El producto escalar de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

 

Producto escalar

 

Esto se obtiene de

 

1Calcular el coseno del ángulo \alpha

 

cos \, \alpha = \cfrac{OA'}{|\vec{u}|}

 

2Despejamos OA' el cual es la proyección escalar de \vec{u} sobre el vector \vec{v}

 

OA' = |\vec{u}| \cdot cos \, \alpha

 

3Sabemos que cos \, \alpha = \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u} | \cdot |\vec{v}|}, luego

 

OA' = |\vec{u}| \cdot \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u} | \cdot |\vec{v}|}

 

4Simplificando se obtiene

 

OA' = \cfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|}

 

5Despejando se obtiene

 

\vec{u} \cdot \vec{v} =|\vec{v}| \cdot OA'

 

El vector proyección se calcula multiplicando la proyección escalar por un vector unitario de \vec{v}, de modo que obtenemos otro vector con la misma dirección.

 

La proyección escalar del vector \vec{u} sobre \vec{v} es el módulo de la proyección vectorial de \vec{u} sobre \vec{v}.

 

Ejercicios

 

1Hallar la proyección del vector \vec{u} = (2,1) sobre el vector \vec{v} = (-3,4).

 

Empleamos la fórmula de la proyección de un vector

 

\begin{array}{rcl} OA' & = & \cfrac{(2,1) \cdot (-3,4)}{|(-3,4)|} \end{array}

 

Resolviendo se obtiene

 

OA' = \cfrac{2 \cdot (-3) + 1 \cdot 4}{\sqrt{(-3)^2 + 4^2}} = -\cfrac{2}{5}

 

2Calcula la proyección del vector \vec{u} = 2 \vec{i} - 5 \vec{j} sobre el vector \vec{v} = 5 \vec{i} + \vec{j} .

 

Empleamos la fórmula de la proyección de un vector

 

\begin{array}{rcl} OA' & = & \cfrac{(2,-5) \cdot (5,1)}{|(5,1)|} \end{array}

 

Resolviendo se obtiene

 

OA' = \cfrac{2 \cdot 5 + (-5) \cdot 1}{\sqrt{1^2 + (-5)^2}} = \cfrac{5}{\sqrt{26}}

 

3Calcula la proyección del vector \overrightarrow{AB} sobre \overrightarrow{AC}, siendo A(6,0), \ B(3,5), \ C(-1,-1).

 

Proyeccion de un vector 2

 

Calculamos los vectores \overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{AC}

 

\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AB} & = & (3 - 6,5-0) = (-3,5)  \\\\  \overrightarrow{AC} & = & (-1 - 6,-1-0) = (-7,-1)\end{array}

 

Empleamos la fórmula de la proyección de un vector

 

\begin{array}{rcl} AD & = & \cfrac{(-3,5) \cdot (-7,-1)}{|(-7,-1)|} \end{array}

 

Resolviendo se obtiene

 

\begin{array}{rcl} OA' & = & \cfrac{(-3) \cdot (-7) + 5 \cdot (-1)}{\sqrt{(-7)^2 + (-1)^2}}  \\\\ & = & \cfrac{16}{\sqrt{50}}  \\\\  & = & \cfrac{16}{5 \sqrt{2}}  \\\\  & = & \cfrac{16 \sqrt{2}}{10}  \\\\  & = & \cfrac{8 \sqrt{2}}{5} \end{array}

 

4Siendo A(6, 0), \ B(3, 5), \ C(-1, -1) los vértices de un triángulo, calcular las proyecciones de los lados AB y CB sobre AC y comprobar que su suma es igual al módulo de AC.

 

proyecciones de los lados de un triangulo

 

Calculamos los vectores \overrightarrow{AB}, \ \overrightarrow{AC}, \ \overrightarrow{CB}

 

\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AB} & = & (3 - 6,5-0) = (-3,5) \\\\ \overrightarrow{AC} & = & (-1 - 6,-1-0) = (-7,-1) \\\\ \overrightarrow{CB} & = & (3-(-1),5-(-1)) = (4,6)\end{array}

 

Empleamos la fórmula de la proyección de un vector para hallar AB' la proyección de AB sobre AC

 

\begin{array}{rcl} AB' & = & \cfrac{(-3,5) \cdot (-7,-1)}{|(-7,-1)|} \end{array}

 

Resolviendo se obtiene

 

\begin{array}{rcl} AB' & = & \cfrac{(-3) \cdot (-7) + 5 \cdot (-1)}{\sqrt{(-7)^2 + (-1)^2}} \\\\ & = & \cfrac{16}{\sqrt{50}} \\\\ & = & \cfrac{16}{5 \sqrt{2}} \\\\ & = & \cfrac{16 \sqrt{2}}{10} \\\\ & = & \cfrac{8 \sqrt{2}}{5} \end{array}

 

Empleamos la fórmula de la proyección de un vector para hallar CB' la proyección de CB sobre AC

 

\begin{array}{rcl} CB' & = & \cfrac{(4,6) \cdot (-7,-1)}{|(-7,-1)|} \end{array}

 

Resolviendo se obtiene

 

\begin{array}{rcl} CB' & = & \cfrac{4 \cdot (-7) + 6 \cdot (-1)}{\sqrt{(-7)^2 + (-1)^2}} \\\\ & = & \cfrac{34}{\sqrt{50}} \\\\ & = & \cfrac{34}{5 \sqrt{2}} \\\\ & = & \cfrac{34 \sqrt{2}}{10} \\\\ & = & \cfrac{17 \sqrt{2}}{5} \end{array}

 

La suma de ambas proyecciones es

 

AB' + CB' = \cfrac{25 \sqrt{2}}{5} = 5 \sqrt{2}

 

lo cual coincide con el módulo de AC

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗