Marta

27 febrero 2020

Temas

 

Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje {Z}, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes {X} e {Y}.

 

Cada punto viene determinado por tres coordenadas {P(x, y, z)}.

 

Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: {XY, XZ} e {YZ}. Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el primer octante las tres coordenadas son positivas.

 

{\vec{u}=(u_{1}, u_{2}, u_{3}), \ \ \ \vec{v}=(v_{1}, v_{2}, v_{3})}

 

 

Vector en el espacio

 

Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

 

representacion vector en el espacio

 

{\vec{v}=(3, 1, 2)}

 

 

Componentes de un vector en el espacio

 

Si las coordenadas de {A} y {B} son: {A(x_1, y_1, z_1)} y {B(x_{2}, y_{2}, z_{2})} Las coordenadas o componentes del vector {\overrightarrow{AB}}  son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

 

{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=(x_{2}-x_{1}, y_{2}-y_{1}, z_{2}-z_{1})}

 

Ejemplo:

 

Determinar la componentes de los vectores que se pueden trazar en el triángulo de vértices {A(-3, 4, 0), B(3, 6, 3)} y {C(-1, 2, 1)}.

 

grafica de triangulo ABC

 

{\overrightarrow{AB}=(3+3,6-4, 3-0)=(6,2,3)}

 

{\overrightarrow{BA}=(-3-3,4-6, 0-3)=(-6,-2,-3)}

 

{\overrightarrow{AC}=(-1+3,2-4, 1-0)=(2,-2,1)}

 

{\overrightarrow{CA}=(-3+1,4-2, 0-1)=(-2,2,-1)}

 

 

Módulo de un vector

 

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

 

El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.

 

Cálculo del módulo conociendo sus componentes

 

El módulo de un vector {\vec{u}=(u_{1}, u_{2}, u_{3})} es

 

{|\vec{u}|=\sqrt{u_{1}^{2}+ u_{2}^{2}+ u_{3}^{2}}}

 

Ejemplo:

 

Dados los vectores {\vec{u}=(3, 1, -1)} y {\vec{v}=(2, 3, 4)}, hallar los módulos de {\vec{u}} y {\vec{v}}·

 

{|\vec{u}|=\sqrt{3^{2}+ 1^{2}+ (-1)^{2}}=\sqrt{11}}

 

{|\vec{v}|=\sqrt{2^{2}+3^{2}+4^{2}}=\sqrt{29}}

 

Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

 

El módulo de un vector {\overrightarrow{AB}} con extremos {A(x_1, y_1, z_1)} y {B(x_2, y_2, z_2)} es

 

{\left |\overrightarrow{AB} \right |=\sqrt{(x_2 - x_1)^{2}+ (y_2 - y_1)^{2}+ (z_2 - z_1)^{2}}}

 

 

Distancia entre dos puntos

 

La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

 

Ejemplo:

 

Hallar la distancia entre los puntos {A(1, 2, 3)} y {B(-1, 2, 0)}.

 

{\left |\overrightarrow{AB} \right |=\sqrt{(-1 - 1)^{2}+ (2 - 2)^{2}+ (0 - 3)^{2}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}}

 

 

Vector unitario

 

Un vector unitario tiene módulo la unidad.

 

La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado, el cual se obtiene dividiendo cada componente del vector por su módulo.

 

{\displaystyle\frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}=\left(\frac{u_{1}}{|\vec{u}|}, \frac{u_{2}}{|\vec{u}|}, \frac{u_{3}}{|\vec{u}|}\right)}

 

 

Suma de vectores

 

Para sumar dos vectores {\vec{u}=(u_{1}, u_{2}, u_{3}), \; \vec{v}=(v_{1}, v_{2}, v_{3})} se suman sus respectivas componentes

 

{\vec{u}+\vec{v}=(u_{1}+v_{1}, u_{2}+v_{2}, u_{3}+v_{3})}

 

Ejemplo:

 

1 Dados {\vec{u}=(2, 1, 3), \; \vec{v}=(1, -1, 0), \; \vec{w}= (1, 2, 3)}, hallar el vector {\vec{x}= \vec{u} + \vec{v} - \vec{w}}.

 

{\vec{x}= \vec{u} + \vec{v} - \vec{w}=(2, 1, 3)+(1, -1, 0)-(1, 2, 3)=(2, -2, 0)}

 

2 Dados los vectores {\vec{u}=(2, 4, 5)} y {\vec{v}=(3, 1, 2)}, hallar el módulo del vector {\vec{u}-\vec{v}}.

 

{\vec{u}-\vec{v}=(2, 4, 5)-(3, 1, 2)=(-1, 3, 3)}

 

{|\vec{u}-\vec{v}|=\sqrt{(-1)^{2}+3^{2}+3^{2}}=\sqrt{19}}

 

Propiedades de la suma de vectores

 

Asociativa

 

{\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})=(\vec{u} + \vec{v})+ \vec{w}}

Conmutativa

 

{\vec{u} + \vec{v}=\vec{v} + \vec{u}}

 

Elemento neutro

 

{\vec{u} + \vec{0}=\vec{u} }

 

Elemento opuesto

 

{\vec{u} + (-\vec{u})=\vec{0}}

 

Producto de un número real por un vector

 

El producto de un número real {k\in\mathbb{R}} por un vector {\vec{u}} es otro vector:

 

De igual dirección que el vector {\vec{u}}.

 

Del mismo sentido que el vector {\vec{u}} si {k} es positivo.

 

De sentido contrario del vector {\vec{u}} si {k} es negativo.

 

De módulo {|k|\cdot |\vec{u}|}

 

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por {k} las componentes del vector.

 

{k\cdot \vec{u}=(ku_{1}, ku_{2}, ku_{3})}

 

Propiedades del producto de un número por un vector

 

Asociativa

 

{k_1\cdot (k_2 \cdot \vec{u})=(k_1 \cdot k_2)\cdot \vec{u}}

 

Distributiva respecto a la suma de vectores

 

{k\cdot (\vec{u}+\vec{v})=k\cdot \vec{u}+k\cdot \vec{v}}

 

Distributiva respecto a los escalares

 

{(k_1+k_2)\cdot \vec{u}=k_1\cdot \vec{u}+k_2\cdot \vec{u}}

 

Elemento neutro

 

{1\cdot \vec{u}=\vec{u}}

 

Ejemplo:

 

Dado {\vec{v}=(6,2,0)} determinar {\vec{u}} de modo que sea {3\vec{u}=\vec{v}}.

 

{\vec{u}=\displaystyle\frac{1}{3}\vec{v}=\left( 2, \frac{2}{3}, 0\right)}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗