El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

 

Expresión analítica del producto escalar

 

Sean U,V vectores, entonces U*V=(u_{1}*v_{2})+(u_{2}*v_{1})+(u_{3}*v_{3})

 

Ejemplo:

Hallar el producto escalar de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son: (1, 1/2, 3)  y  (4, −4, 1).

(1, 1/2, 3) · (4, −4, 1) =  1 · 4  +  (1/2) · (−4)  +  3 · 1  = 4 −2 + 3    = 5

 

Expresión analítica del módulo de un vector

 

Sea "U" un vector, |U|=\sqrt(U*U)=\sqrt((u_(1)*u_(1))+(u_(2)*u_(2))+(u_(3)*u_(3)))=\sqrt((u_(1))^(2)+(u_(2))^(2)+(u_(3))^(2))

 

Ejemplo:

Hallar el valor del módulo de un vector de coordenadas = (−3, 2, 5) en una base ortonormal.

Sea el vector U=-(3,2,5), entonces |U|= \sqrt((-3)^(2) + (2)^(2) + (5)^(2)) = \sqrt(9+4+25) = \sqrt(38)

 

Expresión analítica del ángulo de dos vectores

 

\cos \alpha =((u_(1)*v_(2))+(u_(2)*v_(1))+(u_(3)*v_(3)))/(\sqrt((u_(1))^(2)+(u_(2))^(2)+(u_(3))^(2))*\sqrt((v_(1))^(2)+(v_(2))^(2)+(v_(3))^(2)))

Ejemplo:

Determinar el ángulo que forman los vectores = (1, 2, −3) y = (−2, 4, 1).

\cos \alpha =(-2+8-3)/(\sqrt(1+4+9)*\sqrt(4+16+1))=(3)/(\sqrt(14)*\sqrt(21))=(3)/(7\sqrt(6))

\alpha =\arccos ((3)/(7\sqrt(6)))=79.92\deg

 

Vectores ortogonales

 

Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0.

\overrightarrow{U} \cdot  \overrightarrow{V} = U_1 \cdot V_1 + U_2 \cdot V_2 + U_3 \cdot V_3 = 0

 

Ejemplo:

Calcular los valores x e y para que el vector (x, y, 1) sea ortogonal a los vectores (3, 2, 0) y (2, 1, −1).

x , y ,1)*(3,2,0)=3x+2y ; para que los vectores sean ortogonales, el producto punto debe ser cero, entonces 3x+2y=0

(x , y ,1)*(2,1,-1)=2x+y-1 ; para que los vectores sean ortogonales, el producto punto debe ser cero, entonces 2x+y-1=0

x=2 ; y=-3

 

Propiedades del producto escalar

 

1. Conmutativa

Sean U y V vectores, entonces U*V=V*U

2. Asociativa

Sean U y V vectores y K una constante , entonces K*(U*V)= (K*U)*V

3. Distributiva

Sean U, V, y W vectores, entonces U*(V+W)= U*V + U*W

4. El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

Sea U un vector, si U distinto de cero, entonces U*U > 0

 

Interpretación geométrica del producto escalar

 

El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Modulo del vector U proyectado sobre el modulo del vector V

Sea U un vector; \cos \alpha =(OA')/(|U|) , o bien , OA'=|U|*(\cos \alpha )

Sean Uy V 2 vectores, entonces: U*V=|V|*OA' o bien OA'=(U*V)/(|V|)

OA' es la proyección del vector  \overrightarrow{U}  sobre \overrightarrow{V}, que lo denotamos como: Proyeccion del vector U sobre el vector V.

La proyección del vector U sobre el vector V se obtiene con la formula: (U*V)/(|V|)

 

Ejercicio:

Dados los vectores \overrightarrow{U }=(2,-3,5) y \overrightarrow{V} = (6, -1, 0) hallar:

 

1

Los módulos de \overrightarrow{U} y \overrightarrow{V}·

|U|=\sqrt((2)^(2)+(-3)^(2)+(5)^(2))=\sqrt(38)

|V|=\sqrt((6)^(2)+(-1)^(2)+(0)^(2))=\sqrt(37)}

 

2

El producto escalar de \overrightarrow{U} y \overrightarrow{V}·

U*V= (2*6)+(-3)*(-1)+(5*0)=15

 

3

El ángulo que forman.

\cos \alpha =(15)/(\sqrt(38)*\sqrt(37))=0.4

\alpha =\arccos (0.4)=66.42

 

4

La proyección del vector \overrightarrow{U} sobre \overrightarrow{V}.

La proyección de V sobre U es 15/(\sqrt(37))

 

5

La proyección del vector \overrightarrow{U} sobre \overrightarrow{V}.

La proyección de U sobre V es 15/(\sqrt(38))

 

6

El valor de m para que los vectores \overrightarrow{U} = (2, -3, 5 ) y \overrightarrow{V} = (m, 2, 3) sean ortogonales.

2m-6+15=0 , entonces m=- 9/2

 

Cosenos directores

 

En una base ortonormal, se llaman cosenos directores del vector \overrightarrow{U} = (x, y, z), a los cosenos de los ángulos que forma el vector \overrightarrow{U} con los vectores de la base.

\cos \alpha =(x)/(\sqrt(x^(2)+y^(2)+z^(2)))

\cos \beta =(y)/(\sqrt(x^(2)+y^(2)+z^(2)))

\cos \gamma =(z)/(\sqrt(x^(2)+y^(2)+z^(2)))

\cos ^(2)\alpha +\cos ^(2)\beta +\cos ^(2)\gamma =1

 

Ejemplo:

Determinar los cosenos directores del vector (1, 2, −3).

\alpha =(1)/(\sqrt(1^(2)+2^(2)+(-3)^(2)))=(1)/(\sqrt(14))

\cos \beta =(2)/(\sqrt(1^(2)+2^(2)+(-3)^(2)))=(2)/(\sqrt(14))

\cos \gamma =(-3)/(\sqrt(1^(2)+2^(2)+(-3)^(2)))=(-3)/(\sqrt(14))

((1)/(\sqrt(14)))^(2)+((2)/(\sqrt(14)))^(2)+((-3)/(\sqrt(14)))^(2)=((1)/(14))+((4)/(14))+((9)/(14))=1

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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