Definición de vector

 

Un vector fijo \overrightarrow{AB}  es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

 

Vector nulo

 

Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden.

 

Módulo del vector \overrightarrow{AB}

 

Es la longitud del segmento AB}, se representa por |\overrightarrow{AB}|

 

Dirección de un vector \overrightarrow{AB}

 

Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

 

direccion de un vector 1

 

Sentido del vector \overrightarrow{AB}

 

El que va del origen A al extremo B.

 

Los/las mejores profesores/as de Matemáticas que están disponibles
¡1a clase gratis!
José arturo
4,9
4,9 (37 opiniones)
José arturo
12€
/h
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (26 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (48 opiniones)
Alex
12€
/h
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (78 opiniones)
José angel
5€
/h
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (11 opiniones)
Fátima
12€
/h
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (24 opiniones)
Santiago
9€
/h
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (95 opiniones)
Julio
14€
/h
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (51 opiniones)
Amin
10€
/h
¡1a clase gratis!
José arturo
4,9
4,9 (37 opiniones)
José arturo
12€
/h
¡1a clase gratis!
Francisco javier
5
5 (26 opiniones)
Francisco javier
12€
/h
¡1a clase gratis!
Alex
5
5 (48 opiniones)
Alex
12€
/h
¡1a clase gratis!
José angel
4,9
4,9 (78 opiniones)
José angel
5€
/h
¡1a clase gratis!
Fátima
5
5 (11 opiniones)
Fátima
12€
/h
¡1a clase gratis!
Santiago
5
5 (24 opiniones)
Santiago
9€
/h
¡1a clase gratis!
Julio
5
5 (95 opiniones)
Julio
14€
/h
¡1a clase gratis!
Amin
5
5 (51 opiniones)
Amin
10€
/h
1ª clase gratis>

Vectores equipolentes y libres

 

Vectores equipolentes

 

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.

 

vectores equipolentes

 

Vectores libres

 

vectores libres

 

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Cada vector fijo es un representante del vector libre.

 

Vectores en un plano

 

Vector de posición

 

El vector \overrightarrow{OP} que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posición del punto P.

vector de posicion

 

Coordenadas o componentes de un vector

 

Si las coordenadas de A y B son:

 

A(x_1, y_1),  \ \ \ B(x_2, y_2)

 

componentes de un vector

 

Las coordenadas o componentes del vector \overrightarrow{AB} son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

 

\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)

 

Módulo de un vector

 

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

 

El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero

 

Cálculo conociendo sus componentes

 

\vec{u} = (u_1, u_2)

 

El módulo es igual a la raiz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes

 

|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}

 

Cálculo conociendo las coordenadas de los puntos

 

extremos de un vector

 

A(x_1, y_1),  \ \ \ B(x_2, y_2)

 

|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

 

Vectores unitarios

 

Los vectores unitarios tienen de módulo la unidad.

 

\vec{u} = \cfrac{\vec{v}}{|\vec{v}|}

 

Suma y resta de vectores

 

Suma de vectores

 

suma de vectores

 

Para sumar dos vectores libres \vec{u}  y \vec{v} se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.

 

suma de vectores 2

 

Regla del paralelogramo

 

Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

 

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

\vec{u} = (u_1, u_2), \ \ \  \vec{v} = (v_1, v_2)

 

\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2)

 

Resta de vectores

 

resta de vectores

 

Para restar dos vectores libres \vec{u}  y \vec{v} se suma \vec{u}  con el opuesto de \vec{v}.

 

Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

 

\vec{u} = (u_1, u_2), \ \ \  \vec{v} = (v_1, v_2)

 

\vec{u} - \vec{v} = (u_1 - v_1, u_2 - v_2)

 

Producto de un número por un vector

 

El producto de un número k por un vector \vec{u} es otro vector:

 

1 De igual dirección que el vector \vec{u}.

 

2 Del mismo sentido que el vector \vec{u}  si k es positivo.

 

3 De sentido contrario del vector \vec{u}  si k es negativo.

 

4 De módulo |k| \cdot |\vec{u}|

 

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por k las componentes del vector.

 

\vec{u} = (u_1, u_2)

 

k \cdot \vec{u} = (k \cdot u_1, k \cdot u_2)

 

Puntos en los vectores

 

Coordenadas del punto medio de un segmento

 

punto medio

 

Las coordenadas del punto medio de un segmento coinciden con la semisuma de las coordenadas de de los puntos extremos.

 

x_M = \cfrac{x_1 + x_2}{2}, \ \ \ y_M = \cfrac{y_1 + y_2}{2}

 

Condición para qué tres puntos estén alineados

 

puntos alineados

 

Los puntos A(x_1, y_1), \ B(x_2, y_2) y C(x_3, y_3) están alineados siempre que los vectores \overrightarrow{AB} y \overrightarrow{BC}  tengan la misma dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales.

 

\cfrac{x_2 - x_1}{x_3 - x_2} = \cfrac{y_2 - y_1}{y_3 - y_2}

 

Simétrico de un punto respecto de otro

 

simetrico de un punto

 

Si A' es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del segmento AA'. Por lo que se verificará igualdad:

 

\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MA'}

 

Coordenadas del baricentro

 

coordenadas del baricentro

 

Baricentro o centro de gravedad de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas.

 

Las coordenadas del baricentro son:

 

G = \left( \cfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \cfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3}  \right)

 

División de un segmento en una relación dada

 

Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r:

 

\cfrac{PA}{PB} = r

 

¿Necesitas un profesor de Matemáticas?

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,20/5 - 10 vote(s)
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗