Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y.

Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).

Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el primer octante las tres coordenadas son positivas.

 

 

 

Vector en el espacio

 

Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

 

representacion vector en el espacio
 

 

 

Componentes de un vector en el espacio

 

Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

 

 

Ejemplo:

 

Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo de vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).

 

 

 

 

 

Módulo de un vector

 

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.

 

Cálculo del módulo conociendo sus componentes

 

 

 

Ejemplo:

 

Dados los vectores y , hallar los módulos de y ·

 

 

 

Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

 

 

 

 

Distancia entre dos puntos

 

La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

 

 

Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).

 

 

 

Vector unitario

 

Un vector unitario tiene de módulo la unidad.

 

La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su módulo.

 

 

Suma de vectores

 

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

 

 

 

Ejemplos

 

Dados = (2, 1, 3), = (1, −1, 0), = (1, 2, 3), hallar el vector = 2u + 3v − w.

 

= (4, 2, 6) + (3, −3, 0) − (1, 2, 3) = (6, −3, 3)

 

Dados los vectores y , hallar el módulo del vector .

 

 

 

Propiedades de la suma de vectores

 

Asociativa

 

+ ( + ) = ( + ) +

Conmutativa

 

+ = +

 

Elemento neutro

 

+ =

 

Elemento opuesto

 

+ (− ) =

 

Producto de un número real por un vector

 

El producto de un número real k por un vector es otro vector:

 

De igual dirección que el vector .

 

Del mismo sentido que el vector si k es positivo.

 

De sentido contrario del vector si k es negativo.

 

De módulo

 

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.

 

 

Propiedades del producto de un número por un vector

 

Asociativa

 

k · (k' · ) = (k · k') ·

 

Distributiva respecto a la suma de vectores

 

k · ( + ) = k · + k ·

 

Distributiva respecto a los escalares

 

(k + k') · = k · + k' ·

 

Elemento neutro

 

1 · =

 

Ejemplo

 

Dado = (6, 2, 0) determinar de modo que sea 3 = .

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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