 2u + 3v − w.
= (4, 2, 6) + (3, −3, 0) − (1, 2, 3) = (6, −3, 3)
Dados los vectores 
y 
, hallar el módulo del vector 
.
Propiedades de la suma de vectores
Asociativa
+ (
+ 
) = (
+ 
) + 
Conmutativa
+ 
= 
+ 
Elemento neutro
+ 
= 
Elemento opuesto
+ (− 
) = 
Producto de un número real por un vector
El producto de un número real k 
por un vector 
es otro vector:
De igual dirección que el vector 
.
Del mismo sentido que el vector 
si k es positivo.
De sentido contrario del vector 
si k es negativo.
De módulo 
Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.
Propiedades del producto de un número por un vector
Asociativa
k · (k' · 
) = (k · k') · 
Distributiva respecto a la suma de vectores
k · ( 
+ 
) = k · 
+ k · 
Distributiva respecto a los escalares
(k + k') · 
= k · 
+ k' · 
Elemento neutro
1 · 
= 
Ejemplo
Dado 
= (6, 2, 0) determinar 
de modo que sea 3
= 
.
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Guest
buenas estuve viendo su contenido y esta bien pero hace falta algo y por ello les tengo una pregunta ¿como se representan vectores en el espacio?
Admin
Hola Gonzalez, gracias por el comentario. Hemos añadido la representación de un vector en el espacio. Espero que te hemos podido ayudar.