Ejercicio 1

Hallar el simétrico del punto {A(3, -2)} respecto de {M(-2, 5)}.

 

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Ejercicio 2

Dados dos vértices de un triángulo {A(2, 1), B(1, 0)} y el baricentro {G(2/3, 0)}, calcular el tercer vértice.

 

Ejercicio 3

Dados los puntos {A (3, 2)} y {B(5, 4)} halla un punto {C}, alineado con {A} y {B}, de manera que se obtenga {\displaystyle\frac{CA}{CB}=\frac{3}{2}}

 

Ejercicio 4

Calcula las coordenadas de {D} para que el cuadrilátero de vértices: {A(-1, -2), B(4, -1), C(5, 2)} y {D} sea un paralelogramo.

 

Ejercicio 5

Si {\vec{u}, \vec{v}} forman una base ortonormal, calcular:

 

1 {\vec{u} \cdot \vec{u}}

 

2 {\vec{u} \cdot \vec{v}}

 

3 {\vec{v} \cdot \vec{u}}

 

4 {\vec{v} \cdot \vec{v}}

 

Ejercicio 6

Dados los vectores {\vec{u}=(2,k), \;  \vec{v}=(3,-2)}, calcula {k} para que los vectores {\vec{u}, \; \vec{v}} sean:

 

1 Perpendiculares.

 

2 Paralelos.

 

3 Formen un ángulo de {60^{o}}.

 

Ejercicio 7

Calcular el valor de {k} sabiendo que {\vec{a}=(-2,k), \; \vec{b}=(5,-3)} y {\vec{a} \cdot \vec{b}=-6}

 

Ejercicio 8

Suponiendo que respecto de la base ortonormal {\{\vec{u}, \vec{v}\}} del plano. Calcular el valor {k} para que los vectores {\vec{a}=-3\vec{u}+k\vec{v}} y {\vec{b}=\vec{u}-5\vec{v}}  sean ortogonales.

 

Ejercicio 9

Calcula la proyección del vector {\vec{u}=(2,-5)} sobre el vector {\vec{v}=(5,1)}.

 

Ejercicio 10

Hallar un vector unitario {\vec{u}}  de la misma dirección del vector {\vec{v}=(8,-6)} .

 

Ejercicio 1 resuelto

Hallar el simétrico del punto {A(3, -2)} respecto de {M(-2, 5)}.

 

1 Calculamos {\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MA'}}

 

{(-2-3, 5+2)=(x+2,y-5)}

 

2 Igualamos las coordenadas y resolvemos

 

{x+2=-5 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=-7}

 

{y-5=7 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y=12}

 

3 El simétrico es

 

{A'(-7,12)}

 

Ejercicio 2 resuelto

Dados dos vértices de un triángulo {A(2, 1), B(1, 0)} y el baricentro {G(2/3, 0)}, calcular el tercer vértice.

 

1 Calculamos el baricentro con el tercer vértice {C=(x,y)}}

 

{\left(\displaystyle\frac{2}{3},0\right)=\left(\displaystyle\frac{2+1+x}{3},\frac{1+0+y}{3}\right)}

 

2 Igualamos las coordenadas y resolvemos

 

{\displaystyle\frac{2+1+x}{3}=\displaystyle\frac{2}{3} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=-1}

 

{\displaystyle\frac{1+0+y}{3}=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y=-1}

 

3 El tercer vértice es

 

{C(-1,-1)}

 

Ejercicio 3 resuelto

Dados los puntos {A (3, 2)} y {B(5, 4)} halla un punto {C}, alineado con {A} y {B}, de manera que se obtenga {\displaystyle\frac{CA}{CB}=\frac{3}{2}}

 

1 Como  {\displaystyle\frac{CA}{CB}=\frac{3}{2}}, tenemos que

 

{\begin{array}{rcl} CA & = &\displaystyle\frac{3}{2} CB \\ && \\ (3-x,2-y)&=&\displaystyle\frac{3}{2} (5-x,4-y) \end{array}}

 

2 Igualamos las coordenadas y resolvemos

 

{3-x=\displaystyle\frac{3}{2} (5-x) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=9}

 

{2-y=\displaystyle\frac{3}{2} (4-y) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y=8}

 

3 El punto buscado es

 

{C(9,8)}

 

Ejercicio 4 resuelto

Calcula las coordenadas de {D} para que el cuadrilátero de vértices: {A(-1, -2), B(4, -1), C(5, 2)} y {D} sea un paralelogramo.

 

1 Como los lados opuestos del paralelogramo son iguales {AB=CD}, tenemos que

 

{\begin{array}{rcl} (4+1,-1+2) & = & (5-x,2-y) \\ && \\ (5,1)&=&(5-x,2-y) \end{array}}

 

2 Igualamos las coordenadas y resolvemos

 

{5-x=5 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=0}

 

{2-y=1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ y=1}

 

3 El punto buscado es

 

{D(0,1)}

 

Ejercicio 5 resuelto

Si {\vec{u}, \vec{v}} forman una base ortonormal, calcular:

 

1 {\vec{u} \cdot \vec{u}=(1)(1)cos\; 0^{o}=1}

 

2 {\vec{u} \cdot \vec{v}=(1)(1)cos\; 90^{o}=0}

 

3 {\vec{v} \cdot \vec{u}=(1)(1)cos\; 90^{o}=0}

 

4 {\vec{v} \cdot \vec{v}=(1)(1)cos \; 0^{o}=1}

 

Ejercicio 6 resuelto

Dados los vectores {\vec{u}=(2,k), \; \vec{v}=(3,-2)}, calcula {k} para que los vectores {\vec{u}, \; \vec{v}} sean:

 

1 Perpendiculares: El producto punto es cero

 

{\vec{u} \cdot \vec{v}=(2,k)\cdot (3,-2)=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ k=3}

 

2 Paralelos: Las componentes de cada vector son proporcionales

 

{\displaystyle\frac{2}{3}=\frac{k}{-2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ k=-\frac{4}{3}}

 

3 Formen un ángulo de {60^{o}}: Sustituimos los valores e la fórmula del producto punto

 

{(2,k)\cdot (3,-2)=\sqrt{4+k^{2}}\sqrt{13}cos\; 60^{o} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 3k^{2}-96k+92=0}

 

Tenemos dos valores para {k}

 

{k=31.01, \ \ \ k=0.99}

 

Ejercicio 7 resuelto

Calcular el valor de {k} sabiendo que {\vec{a}=(-2,k), \; \vec{b}=(5,-3)} y {\vec{a} \cdot \vec{b}=-6}

 

Calculamos el producto punto

 

{\vec{a}\cdot \vec{b}=-10-3k}

 

Igualamos el resultado a {-6} y resolvemos para {k}

 

{-10-3k=-6 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  k=-\displaystyle\frac{4}{3}}

 

Ejercicio 8 resuelto

Suponiendo que respecto de la base ortonormal {\{\vec{u}, \vec{v}\}} del plano. Calcular el valor {k} para que los vectores {\vec{a}=-3\vec{u}+k\vec{v}} y {\vec{b}=\vec{u}-5\vec{v}} sean ortogonales.

 

Calculamos el producto punto

 

{\vec{a}\cdot \vec{b}=-3-5k}

 

Dos vectores son ortogonales si su producto punto es cero

 

{-3-5k=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ k=-\displaystyle\frac{3}{5}}

 

Ejercicio 9 resuelto

Calcula la proyección del vector {\vec{u}=(2,-5)} sobre el vector {\vec{v}=(5,1)}.

 

Calculamos la proyección que viene dada por

 

{OA'=\displaystyle\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{v}|}}

 

{OA'=\displaystyle\frac{5}{\sqrt{26}}}

 

Ejercicio 10 resuelto

Hallar un vector unitario {\vec{u}} de la misma dirección del vector {\vec{v}=(8,-6)} .

 

{\vec{u}=\displaystyle\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=\frac{1}{10}(8,-6)=\left(\frac{4}{5}, -\frac{3}{5} \right)

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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