Representación gráfica de un vector fijo

Un vector fijo \overrightarrow{AB} es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

 

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Elementos de un vector

 

 

1 Dirección de un vector: La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

 

2 Sentido de un vector: El sentido del vector \overrightarrow{AB} es el que va desde el origen A al extremo B.

 

3 Módulo de un vector:

 

 

Representación gráfica del módulo de un vector

 

 

 

El módulo del vector \overrightarrow{AB} es la longitud del segmento AB, se representa por \left | \overrightarrow{AB} \right |.

El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero.

 

Módulo de un vector a partir de sus componentes

 

\vec{u}=(u_{1},u_{2})

 

\left | \vec{u} \right |=\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}}

 

Ejemplo

 

\vec{u}=(3,4)                    \left | \vec{u} \right |=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5

 

Módulo a partir de las coordenadas de los puntos:

 

A(x_{1},y_{1})                    B(x_{2},y_{2})

 

\left | \overrightarrow{AB} \right |=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}

 

Ejemplo

 

A(2,1)          B(-3,2)                    \left | \overrightarrow{AB} \right |=\sqrt{(-3-2)^{2}+(2-1)^{2}}=\sqrt{26}

 

4 Coordenadas de un vector

Representación gráfica de las coordenadas de un vector

 

Si las coordenadas de los puntos extremos, A\; \textup{y}\; B, son:

 

A(x_{1},y_{1})                    A(x_{2},y_{2})

 

Las coordenadas del vector \overrightarrow{AB} son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

 

\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})

 

Ejemplo:

 

A(2,2)              B(5,7)

 

\overrightarrow{AB}=(5-2,7-2)              \overrightarrow{AB}=(3,5)

 

Clases de vectores

 

1 Vectores equipolentes

 

Ejemplo de vectores equipolentes representación gráfica

 

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.


2 Vectores libres

 

Ejemplos de vectores libres representación gráfica

 

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Cada vector fijo es un representante del vector libre.


3 Vectores fijos:

 

Ejemplo de vector fijo representación gráfica

 

Un vector fijo es un representante del vector libre. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y origen.


4 Vectores ligados

 

Ejemplo de vectores ligados representación gráfica

 

Los vectores ligados son vectores equipolentes que actúan en la misma recta. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y se encuentran en la misma recta.


5 Vectores opuestos

 

Ejemplo de vectores opuestos representación gráfica

 

Los vectores opuestos tienen el mismo módulo, dirección, y distinto sentido.

 

\vec{u}=(u_{1},u_{2})

 

-\vec{u}=(-u_{1},-u_{2})


6 Vectores unitarios

 

Ejemplo de un vector unitario representación gráfica

 

Los vectores unitarios tienen de módulo, la unidad.

Para obtener un vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado se divide éste por su módulo.

 

\vec{u}=\cfrac{\vec{v}}{\left | \vec{v} \right |}


7 Vectores concurrentes

 

Ejemplo de vectores concurrentes representación gráfica

 

Los vectores concurrentes tienen el mismo origen.


8 Vectores de posición

 

Ejemplo de vector de posición representación gráfica

 

El vector \overrightarrow{OP} que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posición del punto P.


9 Vectores linealmente dependientes:

 

Ejemplo de vectores linealmente dependientes representación gráfica

 

Varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

 

a_{1}\vec{v_{1}}+a_{2}\vec{v_{2}}+...+a_{n}\vec{v_{n}}=0


10 Vectores linealmente independientes

 

Ejemplo de vectores linealmente independientes representación gráfica

 

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros.

 

a_{1}\vec{v_{1}}+a_{2}\vec{v_{2}}+...+a_{n}\vec{v_{n}}=0

 

a_{1}=a_{2}=...=a_{n}=0


11 Vectores ortogonales

 

Ejemplo de vectores ortogonales representación gráfica

 

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto escalar es cero.

 

\vec{u}\cdot \vec{v}=0                    u_{1}\cdot v_{1}+u_{2}\cdot v_{2}=0


12 Vectores ortonormales

Ejemplo de vectores ortonormales representación gráfica

Dos vectores son ortonormales si:

a Su producto escalar es cero.

b Los dos vectores son unitarios.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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