¿Qué es una combinación lineal?

 

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares.

 

\vec v = a_1 \vec v_1 + a_2 \vec v _2 + ...+a_n \vec v_n

 

representación gráfica de combinación lineal de vectores

 

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.

\vec w = \overrightarrow{2u}+\overrightarrow{3v}

 

Esta combinación lineal es única.

 

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Ejemplo de combinación lineal de vectores

 

Expresa el vector

 

\vec m = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}

 

como combinación lineal de los vectores:

 

\vec u = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec v= \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0\end{pmatrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \vec w = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}

Este ejercicio puede parecer díficil pero en realidad se trata simplemente de sumar, restar, y teniendo nociones básicas de sistemas de ecuaciones, encontramos rápidamente la respuesta.

Primero, vamos a escribir el ejercicio en lenguaje matematico usando la fórmula de combinación lineal.

 

\vec m = x \vec u + y \vec v + z \vec w

 

Como lo dice la fórmula, una combinación escalar es simplemente una suma de vectores multiplicados, cada uno, por un escalar. Cómo no conocemos los escalares en este caso, los vamos a notar con x, y y z. Escribimos la expresión matemática:

 

\vec m  \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} = x \cdot \vec u  \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} + y \cdot \vec v \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0\end{pmatrix} + z \cdot  \vec w  \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}

 

Esta expresion que puede parecer bastante complicada, es en realidad muy sencilla y la vamos a descomponer por partes para averiguar los valores de x, y y z:

 

Empezamos con los primeros numeros de vectores entre los parentesis:

 

1= x \cdot 1 + y \cdot 1 + z \cdot 0

1= x  + y

 

El 1 corresponde al primer numero del vector \vec m, x \cdot 1 corresponde a la multiplicacion de x con el número 1 del vector v y el z \cdot 0 a la ultima multiplicación del vector \vec w. Continuamos entonces, tomando las mismas incógnitas, x,y,z y multiplicandolas por los números que se encuentran en el medio dentro de los parentesís:

 

 

2= x \cdot 0 + y \cdot 1 + z \cdot 1

2=  y  + z

 

Y por último,

 

3= x \cdot 1 + y \cdot 0 + z \cdot 1

3= x  + z

 

Vamos a reescribir estos resultados en un sistema para facilitarnos el cálculo:

 

\left\{\begin{matrix} x &+ &y &=&1 \\ y& + &z&=&2 \\ x& + & z &=&3 \end{matrix}\right.

 

Si sumamos todas las ecuaciones, tenemos:

 

2x + 2y + 2z=6

 

Simplificando, tenemos:

 

x + y + z=3

 

Esta ultima ecuación simplificada, nos ayudara a encontrar los valores de x, y  y z . Vamos a restar cada una de las ecuaciones de dos incógnitas de esta ecuación simplificada:

 

\left\{\begin{matrix} x &+ &y &+z&=&3 \\ x& + &y&&=&1 \\ \end{matrix}\right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ z= 2

 

\left\{\begin{matrix} x &+ &y &+&z =&3 \\ & &y&+&z=&2\\ \end{matrix}\right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x= 1

 

\left\{\begin{matrix} x &+ &y &+&z =&3 \\ x & &&+&z=&3\\ \end{matrix}\right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y= 0

 

Teniendo los escalares, reescribimos la combinación lineal:

 

\vec m \begin {pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} = \vec u \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} +2 \cdot  \vec w \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}

 

\vec m = \vec u + 2 \vec w

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗