En el plano cartesiano el producto escalar —también llamado producto punto, o bien, producto interno— de dos vectores  \vec{u}=\left ( u_1, u_2 \right ) y  \vec{v} = \left ( v_1, v_2 \right ) es un número real positivo que corresponde al producto de sus módulos por el coseno del ángulo  \alpha que forman

 

\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = \left| \vec{u} \right| \left| \vec{v} \right| \cos \alpha ;

 

y en su representación analítica, equivale a la suma del producto de sus entradas coordenada a coordenada:

 

\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = \left ( u_1, u_2 \right ) \cdot \left ( v_1, v_2 \right ) = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} .

 

 

En el espacio cartesiano, la interpretación geométrica del producto escalar es la misma pues el ángulo  \alpha corresponde al ángulo que se forma en el plano que contiene a los vectores. Además, el módulo de cada vector se calcula de la misma manera pero considerando una coordenada más. El módulo de un vector también se conoce como norma:

 

\displaystyle \left| u \right|= \sqrt{\vec {u}\cdot \vec{u}} = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 }.

 

Por ejemplo, para el vector  \vec{u}=\left( 2,4,3 \right) el módulo es

 

\displaystyle \left | \vec{u} \right |=\sqrt{2^2+4^2+3^2}=\sqrt{4+16+9}=\sqrt{29}.

 

 

Fórmulas del producto escalar en el espacio

 

 

Para dos vectores  \vec{u}=\left ( u_1, u_2, u_3 \right ) y  \vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right) en el espacio cartesiano, el producto escalar está dado por

 

\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = \left| \vec{u} \right | \left | \vec{v} \right | \cos \alpha

 

y su representación analítica como

 

\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + u_{3}v_{3}.

 

Y, por tanto, el ángulo  \alpha como

 

\displaystyle \alpha = \arccos\left( \dfrac{u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + u_{3}v_{3}}{\left | \vec{u} \right | \left | \vec{v} \right |} \right).

 

Ejemplo:

 

1 Hallar el producto escalar de los vectores {\vec{u}= \left(1, \frac{1}{2}, 3 \right), \; \vec{v}= \left( 4, -4, 1 \right) .

 

 

\vec{u}\cdot \vec{v}= 1( 4) + \frac{1}{2} (-4) + 3(1) = 4 -2 + 3 = 5.

 

 

2Calcular los módulos de los vectores {\vec{u}=(3, 4, -5)} y {\vec{v}=(2, 1, 3)} .

 

 

|\vec{u}|=\sqrt{3^{2}+ 4^{2}+ (-5)^{2}}=\sqrt{50}} = 5\sqrt{2}

 

|\vec{v}|=\sqrt{2^{2}+1^{2}+3^{2}}=\sqrt{14}

 

3Determinar el ángulo que forman los vectores {\vec{u}=(1, 2, -3)} y {\vec{v}=(-2, 4, 1)} .

 

 \alpha = \arccos\left( \dfrac{-2 + 8 - 3}{\sqrt{1+4+9}\sqrt{4+16+1} } \right )= \arccos\left( \dfrac{3}{\sqrt{14}\sqrt{21} } \right ) = \arccos\left( \dfrac{3}{7\sqrt{6} } \right ) \approx 79.92^{\circ}

 

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Vamos

Generalizaciones del producto escalar en el espacio

 

Vectores ortogonales

 

Al igual que en el plano cartesiano, dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero, pues  \cos (90^\circ) = 0 . Así, si los vectores  \vec{u} y  \vec{v} son ortogonales entonces

 

 \vec{u} \cdot  \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 = 0

 

Ejercicio:

 

Calcula los valores  x, y para que el vector  (x, y, 1) sea ortogonal a los vectores  (3, 2, 0) y  (2, 1, -1) .

 

 \left ( x, y, 1 \right )\perp \left ( 3, 2,0 \right )\Rightarrow 3x+2y=0

 

 \left ( x, y, 1 \right )\perp \left ( 2, 1,-1 \right )\Rightarrow 2x+y=1

 

Así,  x=2, y=-3 .

 

 

Nota: Si los vectores  \vec{u} y  \vec{v} son paralelos, el ángulo que se forma es de 0^\circ y  \vec{u} \cdot \vec{v} =|\vec{u}| |\vec{v} | , pues  \cos (0^\circ) = 1 .

 

Nota: Si los vectores  \vec{u} y  \vec{v} forman un ángulo de 180^\circ,  \vec{u} \cdot \vec{v} =-|\vec{u}| |\vec{v} | pues  \cos (180^\circ) = -1 .

 

Propiedades del producto escalar

 

1 Es conmutativo.

 

\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}

 

2 Es asociativo con respecto a la multiplicación por un escalar.

 

\displaystyle k \left(\vec{u} \cdot \vec{v} \right) = \left(k\vec{u} \right) \cdot \vec{v}

 

3 Es distributivo con respecto a la suma de vectores.

 

\displaystyle \left(\vec{u} + \vec{v} \right) \cdot \vec{w} =\vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w}

 

4 Hereda el ser positivo definido.

 

\displaystyle \vec{u} \neq 0 \Rightarrow \vec{u} \cdot \vec{u} > 0

 

Interpretación geométrica del producto escalar

 

Dados dos vectores y considerando el plano que los contiene, puede interpretarse el producto escalar como el producto del módulo de un vector por el módulo de la proyección del otro vector sobre éste.

Modulo del vector U proyectado sobre el modulo del vector V

 

Como  \overline{AA'} \perp \overline{OB}, aplicando las identidades trignométricas

 

\displaystyle \cos(\alpha ) = \dfrac{\overline{OA'}}{|\vec{u}|} \Rightarrow \overline{OA'}= |\vec{u}|\cos (\alpha )

 

\displaystyle \overline{OA'}= \dfrac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} |\vec{u}| = \dfrac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{v}|}

 

Entonces  \overline{OA'} se define como la proyección del vector  \vec{u} sobre el vector  \vec{v}

 

\displaystyle \mathrm{Proy}\vec{u}_{\vec{v}} = \dfrac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{v}|}

 

y el vector proyección de  \vec{u} sobre  \vec{v} a partir de un vector con módulo la unidad paralelo a  \vec{v} :

 

\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{Proy}}\vec{u}_{\vec{v}} = \dfrac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \vec{v}

 

Ejercicio:

 

Dados los vectores  \vec{u }=(2,-3,5) y  \vec{v} = (6, -1, 0) , calcula:

 

a) Los módulos de  \vec{u } y  \vec{v} .

 

\displaystyle \vec{u} = \sqrt{4+9+25} = \sqrt{38}

 

\displaystyle \vec{v} = \sqrt{36+1} = \sqrt{37}

 

b) El producto escalar de  \vec{u } y  \vec{v} .

 

\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v} = 12+3+0 = 15

 

c) El ángulo  \alpha que forman.

 

\displaystyle \alpha = \arccos \left(\dfrac{15}{\sqrt{38}\sqrt{37}} \right) = \arccos (0.4) \approx 66.42^\circ

 

d) La proyección de  \vec{u } sobre  \vec{v} .

 

\displaystyle \mathrm{Proy}\vec{u}_{\vec{v}} = \dfrac{15}{37}

 

e) La proyección de  \vec{v } sobre  \vec{u} .

 

\displaystyle \mathrm{Proy}\vec{v}_{\vec{u}} = \dfrac{15}{38}

 

f) Calcula el valor de  m para que los vectores  \vec{u}=(2,-3,5) y  \vec{v}=(m,2,3) sean ortogonales.

 

\vec{u}\cdot\vec{v} = 2m-6+15=0 \Rightarrow m=-4.5

 

Cosenos directores de una base ortonormal

 

En una base ortonormal, se llaman cosenos directores del vector  \vec{u} = (x,y,z) a los cosenos de los ángulos que forma  \vec{u} con cada uno de los vectores de la base. Si se consideran la base canónica  \hat{i} = (1,0,0), \hat{j} = (0,1,0), \hat{k} = (0,0,1) , por ejemplo, se tiene que

 

\displaystyle \cos \alpha = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \quad \cos \beta= \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \quad \cos \gamma= \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},

 

donde se cumple que

\displaystyle \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma= 1.

 

Ejercicio:

 

Determinar los cosenos directores del vector  (1,2,-3) con respecto a la base canónica y verifica que su suma es 1.

 

\displaystyle \cos \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{1+4+9}}= \dfrac{1}{\sqrt{14}}

 

\displaystyle \cos \beta= \dfrac{2}{\sqrt{1+4+9}}= \dfrac{2}{\sqrt{14}}

 

\displaystyle \cos \gamma= \dfrac{-3}{\sqrt{1+4+9}}= - \dfrac{3}{\sqrt{14}}

 

\displaystyle \left( \dfrac{1}{\sqrt{14}}\right)^2 + \left( \dfrac{2}{\sqrt{14}}\right)^2 + \left(- \dfrac{3}{\sqrt{14}}\right)^2 = \dfrac{1}{14} + \dfrac{4}{14}+ \dfrac{9}{14} = \dfrac{14}{14}=1

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗