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Suma de vectores
Propiedades de la suma de vectores
Producto de un número real por un vector
Propiedades del producto de un número por un vector

Suma de vectores

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

${\vec{u} = (u_1,u_2,u_3) \quad \vec{v}=(v_1,v_2,v_3)}$

${\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, u_3 + v_3)}$

Ejemplos

1 Dados ${\vec{u} = (2,1,3), \vec{v} = (1,-1,0), \vec{w} = (1,2,3)}$ , hallar el vector ${\vec{x} = 2u+3v-w.}$

Comenzamos por sustituir el valor de cada vector y sumar o restar sus respectivas componentes.

${\vec{x} = 2u+3v-w = 2(2,1,3) + 3(1,-1,0) - (1,2,3)}$

${= (4,2,6) + (3,-3,0) - (1,2,3) = (6,-3,3)}$

2 Dados los vectores ${\vec{u} = (2,4,5)}$ y ${\vec{v} = (-1,3,3)}$ , hallar el módulo del vector ${\vec{u} - \vec{v}}$ .

Comenzamos por encontrar el valor de la resta de vectores, para luego sustituirlo en el módulo.

${\vec{u} - \vec{v} = (2,4,5) - (3,1,2) = (-1,3,3)}$

${|\vec{u} - \vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 +3^2 + 3^2}= \sqrt{1+9+9} = \sqrt{19}}$

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Propiedades de la suma de vectores

1 Asociativa

${\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}}$

2 Conmutativa

${\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}}$

3 Elemento neutro

${\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}}$

4Elemento opuesto

${\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}}$

Producto de un número real por un vector

El producto de un número real ${k \in \mathbb{R}}$ por un vector ${\vec{u}}$ es otro vector:

De igual dirección que el vector ${\vec{u}}$ .

Del mismo sentido que el vector ${\vec{u}}$ si ${k}$ es positivo.

De sentido contrario del vector ${\vec{u}}$ si ${k}$ es negativo.

De módulo ${|k|\cdot|\vec{u}|}$

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por ${k}$ las componentes del vector.

${k\cdot \vec{u}= k(u_1, u_2, u_3) = (ku_1,ku_2,ku_3)}$

Propiedades del producto de un número por un vector

1 Asociativa

${k\cdot (k\cdot \vec{u}) = (k\cdot k') \cdot \vec{u}}$

2 Distributiva respecto a la suma de vectores

${k\cdot (\vec{u} + \vec{v}) = k\cdot \vec{u} + k\cdot \vec{v}}$

3 Distributiva respecto a los escalares

${(k + k') \cdot \vec{u} = k\cdot \vec{u} + k'\cdot \vec{u}}$

4 Elemento neutro

${1\cdot \vec{u} = \vec{u}}$

Ejemplo:

Dado ${\vec{v} = (6,2,0)}$ determinar ${\vec{u}}$ de modo que sea ${3\vec{u} = \vec{v}}$ .

Comenzamos por sustituir el valor del vector ${\vec{v}}$ y luego realizamos las operaciones correspondientes.

${\vec{u} = \frac{1}{3}\vec{v} = \frac{1}{3}(6,2,0) = (\frac{6}{3},\frac{2}{3}, \frac{0}{3}) = (2, \frac{2}{3}, 0)}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Emily arias

Agosto 2021

1 vectores
U=(3,2)
V=(5,2)
2 REALICE DE FORMA ANALÍTICA Y GEOMETRICAMENTE LAS SIGUIENTES OPERACIONES CON VECTORES:
U+V=
U-V =
3.U=

Veronica

Noviembre 2020

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