Ejercicio 1

Dados los vectores:
 

\vec{x}=(1,2),\ \vec{y}=(3,-1)

 
hallar la combinación lineal:
 
\vec{z}=2\vec{x}+3\vec{y}

 

 

Lo primero que haremos es sustituir los valores de \vec{x}, \vec{y} en la combinación lineal, por lo que tenemos:
 
\vec{z}=2\vec{x}+3\vec{y}\Rightarrow \vec{z}=2\cdot (1,2)+3\cdot (3,-1)

 
Ahora haremos la multiplicación por el escalar:
 
\vec{z}=(2,4)+(9,-3)

 
Por lo que finalmente necesitamos hacer la suma de los vectores para resolver el problema:
 
\vec{z}=2\cdot (1,2)+3\cdot (3,-1)=(2,4)+(9,-3)=(11,1)

 

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Ejercicio 2

¿Se puede expresar el vector \vec{z}=(2,1) como combinación lineal de los vectores \vec{x}=(3,-2), \vec{z}=(1,4)?

 

Para averiguar si es posible expresar el vector \vec{z} como combinación lineal de los vectores \vec{x}, \vec{y} debemos encontrar escalares a, b tales que:
 
\vec{z}=a\cdot \vec{x}+b\cdot \vec{y}

 
Si sustituimos los valores de \vec{z},\ \vec{x}, \vec{y} tenemos:
 
(2,1)=a\cdot (3,-2)+b\codt (1,4)

 
Podemos notar que esto es equivalente a resolver el sistema de ecuaciones;
 
\begin{matrix} 2= &a\cdot 3 +b\cdot 1\\  1= & a\cdot (-2) +b\cdot 4 \end{matrix}

 
Para resolver esto tomamos la primera ecuación y despejamos para b, por lo que obtenemos:
 
2-a\cdot 3=b

 
Ahora sustituimos el valor de b en la segunda ecuación para obtener:
 
1=a\cdot (-2) +(2-a\cdot 3)\cdot 4 \Rightarrow 1=-2a+8-12a \Rightarrow 7=14a

 
\Rightarrow a=\frac{1}{2}

 
Por lo que se sigue que: b=\frac{1}{2}.
 
ya que encontramos pudimos encontrar escalares a, b tales que:
 
\vec{z}=a\cdot \vec{x}+b\cdot \vec{y}

 
Entonces concluimos que el vector \vec{z} se puede expresar como combinación lineal de los vectores \vec{x}, \vec{y}.
 

Ejercicio 3

¿Qué pares de los siguientes vectores forman una base para el plano xy?
 

\vec{u}=(2,-3) \hspace{1cm} \vec{v}=(5,1) \hspace{1cm} \vec{w}=(-4,6)

 

Dado que estamos buscando una base para el plano xy, sabemos que dos vectores forman una base si no son linealmente dependientes, y a su vez tenemos que dos vectores son linealmente dependientes si uno es un múltiplo escalar del otro.
 
Es decir basta con ver si en un par de vectores ninguno de ellos es múltiplo de otro para que sean una base.
 
Ahora dados dos vectores \vec{x}=(x_1,y_1), \ \vec{y}=(x_2,y_2) decimos que uno es múltiplo del otro si \frac{x_2}{x_1}=\frac{y_2}{y_1}
 
Empezamos por tomar los vectores \vec{u}=(2,-3) y \vec{v}=(5,1), notamos que:
 
\frac{5}{2}\neq\frac{1}{-3}

 
Por lo que \vec{u}=(2,-3) y \vec{v}=(5,1) forman una base para el plano.
 
Tomamos ahora los vectores \vec{u}=(2,-3) y \vec{w}=(-4,6) y notamos que:
 
\frac{-4}{2}=-2=\frac{6}{-3}

 
Por lo que \vec{u}=(2,-3) y \vec{w}=(-4,6) no forman una base para el plano.
 
Por ultimo tomamos los vectores \vec{v}=(5,1) y \vec{w}=(-4,6), y notamos que:
 
\frac{-4}{5}\neq\frac{6}{1}

 
Por lo que \vec{v}=(5,1) y \vec{w}=(-4,6) forman una base para el plano.
 

Ejercicio 4

Hallar un vector unitario \vec{u} de la misma dirección del vector \vec{v}=8\vec{i}-6\vec{j}

 

La formula para encontrar un vector unitario \vec{u} de la misma dirección de un vector \vec{v} está dada por:
 
\vec{u}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}

 
Donde |\vec{v}| representa la norma del vector \vec{v}.
 
Por lo que sustituyendo los valores que nos han dado tenemos que:
 
\vec{u}=\frac{8\vec{i}-6\vec{j}}{||8\vec{i}-6\vec{j}||}=\frac{8\vec{i}-6\vec{j}}{\sqrt{8^2+6^2}}=\frac{8\vec{i}-6\vec{j}}{\sqrt{100}}

 
\Rightarrow \vec{u}=\frac{8\vec{i}-6\vec{j}}{10}\Rightarrow \vec{u}=\frac{4}{5}\vec{i}-\frac{3}{5}\vec{j}

 

Ejercicio 5

Suponiendo que respecto de la base ortonormal \{\vec{u},\vec{v}\} del plano los vectores \vec{a},\ \vec{b} tienen como expresiones:
 

\vec{a}=-2\vec{uu}+k\vec{v} \hspace{1cm} \vec{b}=5\vec{u}-3\vec{v}

 
calcular el valor de k sabiendo que \vec{a}\cdot\vec{b}=-6

Sustituyendo los respectivos valores de vec{a},\ vec{b} en la expresión \vec{a}cdot\vec{b}=-6 y desarrollando obtenemos lo siguiente:
 
\vec{a}\cdot\vec{b}=(-2\vec{u}+k\vec{v})\cdot(5\vec{u}-3\vec{v})=(-2)(5)+(k)(-3)

 
=-10-3k=-6

 
Por lo que despejando k de esta última expresión tenemos que:
 
-10-3k=-6 \Rightarrow 3k=-4 \Rightarrow k=-\frac{4}{3}

 

Ejercicio 6

Dados los vectores \vec{u}=(2,k) y \vec{v}=(3,-2), calcula k para que los vectores \vec{u} y \vec{v} sean:
 

 
1 Perpendiculares.
 

Si queremos que los vectores sean perpendiculares entonces debemos elegir un valor de k tal que:
 
\vec{u}\cdot\vec{v}=0

 
Si sustituimos los valores de ambos vectores en esta última ecuación y luego la desarrollamos, obtenemos:
 
\vec{u}\cdot\vec{v}=(2,k)\cdot(3,-2)=(2)(3)+(k)(-2)

 
=6-2k=0

 
Por lo que despejando k en esta última expresión tenemos:
 
6-2k=0 \Rightarrow 6=2k \Rightarrow k=3

 
 

 

 
2 Paralelos.
 

Pedir que dos vectores sean paralelos es equivalente a pedir que uno de los vectores sea un múltiplo escalar del otro, por lo que debemos elegir un valor de k tal que:
 
\frac{2}{3}=-\frac{k}{2}

 
El cual podemos obtener fácilmente despejando k de esta última expresión, si lo hacemos obtenemos:
 
-\frac{k}{2}=\frac{2}{3}\Rightarrow k=-\frac{4}{3}

 

 

 

 
3 Formen un ánguulo de 60^{o}.
 

El ángulo que forman dos vectores \vec{u}=(u_1, u_2) y \vec{v}=(v_1, v_2) viene dado por la expresión:
 
\cos(\alpha)=\cfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}

 
Donde |\vec{u}| representa la norma del vector u (similar para \vec{v}), y \alpha es el ángulo entre los vectores.
 
Entonces si buscamos que el ángulo entre los vectores sea \alpha=60^{o} significa que:
 
\cos(60^{o})=\frac{1}{2}=\cfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}

 
Por ende sustituyendo el valor de \vec{u} y \vec{v} en esta última expresión tenemos:
 
\frac{1}{2}=\cfrac{(2,k)\cdot(3,-2)}{|(2,k)|\cdot|(3,-2)|}=\frac{6-2k}{(\sqrt{k^2+4})\cdot(\sqrt{13})}

 
=\frac{6-2k}{\sqrt{13k^2+52}}=\frac{1}{2}

 
\Rightarrow 6-2k=\frac{1}{2}(\sqrt{13k^2+52}) \Rightarrow 12-4k=\sqrt{13k^2+52}

 
\Rightarrow (12-4k)^2=(\sqrt{13k^2+52})^2 \Rightarrow 16k^2-96k+144=13k^2+52

 
\Rightarrow 3k^2-96k+92=0

 
Ahora solo nos falta usar la formula general de segundo grado para encontrar las soluciones de la última expresión, las cuales son:
 
k_1=31.01 \hspace{1cm} k_2=0.98

 

Ejercicio 7

Hallar 7 si el ángulo que forma \vec{u}=(3,k) con \vec{v}=(2,-1) es:

 
1 90^{o}.
 

Si el ángulo entre los vectores es de 90^{o} entonces los vectores son perpendiculares por lo que el valor de k de ser tal que:
 
\vec{u}\cdot\vec{v}=0

 
Si sustituimos los valores de ambos vectores en esta última ecuación y luego la desarrollamos, obtenemos:
 
\vec{u}\cdot\vec{v}=(3,k)\cdot(2,-1)=(3)(2)+(k)(-1)

 
=6-k=0

 
Por lo que despejando k en esta última expresión tenemos:
 
6-k=0 \Rightarrow k=6

 
 

 

 
20^{o}.
 

Si el ángulo entre dos vectores es 0^{o} significa que los vectores son paralelos, lo cual es equivalente a pedir que uno de los vectores sea un múltiplo escalar del otro, por lo que debemos encontrar un valor de k tal que:
 
\frac{3}{2}=-\frac{k}{1}

 
El cual podemos obtener fácilmente despejando k de esta última expresión, si lo hacemos obtenemos:
 
k=-\frac{3}{2}

 

 

 

 
3 Formen un ánguulo de 45^{o}.
 

El ángulo que forman dos vectores \vec{u}=(u_1, u_2) y \vec{v}=(v_1, v_2) viene dado por la expresión:
 
\cos(\alpha)=\cfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}

 
Donde |\vec{u}| representa la norma del vector u (similar para \vec{v}), y \alpha es el ángulo entre los vectores.
 
Entonces si buscamos que el ángulo entre los vectores sea \alpha=45^{o} significa que:
 
\cos(45^{o})=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}

 
Por ende sustituyendo el valor de \vec{u} y \vec{v} en esta última expresión tenemos:
 
\frac{\sqrt{2}}{2}=\cfrac{(3,k)\cdot(2,-1)}{|(3,k)|\cdot|(2,-1)|}=\frac{6-k}{(\sqrt{k^2+9})\cdot(\sqrt{5})}

 
=\frac{6-k}{\sqrt{5k^2+45}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

 
\Rightarrow 6-2k=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{5k^2+45}) \Rightarrow 12-2k=\big(\sqrt{2}\big)\big(\sqrt{5k^2+45}\big)

 
\Rightarrow 12-2k=\sqrt{10k^2+90} \Rightarrow (12-2k)^2=\big(\sqrt{10k^2+90}\big)^2

 
\Rightarrow 4k^2-48k+144=10k^2+90 \Rightarrow -6k^2-48k+54=0

 
Ahora solo nos falta usar la formula general de segundo grado para encontrar las soluciones de la última expresión, las cuales son:
 
k_1=-9 \hspace{1cm} k_2=1

 

Ejercicio 8

Suponiendo que respecto a la base ortonormal \{\vec{u},\ \vec{v}\} del plano los vectores \vec{a} y \vec{b} tienen como expresiones:
 

\vec{a}=-3\vec{u}+k\vec{v} \hspace{1cm} \vec{b}=\vec{u}-5\vec{v}

 
Calcular el valor de k para que los dos vectores sean ortogonales.

 

Si dos vectores \vec{a} y \vec{b} son ortogonales entonces se cumple: \vec{a}\cdot\vec{b}=0.
 
Entonces debemos buscar un valor de k tal que esto ocurra, para encontrarlo sustituimos los valores de los vectores desarrollamos esa expresión.
 
\vec{a}\cdot\vec{b}=(-3\vec{u}+k\vec{v})\cdot(\vec{u}-5\vec{v})=-3-5k=0

 
\Rightarrow -3=5k \Rightarrow k=-\frac{3}{5}

 

Ejercicio 9

Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0)\ B(3,5),\ C(-1-1)
 

Triangulo formado por los vertices A,B y C.

 

El ángulo que forman dos vectores \vec{u}=(u_1, u_2) y \vec{v}=(v_1, v_2) viene dado por la expresión:
 
\cos(\alpha)=\cfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}

 
Donde |\vec{u}| representa la norma del vector u (similar para \vec{v}), y \alpha es el ángulo entre los vectores.
 
En este caso podemos tomar como vectores los segmentos que conectan los puntos del triángulo de la siguiente manera:
 
\overrightarrow{AB}=\overline{AB}=B-A=(3,5)-(6,0)=(-3,5)

 
\overrightarrow{AC}=\overline{AC}=C-A=(-1,-1)-(6,0)=(-7,-1)

 
\overrightarrow{BC}=\overline{BC}=C-B=(-1,-1)-(3,5)=(-4,-6)

 
Primero vamos a encontrar el ángulo a que se encuentra entre los vectores \overrightarrow{AB} y \overrightarrow{AC} con la fórmula mencionada al inicio, por lo que hacemos:
 
\cos(a)=\cfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|}=\cfrac{(-3,5)\cdot(-7,-1)}{|(-3,5)|\cdot|(-7,-1)|}

 
=\cfrac{16}{\sqrt{34}\cdot\sqrt{50}}=\cfrac{16}{10\sqrt{17}}=\cfrac{8}{5\sqrt{17}}

 
\Rightarrow \cos(a)=\cfrac{8}{5\sqrt{17}} \Rightarrow a=\arccos\bigg(\cfrac{8}{5\sqrt{17}}\bigg)

 
a=67.17^{o}

 
Ahora vamos a encontrar el ángulo b que se encuentra entre los vectores \overrightarrow{AB} y \overrightarrow{BC} con la fórmula mencionada al inicio, por lo que hacemos:
 
\cos(b)=\cfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{BC}|}=\cfrac{(-3,5)\cdot(-4,-6)}{|(-3,5)|\cdot|(-4,-6)|}

 
=-\cfrac{18}{\sqrt{34}\cdot\sqrt{52}}=-\cfrac{18}{2\sqrt{442}}=-\cfrac{9}{\sqrt{442}}

 
Dado que \cos(x) es una función par entonces \cos(x)=\cos(-x), por lo que usando esto tenemos que:
 
\Rightarrow \cos(b)=\cfrac{9}{\sqrt{442}} \Rightarrow b=\arccos\bigg(\cfrac{9}{\sqrt{442}}\bigg)

 
b=64.65^{o}

 
Para encontrar el valor del último ángulo c podemos usar el mismo proceso que usamos para los anteriores, pero usaremos el hecho de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180^{o}, por lo que tenemos que:
 
180^{o}=a+b+c \Rightarrow c=180^{o}-a-b \Rightarrow c=180^{o}-67.17^{o}-64.65^{o}

 
\Rightarrow c=48.18^{o}

 

Ejercicio 10

Calcula la proyección del vector \vec{u}=2\vec{i}-5\vec{j} sobre el vector \vec{v}=5\vec{i}+\vec{j}.

 

La proyección del vector \vec{u} sobre el vector \vec{v} está dada por la fórmula:
 
proy_{v}u=\cfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|^2}\vec{v}

 
donde |\vec{v}| es la norma del vector \vec{v}.
 
Entonces sustituyendo los valores de los vectores \vec{u} y \vec{v} en esta fomula tenemos:
 
proy_{v}u=\cfrac{(2\vec{i}-5\vec{j})\cdot(5\vec{i}+\vec{j})}{|5\vec{i}+\vec{j}|^2}\ (5\vec{i}+\vec{j})=\cfrac{5}{(\sqrt{26})^2}\ (5\vec{i}+\vec{j})

 
\Rightarrow proy_{v}u=\cfrac{25}{26}\ \vec{i}+\cfrac{5}{26}\ \vec{j}

 

Ejercicio 11

Calcula la proyección del vector \overrightarrow{AB} sobre él vector \overrightarrow{AC}, siendo A(6,0),\ B(3,5),\ C(−1,−1).

 

Primero vamos a calcular los componentes de los vectores \overrightarrow{AB} y \overrightarrow{ABC} los cuales son:
 
\overrightarrow{AB}=B-A=(3,5)-(6,0)=(-3,5)

 
\overrightarrow{AC}=C-A=(-1,-1)-(6,0)=(-7,-1)

 
Ahora la proyección de un vector \vec{u} sobre el vector \vec{v} está dada por la fórmula:
 
proy_{v}u=\cfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|^2}\vec{v}

 
Por lo que si sustituimos los valores de los vectores del problema tenemos:
 
proy_{AC}AB=\cfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|^2}\ \overrightarrow{AC}=\cfrac{(-3,5)\cdot(-7,-1)}{|(-7,-1)|^2}\ (-7,-1)

 
=\cfrac{16}{|5\sqrt{2}|^2}\ (-7,-1)=\cfrac{16}{50}\ (-7,-1)

 
\Rightarrow proy_{AC}AB=\Big(-\cfrac{56}{25},\ -\cfrac{8}{25}\Big)

 

Ejercicio 12

Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados \overline{AB} y \overline{AC} del triángulo: A(3,5),\ B(-2,0),\ C(0,-3), es paralelo al lado BC e igual a su mitad.
 
Triangulo formado por los vertices A,B,C.

 

Lo primero que tenemos que hacer es encontrar el punto medio de los lados \overline{AB} y \overline{AC}, el cual lo podemos calcular con la siguiente fórmula:
 
M=\Big(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\Big)
 
Por lo que el punto medio del lado \overline{AB} es:
 
M\big(\frac{1}{2},\frac{5}{2}\big)

 
y en cuanto al punto medio del lado \overline{AC} es:
 
N\big(\frac{3}{2},1\big)

 
Por lo que el segmento que une los puntos medios de estos lados es \overrightarrow{MN}=\big(1,-\frac{3}{2}\big)
 
Ahora el segmento \overrightarrow{MN} es paralelo al lado \overrightarrow{BC}=(2,-3) si sus componentes son proporcionales (uno de ellos es múltiplo del otro).
 
Dados dos vectores \vec{x}=(x_1,y_1), \ \vec{y}=(x_2,y_2) decimos que uno es múltiplo del otro si \frac{x_2}{x_1}=\frac{y_2}{y_1}
 
Entonces si usamos esto último podemos averiguar si los vectores \overrightarrow{MN}, \overrightarrow{BC} son paralelos, por lo que sustituimos sus componetes en esta expresión y tenemos:
 
\frac{BC_y}{MN_y}=\frac{-3}{(-3/2)}=\frac{(-3)(2)}{(-3)}=\frac{2}{1}=\frac{BC_x}{MN_x}

 
Por lo que efectivamente el segmento \overrightarrow{MN} es paralelo al lado \overrightarrow{BC}.

Ejercicio 13

Si \{\vec{u},\vec{v} \} forma una base ortonormal, calcular:
 
1\vec{u}\cdot\vec{u}.
 
2\vec{u}\cdot\vec{v}.
 
3\vec{v}\cdot\vec{u}.
 
4\vec{v}\cdot\vec{v}.
 

Debido a que los vectores \vec{u},\ \vec{v} forman una base ortonormal significa que la norma de cada uno de ellos es igual a 1.
 
|\vec{u}|=|\vec{v}|=1

 
Ahora sabemos que el ángulo \alpha entre dos vectores \vec{u},\ \vec{v} esta dado por:
 
\cos(\alpha)=\cfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}

 
Por lo que podemos reescribir esta expresión de la siguiente forma:
 
\big(|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\big)\cos(\alpha)=\vec{u}\cdot\vec{v}

 
Entonces usando esta última expresión tenemos:
 
1\vec{u}\cdot\vec{u}
 
Dado que estamos calculando el producto punto entre dos vectores iguales, entonces el ángulo entre ellos es \alpha=0^{o} y su norma es 1 por ser vectores pertenecientes a la base ortonormal, por lo que tenemos que:
 
\big(|\vec{u}|\cdot|\vec{u}|\big)\cos(0^{o})=\vec{u}\cdot\vec{u}

 
\Rightarrow \cos(0^{o})=\vec{u}\cdot\vec{u} \Rightarrow \vec{u}\cdot\vec{u}=1

 
2\vec{u}\cdot\vec{v}
 
Dado que estamos calculando el producto punto entre dos vectores pertenecientes a la base ortonormal, esto indica que el ángulo entre los dos es \alpha=90^{o} y su norma es 1, por lo que tenemos que:
 
\big(|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\big)\cos(90^{o})=\vec{u}\cdot\vec{v}

 
\Rightarrow \cos(90^{o})=\vec{u}\cdot\vec{v} \Rightarrow \vec{u}\cdot\vec{u}=0

 
3\vec{v}\cdot\vec{u}
 
Dado que estamos calculando el producto punto entre dos vectores pertenecientes a la base ortonormal, esto indica que el ángulo entre los dos es \alpha=90^{o} y su norma es 1, por lo que tenemos que:
 
\big(|\vec{v}|\cdot|\vec{u}|\big)\cos(90^{o})=\vec{v}\cdot\vec{u}

 
\Rightarrow \cos(90^{o})=\vec{v}\cdot\vec{u} \Rightarrow \vec{v}\cdot\vec{u}=0

 
4\vec{v}\cdot\vec{v}
 
Dado que estamos calculando el producto punto entre dos vectores iguales, entonces el ángulo entre ellos es \alpha=0^{o} y su norma es 1 por ser vectores pertenecientes a la base ortonormal, por lo que tenemos que:
 
\big(|\vec{v}|\cdot|\vec{v}|\big)\cos(0^{o})=\vec{v}\cdot\vec{v}

 
\Rightarrow \cos(0^{o})=\vec{v}\cdot\vec{v} \Rightarrow \vec{v}\cdot\vec{v}=1

 
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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗