1Hallar el simétrico del punto {A(3, -2)} respecto de {M(-2, 5)}.

1 Calculamos el punto simétrico A'(x, y), para lo cual se emplea {\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MA'}}

 

{\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AM} & = & \overrightarrow{MA'} \\\\ (-2 - 3, 5 + 2) & = & (x + 2, y - 5) \end{array}}

 

2 Igualamos las coordenadas y despejamos las variables x, y

 

Para la primera coordenada

 

{\begin{array}{rcl}x + 2 & = & -5 \\\\ x & = & -7 \end{array}}

 

Para la segunda coordenada

 

{\begin{array}{rcl}y - 5 & = & 7 \\\\ y & = & 12 \end{array}}

 

3 El simétrico A' tiene coordenadas

 

{A'(-7, 12)}

 

 

2Dados dos vértices de un triángulo {A(2, 1), B(1, 0)} y el baricentro {G(2/3, 0)}, calcular el tercer vértice.

1 La fórmula para el baricentro de un triángulo con vértices A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3) es

 

{\left ( \displaystyle \cfrac{x_1 + 1x_2+ x_3}{3},\frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right )}

 

2 Calculamos el baricentro con el tercer vértice {C=(x, y)}} para lo cual sustituimos en la fórmula anterior

 

{\left(\displaystyle\frac{2}{3}, 0\right) = \left(\displaystyle\frac{2 + 1 + x}{3},\frac{1 + 0 + y}{3}\right)}

 

3 Igualamos las coordenadas y resolvemos para las variables x, y

 

Para la primera coordenada

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{ 2 + 1 + x}{3} & = & \displaystyle\frac{2}{3} \\\\ \displaystyle 3 \left ( \frac{ 3 + x}{3} \right ) & = & \displaystyle 3 \left ( \frac{2}{3} \right ) \\\\ 3 + x & = & 2 \\\\ x & = & -1 \end{array}}

 

Para la segunda coordenada

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{1 + 0 + y}{3} & = & 0 \\\\ 3 \left ( \cfrac{1 + y}{3} \right ) & = & 3 (0) \\\\ 1 + y & = & 0 \\\\ y & = & -1 \end{array}}

 

4 El tercer vértice es

 

{C(-1,-1)}

 

 

3Dados los puntos {A (3, 2)} y {B(5, 4)} halla un punto {C}, alineado con {A} y {B}, de manera que se obtenga {\displaystyle\frac{CA}{CB}=\frac{3}{2}}

1 Como  {\displaystyle\frac{CA}{CB}=\frac{3}{2}}, sustituimos los valores de A, B y C(x, y) y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} CA & = &\displaystyle\frac{3}{2} CB \\\\ 2 CA & = & 3 CB \\\\ 2 (3-x,2-y) & = & \displaystyle 3 (5-x,4-y) \\\\ (6 - 2x, 4 - 2y) & = & (15 - 3x, 12 - 3y) \end{array}}

 

2 Igualamos las coordenadas y resolvemos para las variables x, y

 

Para la primera coordenada

 

{\begin{array}{rcl} 6 - 2x & = & 15 - 3x \\\\ 3x - 2x & = & 15 - 6 \\\\ x & = & 9 \end{array}}

 

Para la segunda coordenada

 

{\begin{array}{rcl} 4 - 2y & = & 12 - 3y \\\\ 3y - 2y & = & 12 - 4 \\\\ y & = & 8 \end{array}}

 

3 El punto buscado es {C(9,8)}

 

 

4Calcula las coordenadas de {D} para que el cuadrilátero de vértices: {A(-1, -2), B(4, -1), C(5, 2)} y {D} sea un paralelogramo.

1 Para encontrar las coordenadas D(x, y) utlizamos el hecho de que al ser los lados opuestos del paralelogramo iguales, entonces sus vectores también lo son

 

{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}}

 

2 Sustituimos los datos y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} (4+1,-1+2) & = & (5 - x, 2 - y) \\ && \\ (5,1)& = &(5 - x, 2 - y) \end{array}}

 

3 Igualamos las coordenadas y resolvemos para las variables x, y

 

Para la primera coordenada

 

{\begin{array}{rcl} 5 - x & = & 5 \\\\ -x & = & 5 - 5 \\\\ x & = & 0 \end{array}}

 

Para la segunda coordenada

 

{\begin{array}{rcl} 2 - y & = & 1 \\\\ -y & = & 1 - 2 \\\\ y & = & 1 \end{array}}

 

4 El vértice buscado es {D(0,1)}

 

 

5Si {\vec{u}, \vec{v}} forman una base ortonormal, calcular:

 

a {\vec{u} \cdot \vec{u}}

 

b{\vec{u} \cdot \vec{v}}

 

c{\vec{v} \cdot \vec{u}}

 

d {\vec{v} \cdot \vec{v}}

1 Como \vec{u}, \vec{v} son ortonormales, entonces son perpendiculares entre si, por lo que forman un ángulo de 90^o y su magnitud es 1, esto es, |\vec{u}| = |\vec{v}| = 1

 

2 Para encontrar los productos solicitados utilizamos la fórmula

 

{\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \theta}

 

con \theta igual al ángulo entre \vec{u} y \vec{v}

 

3 Encontramos los productos solicitados sutituyendo en la fórmula y empleando el valor adecuado de \theta: \, 0^o si es el vector es el mismo y 90^o si son distintos

 

a {\vec{u} \cdot \vec{u} = (1)(1)cos\; 0^{o} = 1}

 

b {\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(1)cos\; 90^{o} = 0}

 

c {\vec{v} \cdot \vec{u} = (1)(1)cos\; 90^{o} = 0}

 

d {\vec{v} \cdot \vec{v} = (1)(1)cos \; 0^{o} = 1}

 

 

6Dados los vectores {\vec{u}=(2,k), \; \vec{v}=(3,-2)}, calcula {k} para que los vectores {\vec{u}, \; \vec{v}} sean:

 

a Perpendiculares.

 

b Paralelos.

 

c Formen un ángulo de {60^{o}}.

a Perpendiculares: Dos vectores son perpendiculares si su producto es cero

 

Realizamos el producto y despejamos la variable k

 

{\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & 0 \\\\ (2,k) \cdot (3,-2) & = & 0 \\\\ 2 \cdot 3 +k(-2) & = & 0 \\\\ k & = & 3 \end{array}}

 

b Paralelos: Dos vectores son paralelos si sus componentes son proporcionales, esto es,

 

\cfrac{u_1}{v_1} = \cfrac{u_2}{v_2}

 

Realizamos la igualdad de proporciones y despejamos la variable k

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{2}{3} & = & \cfrac{k}{-2} \\\\ (-2) \cdot \left ( \cfrac{2}{3} \right ) & = & (-2) \cdot \left (\cfrac{k}{-2} \right ) \\\\ -\cfrac{4}{3} & = & k \end{array}}

 

c Formen un ángulo de {60^{o}}: Sustituimos los valores en la fórmula del producto de vectores

 

{\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \theta}

 

con \theta = 60^o

 

{\begin{array}{rcl} (2, k)\cdot (3, -2) & = & \sqrt{4 + k^{2}} \cdot \sqrt{13} \cdot cos\; 60^{o} \\\\ 2 \cdot 3 - 2k & = & \cfrac{1}{2}\sqrt{13} \cdot \sqrt{4 + k^2} \end{array}}

 

Elevamos ambos lados al cuadrado y simplificamos

 

{\begin{array}{rcl} (6 - 2k)^2 & = & \left ( \cfrac{1}{2}\sqrt{13} \cdot \sqrt{4 + k^2} \right )^2 \\\\ 36 - 24k + 4k^2 & = & \cfrac{52 + 13k^2}{4} \\\\ 144 - 96k + 16k^2 & = & 52 + 13k^2 \\\\ 3k^2 - 96k + 92 & = & 0 \end{array}}

 

Resolvemos empleando la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación de segundo grado

 

\begin{array}{rcl} k & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-(-96) \pm \sqrt{(-96)^2 - 4(3)(92)}}{2(3)} \\\\ & = & \cfrac{96 \pm \sqrt{8 112}}{6} \\\\ & = & \cfrac{96 \pm 90.07}{2} \end{array}

 

Las raíces de la ecuación cuadrática son {k=31.01, \ \ \ k=0.99}, pero solamente k=0.99 satisface la ecuación sin los cuadrados, de allí que este sea el valor de k buscado.

 

 

7Calcular el valor de {k} sabiendo que {\vec{a}=(-2,k), \; \vec{b}=(5,-3)} y {\vec{a} \cdot \vec{b}=-6}

1Calculamos el producto de vectores

 

{\begin{array}{rcl} \vec{a}\cdot \vec{b} & = & (-2) \cdot 5 + (-3)k \\\\ & = & -10 - 3k \end{array}}

 

2Igualamos el resultado a {-6} y resolvemos para {k}

 

{\begin{array}{rcl} -10 - 3k & = & -6 \\\\ -3k & = & -6 + 10 \\\\ k & = & -\cfrac{4}{3} \end{array}}

 

 

8Suponiendo que respecto de la base ortonormal {\{\vec{u}, \vec{v}\}} del plano. Calcular el valor {k} para que los vectores {\vec{a}=-3\vec{u}+k\vec{v}} y {\vec{b}=\vec{u}-5\vec{v}} sean ortogonales.

1Como la base es ortonormal se tiene que

 

{\begin{array}{rcl}\vec{u} \cdot \vec{v} & = & 0, \\\\ \vec{u} \cdot \vec{u} & = & 1, \\\\ \vec{v} \cdot \vec{v} & = & 1 \end{array}}

 

2Calculamos el producto punto de \vec{a} y \vec{b}

 

{\begin{array}{rcl} \vec{a} \cdot \vec{b} & = & (-3\vec{u}+k\vec{v}) \cdot (\vec{u}-5\vec{v}) \\\\ & = & -3 \vec{u} \cdot \vec{u} + (-3)(-5)\vec{u} \cdot \vec{v} + k\vec{v} \cdot \vec{u} + (-5)k \vec{v} \cdot \vec{v} \\\\ & = & -3 - 5k \end{array}}

 

3Dos vectores son ortogonales si su producto punto es cero. Sustituimos y depejamos k

 

{\begin{array}{rcl} \vec{a} \cdot \vec{b} & = & 0 \\\\ -3 - 5k & = & 0 \\\\ -5k & = & 3 \\\\ k & = & -\cfrac{3}{5} \end{array}}

 

 

9Calcula la proyección del vector {\vec{u}=(2,-5)} sobre el vector {\vec{v}=(5,1)}.

1La fórmula de la proyección del vector \vec{u} sobre el vector \vec{v} viene dada por

 

{OA' = \displaystyle\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{v}|}}

 

2Calculamos el producto de los vectores

 

{\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & 2 \cdot 5 + (-5) \cdot 1 \\\\ & = & 10 - 5 \\\\ & = & 5 \end{array} }

 

3Calculamos la magnitud del vector \vec{v}

 

{\begin{array}{rcl} |\vec{v}| & = & \sqrt{5^2 + 1^2} \\\\ & = & \sqrt{26} \end{array} }

 

4Sustituimos los datos en la fórmula de la proyección

 

{OA' = \displaystyle\frac{5}{\sqrt{26}}}

 

 

10Hallar un vector unitario {\vec{u}} de la misma dirección del vector {\vec{v} = (8,-6)} .

1La fórmula de un vector unitario viene dada por

 

{\vec{u} = \displaystyle\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}}

 

2Calculamos la magnitud del vector \vec{v}

 

{\begin{array}{rcl} |\vec{v}| & = & \sqrt{8^2 + (-6)^2} \\\\ & = & \sqrt{100} \\\\ & = & 10 \end{array}}

 

3Sustituimos en la fórmula de vector unitario

 

{\begin{array}{rcl} \vec{u} & = & \cfrac{1}{10}(8, -6) \\\\ & = & \left(\cfrac{4}{5}, - \cfrac{3}{5} \right)\end{array}}

>

La plataforma que conecta profes particulares y estudiantes

¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) 4,09 (23 nota(s))
Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗