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Definición de las componentes de un vector
Consideremos los puntos 
y 
y el vector 
que va del punto 
al punto 
como se muestra en la siguiente figura:
Definimos las componentes del vector como las coordenadas del punto extremo menos las coordenadas del punto origen 
, es decir,
Algunas veces, los vectores se suelen escribir de la forma
donde 
es la primera componente y 
es la segunda componente. Por lo tanto,
A 
y 
se les conoce como vectores canónicos. Esta es sólo otra manera de escribir un vector.
En general, los componentes de un vector también de pueden llamar coordenadas. Sin embargo, esto no es lo más apropiado en este contexto. El motivo es que las coordenadas son números que nos permiten encontrar algún objeto en el plano o espacio, y los componentes del vector no nos ayudan a localizarlo en el plano.
Aplicación en colinealidad de puntos
Consideremos tres puntos , y 
. Entonces podemos utilizar vectores para determinar si estos puntos son colineales (es decir, se encuentran los tres sobre una misma línea). También se dice que los puntos , y 
están alineados.
Recordemos que dos vectores son paralelos si uno es el múltiplo escalar de otro. Es decir 
. Por lo tanto, , y serán colineales si
Es decir,
que sustituyendo sus componentes, tenemos
Es decir,
Luego, si despejamos 
en ambas ecuaciones, tenemos,
Por lo tanto, tres puntos serán colineales si se satisface
Ejercicios propuestos
Calcula los componentes del vector , cuyos extremos son los puntos 
Simplemente aplicamos la fórmula que se nos dió al principio:
Un vector tiene componentes 
. Encuentra las coordenadas de si se sabe que 
En este caso consideramos unos componentes arbitrarios para , es decir, . Entonces, al utilizar la fórmula obtenemos
Por lo tanto, los componentes deben ser igual, es decir,
Al despejar 
y 
, obtenemos
Por lo tanto, 
.
Considera los puntos 
, 
y 
. ¿Se encuentran alineados?
Para saber si los puntos están alineados, simplemente verificamos que se cumpla la relación que probamos anteriormente. Primero revisamos la proporción en los componentes 
:
y después revisamos la proporción en los componentes 
:
Por lo tanto, como las dos proporciones son iguales, concluímos que los puntos sí están alineados.
Considera los puntos , 
y . ¿Se encuentran alineados?
De forma similar al ejercicio anterior, para saber si los puntos están alineados, verificaremos que se cumpla la relación que probamos anteriormente. Primero revisamos la proporción en los componentes :
Luego, revisamos la proporción en los componentes :
En este caso las proporciones no son iguales, por lo tanto, puntos no son colineales.
Encuentra el valor de para que los puntos 
, 
y 
estén alineados
Si los puntos están alineados, entonces tenemos que se cumple
El lado izquierdo de esta igualdad nos da
Por lo tanto, al multiplicar por 
la igualdad, obtenemos
Es decir, 
.
Dados los puntos 
y 
, encuentra un punto que esté alineado a y . Además, el vector 
debe ser 
veces más largo que 
, es decir, 
Notemos que, por el hecho de tener que
entonces los puntos serán colineales. Denotemos al punto como 
, entonces
Así, se debe cumplir
de aquí se obtienen las siguientes ecuaciones:
Al resolverlas, obtenemos 
y 
. Por lo tanto, el punto es
Ejercicios de punto medio de dos puntos y baricentros
Recordemos que dados dos puntos y , el punto medio de estos dos puntos se calcula mediante:
En la siguiente figura se puede apreciar el punto medio de y :
Además, se dice que el punto 
es simétrico de respecto a 
si es el punto medio del segmento 
.
En general, si queremos encontrar un punto que divida el segmento de recta de forma que cumpla una razón
entonces utilizamos
Similarmente, dado un triángulo con vértices , y , entonces las coordenadas del baricentro son
El baricentro de un triángulo se observa en la siguiente figura:
Calcula las coordenadas del punto medio del segmento 
, donde 
y 
Para este caso, sólo utilizamos la fórmula del punto medio:
Calcula:
a el punto simétrico de 
respecto al punto 
,
b el punto simétrico a 
respecto de 
.
a Denotemos al punto simétrico de como . Entonces es el punto medio del segmento 
. Por tanto, si tiene coordenadas 
, entonces se calcula utilizando
Pero, además, se tiene que . Por lo tanto,
Si multiplicamos por 2 ambas ecuaciones, obtenemos
Por lo tanto, al despejar tenemos 
y 
. Es decir, el punto simétrico es 
.
b De forma similar, denotaremos al punto simétrico como . Así, se calcula utilizando
Pero, además, se tiene que . Por lo tanto,
Si multiplicamos por 2 ambas ecuaciones, obtenemos
Por lo tanto, al despejar tenemos 
y 
. Es decir, el punto simétrico es 
.
Encuentra las coordenadas del baricentro para:
a un triángulo con vértices en 
, 
y 
,
b el triángulo con vértices 
, 
y 
.
En este ejercicio sólo debemos utilizar la fórmula del baricéntro de un triángulo. Así:
a Para el primer inciso tenemos
b Mientras que para el segundo inciso tenemos
Calcula los puntos 
y 
que dividen al segmento , cuyos extremos son 
y 
, en tres partes iguales
Notemos que debemos encontrar dos puntos 
y 
tales que
1 Para encontrar el primer punto, notemos que la razón es
ya que el segmento del denominador mide el doble. Así, utilizamos la fórmula:
2 Similarmente, para encontrar el segundo punto ahora la razón es
ya que, en este caso, el segmento del numerador mide el doble. Así, utilizamos la fórmula:
Por lo tanto, los puntos son 
y 
.
Encuentra las coordenadas del punto , sabiendo que 
es el punto medio de 
y que 
Denotemos las coordenadas del punto como . Entonces, se calcula utilizando
Además, tenemos que . Por tanto, tenemos las ecuaciones
Si multiplicamos por 2 las ecuaciones, tenemos
Por lo tanto, al despejarlas, obtenemos que 
y 
. Así, el punto es
Considera el segmento con extremos 
y 
. Encuentra las coordenadas del punto que divide al semento en dos segmentos tales que es la mitad de 
Como es la mitad de , entonces tenemos
Por tanto, sólo utilizamos la fórmula:
Así, el punto es 
.
Si el segmento con extremos 
y 
se divide en cuatro partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de división?
Buscaremos 3 puntos , y 
tales que
tal y como se muestra en la siguiente figura:
1 Para calcular , notemos que
ya que el segmento de a medirá la tercera parte del segmento que va de a . Así, utilizamos la fórmula para calcular :
2 Observemos que es el punto medio entre y , por lo que se calcula utilizando
3 Por último, para tenemos
ya que el segmento de a medirá tres veces la longitud del segmento que va de a . Así, utilizamos la fórmula para calcular :
Por lo tanto, lo puntos son
Considera un triángulo donde dos de sus vértices son y . Si el baricentro del triángulo es 
, ¿cuáles son las coordenadas del tercer vértice ?
Denotemos las coordenadas de como . Entonces el baricentro se calcula utilizando
Pero también tenemos que , por lo que
Multiplicando por 3, obtenemos
De aquí se sigue que y 
. Por lo tanto, el vértice es
Dados los puntos y , encuentra un punto que esté alineado con y , y que cumpla con la relación 
La fórmula que tenemos para puntos medios o puntos que parten un segmento en una razón dada siempre se utiliza con puntos colineales. Por lo tanto, utilizaremos esa fórmula.
Asimismo, veamos que ya se nos proporcionó la razón 
, por lo que procedemos a utilizar la fórmula:
Es decir, el punto es
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Suma de vectores f1=450n,30. 1FR=f1+f6
como sacar el residuo de una multiplicación
Hallar las coordenadas de punto medio del segmento que une (4,7);(14,12)
Hola, podrias mencionar que tipo de multiplicación (normal, de vectores etc.).
si se aplica una traslación al punto E(0;2) se obtiene el punto E'(-1;-5),indicar el vector de translación
Traslaciones Juan es un diseñador gráfico y de acuerdo con las exigencias de uno de sus clientes debe reorganizar los elementos de uno de los avisos publicitarios observemos en la ilustración los cambios y desplazamientos que realizo.
En la ilustración el barco se trasladó dos unidades hacia arriba.
Una traslación es el desplazamiento de una figura sobre un plano sin girarla en ninguna dirección para indicar una traslación usamos una flecha que muestra el sentido hacia donde se hace el movimiento:
Derecha , izquierda, arriba, abajo, occidente, Oriente, Norte o sur) y la magnitud (número de unidades que se mueve la figura).
En el aviso publicitario,? Cuál de los siguientes desplazamientos se realizó con el logo del pez? Márcalo con x
Vectores 400n+horizontal y a la izquierda