Combinación lineal de vectores

Sea V espacio vectorial y v_1, v_2,\dots, v_n vectores en V, se llama combinación lineal a cada uno de los vectores de la forma:

     \[ v = a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dots + a_n v_n \quad \quad a_i \in \mathbb{R}, \quad 1 \leq i \leq n \]

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección.

Suma vectores independientes
En la imagen anterior vemos al vector w escrito como combinacion lineal de u y v

     \[ w = 2 u + 3 v \]

 

Ejemplos

1 Dadoslos vectores \vec{x}=(1,2), \vec{y}=(3,-1), calcular el vector combinación lineal \vec{z}=2 \vec{x}+3 \vec{y}

Tendremos que

    \begin{align*} \vec{z} &= 2 \vec{x}+3 \vec{y} \\ &= 2(1,2)+3(3,-1) \\ &= (2,4)+(9,-3) \\ &= (11,1) \end{align*}

2 El vector \vec{z}=(2,1), ¿se puede expresar como combinación lineal de los vectores \vec{x}=(3,-2) y \vec{y}=(1, 4) ?

Vemos si podemos encontrar, a , b que cumplan lo siguiente

    \begin{align*} (2,1) &= a(3,-2) + b(1,4)\\ &= (3a,-2a) + (b, 4 b)\\ &= (3a + b, -2a + 4b) \end{align*}

Por tanto se debe tener que

    \[\left\{\begin{array}{l} 2=3 a+b \\ 1=-2 a+4 b \end{array}\right.\]

Resolviendo obtenemos que

     \[ a = b = \frac{1}{2} \]

y por tanto

     \[ \vec{z}=\frac{1}{2} \vec{x}+\frac{1}{2} \vec{y} \]

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Vamos

Dependencia Lineal

Varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Es decir, el conjunto de vectores  {v_1, v_2, \dots, v_n } son linealmente dependientes si

     \[ a_{1} \overrightarrow{v_{1}}+a_{2} \overrightarrow{v_{2}}+\cdots+a_{n} \overrightarrow{v_{n}}=\overrightarrow{0} \]

con a_1, a_2, \dots, a_n distintos de cero.

Propiedades

1 Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros.

    \[ a_{1} \overrightarrow{v_{1}}+a_{2} \overrightarrow{v_{2}}+\cdots+a_{3} \overrightarrow{v_{3}}=\overrightarrow{0} \]

despejando

    \[ \overrightarrow{v_{1}}=-\frac{a_{2}}{a_{1}} \overrightarrow{v_{2}}-\frac{a_{3}}{a_{1}} \overrightarrow{v_{3}}\]

Si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

 

2 Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.

 

3 Dos vectores del plano \vec{u}=\left(u_{1}, u_{2}\right) y \vec{v}=\left(v_{1}, v_{2}\right) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

Vectores linealmente dependientes

    \[ \vec{u}= k \vec{v} \quad \Rightarrow \quad \left(u_{1}, u_{2}\right)=k\left(v_{1}, v_{2}\right)\]

entonces

    \[ \frac{u_{1}}{v_{1}}=\frac{u_{2}}{v_{2}}=k \]

 

Independencia lineal

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros. Es decir, son linealmente independientes si no son linealmente dependientes.

Por lo tanto, el conjunto de vectores  {v_1, v_2, \dots, v_n } cumple que

    \[ a_{1} \overrightarrow{v_{1}}+a_{2} \overrightarrow{v_{2}}+\cdots+a_{3} \overrightarrow{v_{3}}=\overrightarrow{0} \]

si y solo si

     \[ a_1 = a_2 = a_3 = \dots = a_n = 0 \]

Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección.

 

Ejercicios de dependencia e independencia lineal

1 Estudiar la dependencia lineal de los vectores: \vec{u}=(3,1) y  \vec{v}=(2,3) .

La propiedad (2) nos dice que si dos vectores son linealmente dependientes entonces sus componentes son proporcionales, en este caso, notemos que

     \[ \frac{3}{2} \neq \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad 3 \cdot 3 \neq 2 \cdot 1 \]

por tanto, linealmente independientes.

 

2 Estudiar la dependencia lineal de los vectores: \vec{u}=(x-1,3) y \vec{v}=(x+1,5)

Necesitamos que

     \[ \frac{x-1}{3} = \frac{x+1}{5} \]

entonces

    \[ 5 x-5=3 x+3 \quad \Rightarrow \quad x=4 \]

Por tanto son linealmente dependientes para x =4 .

 

3 Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados AB y AC del triángulo: A(3,5), B(-2,0), C(0,-3), es paralelo al lado BC e igual a su mitad.

Triangulo ABC

¿Son paralelos? Primero encontremos los puntos M, N y tambien al vector \vec{MN}

     \[M\left(\frac{3-2}{2}, \frac{5+0}{2}\right) \quad \Rightarrow \quad M\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)\]

     \[ N\left(\frac{3+0}{2}, \frac{5-3}{2}\right) \quad \Rightarrow \quad N\left(\frac{3}{2}, 1\right) \]

     \[ \overrightarrow{M N}=\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}, 1-\frac{5}{2}\right) \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{M N}=\left(1,-\frac{3}{2}\right) \]

Si \overrightarrow{M N} es paralelo a \overrightarrow{B C} sus componentes son proporcionales. Verifiquemos

    \[ \overrightarrow{B C}=(0-(-2),-3-0) \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{B C}=(2,-3)\]

y ahora

     \[ \frac{2}{-3}=\frac{1}{\frac{-3}{2}} \quad \Rightarrow \quad 2 \cdot \frac{-3}{2}=-3 \quad \Righatrrow \quad\Rightarrow \quad -3=-3 \]

Por tanto, son paralelos.

Comprobemos ahora que  |\overrightarrow{M N}|=\frac{1}{2} \cdot|\overrightarrow{B C}| :

    \[ |\overrightarrow{M N}|=\sqrt{1^{2}+\left(\frac{-3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{4}}=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{13} \]

    \[ \overrightarrow{B C}=\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{13}\]

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗