1Hallar el simétrico del punto {A(3, -2)} respecto de {M(-2, 5)}.

1 Calculamos el punto simétrico A'(x, y), para lo cual se emplea {\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MA'}}

 

{\begin{array}{rcl}\overrightarrow{AM} & = & \overrightarrow{MA'} \\\\ (-2 - 3, 5 + 2) & = & (x + 2, y - 5) \end{array}}

 

2 Igualamos las coordenadas y despejamos las variables x, y

 

Para la primera coordenada

 

{\begin{array}{rcl}x + 2 & = & -5  \\\\ x & = & -7 \end{array}}

 

Para la segunda coordenada

 

{\begin{array}{rcl}y - 5 & = & 7  \\\\ y & = & 12 \end{array}}

 

3 El simétrico A' tiene coordenadas

 

{A'(-7, 12)}

 

 

2Dados dos vértices de un triángulo {A(2, 1), B(1, 0)} y el baricentro {G(2/3, 0)}, calcular el tercer vértice.

1 La fórmula para el baricentro de un triángulo con vértices A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3) es

 

{\left ( \displaystyle \cfrac{x_1 + 1x_2+ x_3}{3},\frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right )}

 

2 Calculamos el baricentro con el tercer vértice {C=(x, y)}} para lo cual sustituimos en la fórmula anterior

 

{\left(\displaystyle\frac{2}{3}, 0\right) = \left(\displaystyle\frac{2 + 1 + x}{3},\frac{1 + 0 + y}{3}\right)}

 

3 Igualamos las coordenadas y resolvemos para las variables x, y

 

Para la primera coordenada

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{ 2 + 1 + x}{3} & = & \displaystyle\frac{2}{3} \\\\ \displaystyle 3 \left ( \frac{ 3 + x}{3} \right ) & = & \displaystyle 3 \left ( \frac{2}{3} \right ) \\\\ 3 + x & = & 2  \\\\ x & = & -1  \end{array}}

 

Para la segunda coordenada

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{1 + 0 + y}{3} & = &  0 \\\\  3 \left ( \cfrac{1 + y}{3} \right ) & = & 3 (0)  \\\\ 1 + y & = & 0  \\\\  y & = & -1  \end{array}}

 

4 El tercer vértice es

 

{C(-1,-1)}

 

 

3Dados los puntos {A (3, 2)} y {B(5, 4)} halla un punto {C}, alineado con {A} y {B}, de manera que se obtenga {\displaystyle\frac{CA}{CB}=\frac{3}{2}}

1 Como  {\displaystyle\frac{CA}{CB}=\frac{3}{2}}, sustituimos los valores de A, B y C(x, y) y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} CA & = &\displaystyle\frac{3}{2} CB \\\\ 2 CA & = & 3 CB  \\\\  2 (3-x,2-y) & = & \displaystyle 3 (5-x,4-y)  \\\\  (6 - 2x, 4 - 2y) & = & (15 - 3x, 12 - 3y) \end{array}}

 

2 Igualamos las coordenadas y resolvemos para las variables x, y

 

Para la primera coordenada

 

{\begin{array}{rcl}  6 - 2x & = & 15 - 3x  \\\\  3x - 2x & = & 15 - 6  \\\\  x & = & 9  \end{array}}

 

Para la segunda coordenada

 

{\begin{array}{rcl} 4 - 2y & = & 12 - 3y  \\\\  3y - 2y & = & 12 - 4  \\\\  y & = & 8  \end{array}}

 

3 El punto buscado es {C(9,8)}

 

 

4Calcula las coordenadas de {D} para que el cuadrilátero de vértices: {A(-1, -2), B(4, -1), C(5, 2)} y {D} sea un paralelogramo.

1 Para encontrar las coordenadas D(x, y) utlizamos el hecho de que al ser los lados opuestos del paralelogramo iguales, entonces sus vectores también lo son

 

{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}}

 

2 Sustituimos los datos y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} (4+1,-1+2) & = & (5 - x, 2 - y) \\ && \\ (5,1)& = &(5 - x, 2 - y) \end{array}}

 

3 Igualamos las coordenadas y resolvemos para las variables x, y

 

Para la primera coordenada

 

{\begin{array}{rcl} 5 - x & = & 5  \\\\  -x & = & 5 - 5  \\\\  x & = & 0  \end{array}}

 

Para la segunda coordenada

 

{\begin{array}{rcl} 2 - y & = & 1  \\\\  -y & = & 1 - 2  \\\\  y & = & 1  \end{array}}

 

4 El vértice buscado es {D(0,1)}

 

 

5Si {\vec{u}, \vec{v}} forman una base ortonormal, calcular:

 

a {\vec{u} \cdot \vec{u}}

 

b{\vec{u} \cdot \vec{v}}

 

c{\vec{v} \cdot \vec{u}}

 

d {\vec{v} \cdot \vec{v}}

1 Como \vec{u}, \vec{v} son ortonormales, entonces son perpendiculares entre si, por lo que forman un ángulo de 90^o y su magnitud es 1, esto es, |\vec{u}| = |\vec{v}| = 1

 

2 Para encontrar los productos solicitados utilizamos la fórmula

 

{\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \theta}

 

con \theta igual al ángulo entre \vec{u} y \vec{v}

 

3 Encontramos los productos solicitados sutituyendo en la fórmula y empleando el valor adecuado de \theta: \, 0^o si es el vector es el mismo y 90^o si son distintos

 

a {\vec{u} \cdot \vec{u} = (1)(1)cos\; 0^{o} = 1}

 

b {\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(1)cos\; 90^{o} = 0}

 

c {\vec{v} \cdot \vec{u} = (1)(1)cos\; 90^{o} = 0}

 

d {\vec{v} \cdot \vec{v} = (1)(1)cos \; 0^{o} = 1}

 

 

6Dados los vectores {\vec{u}=(2,k), \; \vec{v}=(3,-2)}, calcula {k} para que los vectores {\vec{u}, \; \vec{v}} sean:

 

a Perpendiculares.

 

b Paralelos.

 

c Formen un ángulo de {60^{o}}.

a Perpendiculares: Dos vectores son perpendiculares si su producto es cero

 

Realizamos el producto y despejamos la variable k

 

{\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & 0  \\\\ (2,k) \cdot (3,-2) & = & 0  \\\\ 2 \cdot 3 +k(-2) & = & 0  \\\\ k & = & 3  \end{array}}

 

b Paralelos: Dos vectores son paralelos si sus componentes son proporcionales, esto es,

 

\cfrac{u_1}{v_1} = \cfrac{u_2}{v_2}

 

Realizamos la igualdad de proporciones y despejamos la variable k

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{2}{3} & = & \cfrac{k}{-2} \\\\  (-2) \cdot \left ( \cfrac{2}{3} \right ) & = & (-2) \cdot \left (\cfrac{k}{-2} \right )  \\\\  -\cfrac{4}{3} & = & k \end{array}}

 

c Formen un ángulo de {60^{o}}: Sustituimos los valores en la fórmula del producto de vectores

 

{\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \theta}

 

con \theta = 60^o

 

{\begin{array}{rcl} (2, k)\cdot (3, -2) & = & \sqrt{4 + k^{2}} \cdot \sqrt{13} \cdot cos\; 60^{o} \\\\  2 \cdot 3 - 2k & = & \cfrac{1}{2}\sqrt{13} \cdot \sqrt{4 + k^2}  \end{array}}

 

Elevamos ambos lados al cuadrado y simplificamos

 

{\begin{array}{rcl} (6 - 2k)^2 & = & \left ( \cfrac{1}{2}\sqrt{13} \cdot \sqrt{4 + k^2} \right )^2  \\\\  36 - 24k + 4k^2 & = & \cfrac{52 + 13k^2}{4}  \\\\  144 - 96k + 16k^2 & = & 52 + 13k^2  \\\\  3k^2 - 96k + 92 & = & 0 \end{array}}

 

Resolvemos empleando la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación de segundo grado

 

\begin{array}{rcl} k & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}  \\\\  & = & \cfrac{-(-96) \pm \sqrt{(-96)^2 - 4(3)(92)}}{2(3)}  \\\\  & = & \cfrac{96 \pm \sqrt{8 112}}{6}  \\\\  & = & \cfrac{96 \pm 90.07}{2}  \end{array}

 

Las raíces de la ecuación cuadrática son {k=31.01, \ \ \ k=0.99}, pero solamente k=0.99 satisface la ecuación sin los cuadrados, de allí que este sea el valor de k buscado.

 

 

7Calcular el valor de {k} sabiendo que {\vec{a}=(-2,k), \; \vec{b}=(5,-3)} y {\vec{a} \cdot \vec{b}=-6}

1Calculamos el producto de vectores

 

{\begin{array}{rcl} \vec{a}\cdot \vec{b} & = & (-2) \cdot 5 + (-3)k  \\\\  & = & -10 - 3k \end{array}}

 

2Igualamos el resultado a {-6} y resolvemos para {k}

 

{\begin{array}{rcl} -10 - 3k & = & -6  \\\\ -3k & = & -6 + 10  \\\\  k & = & -\cfrac{4}{3} \end{array}}

 

 

8Suponiendo que respecto de la base ortonormal {\{\vec{u}, \vec{v}\}} del plano. Calcular el valor {k} para que los vectores {\vec{a}=-3\vec{u}+k\vec{v}} y {\vec{b}=\vec{u}-5\vec{v}} sean ortogonales.

1Como la base es ortonormal se tiene que

 

{\begin{array}{rcl}\vec{u} \cdot \vec{v} & = & 0, \\\\  \vec{u} \cdot \vec{u} & = & 1,  \\\\  \vec{v} \cdot \vec{v} & = & 1  \end{array}}

 

2Calculamos el producto punto de \vec{a} y \vec{b}

 

{\begin{array}{rcl} \vec{a} \cdot \vec{b} & = & (-3\vec{u}+k\vec{v}) \cdot (\vec{u}-5\vec{v})  \\\\  & = & -3 \vec{u} \cdot \vec{u} + (-3)(-5)\vec{u} \cdot \vec{v} + k\vec{v} \cdot \vec{u} + (-5)k \vec{v} \cdot \vec{v} \\\\ & = & -3 - 5k \end{array}}

 

3Dos vectores son ortogonales si su producto punto es cero. Sustituimos y depejamos k

 

{\begin{array}{rcl} \vec{a} \cdot \vec{b} & = & 0 \\\\ -3 - 5k & = & 0  \\\\  -5k & = & 3  \\\\  k & = & -\cfrac{3}{5}  \end{array}}

 

 

9Calcula la proyección del vector {\vec{u}=(2,-5)} sobre el vector {\vec{v}=(5,1)}.

1La fórmula de la proyección del vector \vec{u} sobre el vector \vec{v} viene dada por

 

{OA' = \displaystyle\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{v}|}}

 

2Calculamos el producto de los vectores

 

{\begin{array}{rcl} \vec{u} \cdot \vec{v} & = & 2 \cdot 5 + (-5) \cdot 1  \\\\  & = & 10 - 5 \\\\  & = & 5  \end{array} }

 

3Calculamos la magnitud del vector \vec{v}

 

{\begin{array}{rcl} |\vec{v}| & = & \sqrt{5^2 + 1^2}  \\\\  & = & \sqrt{26} \end{array} }

 

4Sustituimos los datos en la fórmula de la proyección

 

{OA' = \displaystyle\frac{5}{\sqrt{26}}}

 

 

10Hallar un vector unitario {\vec{u}} de la misma dirección del vector {\vec{v} = (8,-6)} .

1La fórmula de un vector unitario viene dada por

 

{\vec{u} = \displaystyle\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}}

 

2Calculamos la magnitud del vector \vec{v}

 

{\begin{array}{rcl} |\vec{v}| & = & \sqrt{8^2 + (-6)^2} \\\\  & = &  \sqrt{100}  \\\\  & = & 10 \end{array}}

 

3Sustituimos en la fórmula de vector unitario

 

{\begin{array}{rcl} \vec{u} & = & \cfrac{1}{10}(8, -6)  \\\\ & = & \left(\cfrac{4}{5}, - \cfrac{3}{5} \right)\end{array}}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗