1

Hallar dos vectores de módulo la unidad y ortogonales a (2,-2,3) y (3,-3,2).

Recordemos que para hallar un vector ortogonal a dos vectores dados debemos tomar el producto cruz (vectorial) entre ellos. Para este caso particular tenemos que un vector ortogonal a (2,-2,3) y (3,-3,2) es

    $$\vec{w}=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 2&-2&3\\ 3&-3&2\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -2&3\\ -3&2\\ \end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix} 2&3\\ 3&2\\ \end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix} 2&-2\\ 3&-3\\ \end{vmatrix}\vec{k}=5\vec{i}+5\vec{j}$$

Ahora calcularemos la norma de este vector para obtener los vectores unitarios,

    $$|\vec{w}|=\sqrt{5^{2}+5^{2}+0}=5\sqrt{2}.$$

EL primer vector unitario y ortogonal que buscamos es el vector \vec{w} divido por su norma

    $$\vec{u}=\left(\cfrac{5}{5\sqrt{2}},\cfrac{5}{5\sqrt{2}},0\right)=\left(\cfrac{1}{\sqrt{2}},\cfrac{1}{\sqrt{2}},0\right).$$

El segundo vector lo obtenemos solo invirtiendo la dirección del primero, es decir, multiplicando por menos uno

    $$\vec{v}=-\vec{u}=\left(\cfrac{-1}{\sqrt{2}},\cfrac{-1}{\sqrt{2}},0\right).$$

2

Hallar un vector perpendicular a (2,3,4) y (-1,3,-5), y que sea unitario.

Aplicamos un procedimiento similar al del problema anterior. Para hallar un vector ortogonal a dos vectores dados debemos tomar el producto cruz (vectorial) entre ellos. Para este caso particular tenemos que un vector ortogonal a (2,3,4) y (-1,3,-5) es

    $$\vec{w}=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 2&3&4\\ -1&3&-5\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3&4\\ 3&-5\\ \end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix} 2&4\\ -1&-5\\ \end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix} 2&3\\ -1&3\\ \end{vmatrix}\vec{k}=-27\vec{i}+6\vec{j}+9\vec{k}.$$

Ahora calcularemos la norma de este vector para obtener el vector unitario,

    $$|\vec{w}|=\sqrt{(-27)^{2}+6^{2}+9^{2}}=\sqrt{846}.$$

EL vector unitario y ortogonal que buscamos es el vector \vec{w} divido por su norma

    $$\vec{u}=\left(\cfrac{-27}{\sqrt{846}},\cfrac{6}{\sqrt{846}},\cfrac{9}{\sqrt{846}}\right).$$

3

Dados los vectores \vec{u}=3\vec{i}-\vec{j}+\vec{k} y \vec{v}=2\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k}, hallar el producto \vec{u}\times\vec{v} y comprobar que este vector es ortogonal a \vec{u} y a \vec{v}. Hallar el vector \vec{v}\times\vec{u} y compararlo con \vec{u}\times\vec{v}.

Primero hallamos el vector  \vec{u}\times\vec{v}

    $$\vec{u}\times\vec{v}=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 3&-1&1\\ 2&-3&1\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -1&1\\ -3&1\\ \end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix} 3&1\\ 2&1\\ \end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix} 3&-1\\ 2&-3\\ \end{vmatrix}\vec{k}=2\vec{i}-\vec{j}-7\vec{k}.$$

Dos vectores son ortogonales si su producto punto es igual a cero. Entonces calcularemos (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u} y (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v}

    $$(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{u}=(2,-1,-7)\cdot(3,-1,1)=6+1-7=0$$

    $$(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{v}=(2,-1,-7)\cdot(2,-3,1)=4+3-7=0$$

Para terminar calcularemos el vector \vec{v}\times\vec{u}

    $$\vec{v}\times\vec{u}=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 2&-3&1\\ 3&-1&1\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -3&1\\ -1&1\\ \end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix} 2&1\\ 3&1\\ \end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix} 2&-3\\ 3&-1\\ \end{vmatrix}\vec{k}=-2\vec{i}+\vec{j}+7\vec{k}.$$

Notemos que se obtiene que \vec{v}\times\vec{u}=-(\vec{u}\times\vec{v}).

4

Considerar la siguiente figura:

área de un paralelogramo

Se pide:

A
Coordenadas de D para que ABCD sea un paralelogramo.
B
Área de este paralelogramo.

1Para que la figura sea un paralelogramo, los vectores \vec{AD} y \vec{BC} deben ser equipolentes.

Si D tiene coordenadas (x,y,z) entonces \vec{AD}=(x-1,y-1,z) y \vec{BC}=(2+1,2+1,1)=(3,3,1). Dado que son equipolentes entonces

    $$(x-1,y-1,z)=(3,3,1),$$

    $$x-1=3,\quad y-1=3,\quad z=1,$$

    $$x=4,\quad y=4,\quad z=1.$$

Por lo tanto las coordenadas buscadas son D(4,4,1).

2
El área del paralelogramo se halla calculando la norma del producto cruz (vectorial) de los vectores que determinan el paralelogramos, en este caso podemos considerar que estos vectores son \vec{BC}=(3,3,1) y \vec{BA}=(2,2,1). Ahora calculamos el producto cruz (vectorial)

    $$\vec{BC}\times\vec{BA}=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 3&3&1\\ 2&2&1\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3&1\\ 2&1\\ \end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix} 3&1\\ 2&1\\ \end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix} 3&3\\ 2&2\\ \end{vmatrix}\vec{k}=\vec{i}-\vec{j}.$$

Finalmente calculando su norma hallamos el área buscada,

    $$A=|\vec{BC}\times\vec{BA}|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+0^{2}}=\sqrt{2}.$$

5

Dados los puntos A(1,0,1), B(1,1,1) y C(1,6,a), se pide:
A
Hallar para qué valores del parámetro a están alineados.
B
Hallar si existen valores de a para los cuales A, B y C son tres vértices de un paralelogramo de área 3 y, en caso afirmativo, calcularlos.

1Si A,B y C están alineados los vectores \vec{AB} y \vec{AC} tienen la misma dirección, por lo que son linealmente dependientes y tienen sus componentes proporcionales

    $$\vec{AB}=(1-1,1-0,1-1)=(0,1,0)$$

    $$\vec{AC}=(1-1,6-0,a-1)=(0,6,a-1)$$

Para que sus componentes sean proporcionales deben cumplir que

    $$(0,6,a-1)=k(0,1,0),$$

entonces

    $$a-1=0\Rightarrow a=1.$$

2

El módulo del producto vectorial (o cruz) de los vectores \vec{AB} y \vec{AC} es igual al área del paralelogramo construido sobre \vec{AB} y \vec{AC}. Calculamos el producto vectorial de estos vectores

    $$\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 0&1&0\\ 0&6&a-1\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&0\\ 6&a-1\\ \end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix} 0&0\\ 0&a-1\\ \end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix} 1&0\\ 6&a-1\\ \end{vmatrix}\vec{k}=(a-1)\vec{i}.$$

Dado que le área debe ser igual a 3, entonces

    $$A=|\vec{AB}\times\vec{AC}|=\sqrt{(a-1)^{2}+(0)^{2}+(0)^{2}}=3,$$

entonces

    $$9=(a-1)^{2}\Rightarrow a-1=3,\quad a-1=-3\Rightarrow a=4,\quad a=-2.$$

Finalmente los vectores que buscamos son

    $$A(1,0,1),\quad B(1,1,1),\quad C(1,6,4),$$

o

    $$A(1,0,1),\quad B(1,1,1),\quad C(1,6,-2).$$

6

Sean A(-3,4,0), B(3,6,3) y C(-1,2,1) los tres vértices de un triángulo. Se pide:
A
Calcular el coseno de cada uno de los tres ángulos del triángulo.
B
Calcular el área del triángulo.

1Recordemos que el coseno del ángulo entre dos vectores \vec{u} y \vec{v} es igual a

    $$\cos(\vec{u},\vec{v})=\cfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|},$$

donde \vec{u}\cdot\vec{v} denota el producto punto entre los vectores \vec{u} y \vec{v}.

Para nuestro caso tenemos que los vectores en cuestión son

    $$\vec{AB}=(3+3,6-4,3-0)=(6,2,3),\quad \vec{BA}=(-6,-2,-3),$$

    $$\vec{AC}=(-1+3,2-4,1-0)=(2,-2,1),\quad \vec{CA}=(-2,2,1),$$

    $$\vec{AC}=(-1-3,2-6,1-3)=(-4,-4,-2),\quad \vec{CA}=(4,4,2).$$

Los ángulos del triángulo estan determinados por los siguientes pares de vectores \vec{AB} y \vec{AC}, \vec{BA} y \vec{BC}, \vec{CA} y \vec{CB}. Por lo tanto los cosenos buscaos son

    $$\cos(\vec{AB},\vec{AC})=\cfrac{12-4+3}{\sqrt{36+4+9}\sqrt{4+4+1}}=\cfrac{11}{21},$$

    $$\cos(\vec{BA},\vec{BC})=\cfrac{24+8+6}{\sqrt{36+4+9}\sqrt{16+16+4}}=\cfrac{38}{21},$$

    $$\cos(\vec{CA},\vec{CB})=\cfrac{-8+8-2}{\sqrt{16+16+4}\sqrt{4+4+1}}=\cfrac{-1}{9}.$$

2

El área del triángulo es solo la mitad del área del paralelogramo determinado por los vectores \vec{AB} y \vec{AC}. Por lo tanto debemos calcular el área de dicho paralelogramo, sabemos que esa área es la norma del producto vectorial de \vec{AB} y \vec{AC}.

    $$\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 6&2&3\\ 2&-2&1\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2&3\\ -2&1\\ \end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix} 6&3\\ 2&1\\ \end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix} 6&2\\ 2&-2\\ \end{vmatrix}\vec{k}=8\vec{i}-16\vec{k}.$$

La norma de este vector osea el área del paralelogramo es igual a

    $$|\vec{AB}\times\vec{AC}|=\sqrt{8^{2}+(0)^{2}+(-16)^{2}}=\sqrt{64+256}=8\sqrt{5}.$$

Finalmente el área del triángulo es

    $$A=\cfrac{1}{2}|\vec{AB}\times\vec{AC}|=\cfrac{1}{2}(8\sqrt{5})=4\sqrt{5}.$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗