Combinación lineal de vectores
Sea 
espacio vectorial y 
vectores en , se llama combinación lineal a cada uno de los vectores de la forma:
Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección.
En la imagen anterior vemos al vector 
escrito como combinacion lineal de 
y 
Ejemplos
1 Dadoslos vectores 
, 
, calcular el vector combinación lineal 
Tendremos que
2 El vector 
, ¿se puede expresar como combinación lineal de los vectores 
y 
?
Vemos si podemos encontrar, 
que cumplan lo siguiente
Por tanto se debe tener que
Resolviendo obtenemos que
y por tanto
Dependencia Lineal
Varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.
Es decir, el conjunto de vectores 
son linealmente dependientes si
con 
distintos de cero.
Propiedades
1 Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros.
despejando
Si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.
2 Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.
3 Dos vectores del plano 
y 
son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.
Vectores linealmente dependientes
entonces
Independencia lineal
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros. Es decir, son linealmente independientes si no son linealmente dependientes.
Por lo tanto, el conjunto de vectores cumple que
si y solo si
Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección.
Ejercicios de dependencia e independencia lineal
1 Estudiar la dependencia lineal de los vectores: 
y 
.
La propiedad (2) nos dice que si dos vectores son linealmente dependientes entonces sus componentes son proporcionales, en este caso, notemos que
por tanto, linealmente independientes.
2 Estudiar la dependencia lineal de los vectores: 
y 
Necesitamos que
entonces
Por tanto son linealmente dependientes para 
.
3 Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados 
y 
del triángulo: 
, es paralelo al lado 
e igual a su mitad.
¿Son paralelos? Primero encontremos los puntos M, N y tambien al vector 
Si 
es paralelo a 
sus componentes son proporcionales. Verifiquemos
y ahora
Por tanto, son paralelos.
Comprobemos ahora que 
:
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Buenas Marta, me alegro que hayas dado el paso de dejar esto por aquí, pero se me hace difícil fiarme, no es nada personal, te cuento, En la solución del apartado «a» de la pregunta 1, en el módulo de v tienes puesto que la raíz de 0 = 2.
Y he encontrado también que en este mismo ejercicio en el apartado b, la k la tienes como negativa, no sé si esto es así o no, pero no me suena que una matriz positiva y que esté sumando dé negativo
Hola el error del apartado a ya se corrigió, en cuanto al apartado b ya lo revise esta bien no tiene errores.
Suma de vectores f1=450n,30. 1FR=f1+f6
Traslaciones Juan es un diseñador gráfico y de acuerdo con las exigencias de uno de sus clientes debe reorganizar los elementos de uno de los avisos publicitarios observemos en la ilustración los cambios y desplazamientos que realizo.
En la ilustración el barco se trasladó dos unidades hacia arriba.
Una traslación es el desplazamiento de una figura sobre un plano sin girarla en ninguna dirección para indicar una traslación usamos una flecha que muestra el sentido hacia donde se hace el movimiento:
Derecha , izquierda, arriba, abajo, occidente, Oriente, Norte o sur) y la magnitud (número de unidades que se mueve la figura).
En el aviso publicitario,? Cuál de los siguientes desplazamientos se realizó con el logo del pez? Márcalo con x
Vectores 400n+horizontal y a la izquierda