Definición de las componentes de un vector

 

Consideremos los puntos A(x_1, y_1) y B(x_2, y_2) y el vector \overrightarrow{AB} que va del punto A al punto B como se muestra en la siguiente figura:

 

vector de A a B

 

Definimos las componentes del vector \overrightarrow{AB} como las coordenadas del punto extremo B menos las coordenadas del punto origen \overrightarrow{A}, es decir,

 

\displaystyle \overrightarrow{AB} = \left(x_2 - x_1, y_2 - y_1 \right)

 

Algunas veces, los vectores se suelen escribir de la forma

 

\displaystyle \overrightarrow{v} = a\hat{i} + b\hat{j}

 

donde a es la primera componente y b es la segunda componente. Por lo tanto,

 

\displaystyle a = x_2 - x_1, \qquad b = y_2 - y_1

 

A \hat{i} y \hat{j} se les conoce como vectores canónicos. Esta es sólo otra manera de escribir un vector.

 

En general, los componentes de un vector también de pueden llamar coordenadas. Sin embargo, esto no es lo más apropiado en este contexto. El motivo es que las coordenadas son números que nos permiten encontrar algún objeto en el plano o espacio, y los componentes del vector no nos ayudan a localizarlo en el plano.

 

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Aplicación en colinealidad de puntos

 

Consideremos tres puntos A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) y C(x_3, y_3). Entonces podemos utilizar vectores para determinar si estos puntos son colineales (es decir, se encuentran los tres sobre una misma línea). También se dice que los puntos A, B y C están alineados.

 

Recordemos que dos vectores son paralelos si uno es el múltiplo escalar de otro. Es decir \overrightarrow{v} = \alpha \overrightarrow{u}. Por lo tanto, A, B y C serán colineales si

 

\displaystyle \overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{AC}

 

Es decir,

 

\displaystyle \overrightarrow{AB} = \alpha \overrightarrow{AC}

 

que sustituyendo sus componentes, tenemos

 

\displaystyle (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = \alpha (x_3 - x_1, y_3 - y_1) = \left( \alpha(x_3 - x_1), \alpha(y_3 - y_1) \right)

 

Es decir,

 

\displaystyle x_2 - x_1 = \alpha (x_3 - x_1) \qquad y_2 - y_1 = \alpha (y_3 - y_1)

 

Luego, si despejamos \alpha en ambas ecuaciones, tenemos,

 

\displaystyle \frac{x_2 - x_1}{x_3 - x_1} = \alpha = \frac{y_2 - y_1}{y_3 - y_1}

 

Por lo tanto, tres puntos serán colineales si se satisface

 

\displaystyle \frac{x_2 - x_1}{x_3 - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{y_3 - y_1}

 

Ejercicios propuestos

 

1 Calcula los componentes del vector \overrightarrow{AB}, cuyos extremos son los puntos

 

\displaystyle A(2, 2), \qquad B(5, 7)

 

Simplemente aplicamos la fórmula que se nos dió al principio:

 

\displaystyle \overrightarrow{AB} = \left( 5 - 2, 7 - 2 \right) = (3, 5)

 

2 Un vector \overrightarrow{AB} tiene componentes (5, -2). Encuentra las coordenadas de A si se sabe que B(12, -3).

 

En este caso consideramos unos componentes arbitrarios para A, es decir, A(x_1, y_1). Entonces, al utilizar la fórmula obtenemos

 

\displaystyle \overrightarrow{AB} = (12 - x_1, -3 - y_1) = (5, -2)

 

Por lo tanto, los componentes deben ser igual, es decir,

 

\displaystyle 12 - x_1 = 5, \qquad -3 - y_1 = -2

 

Al despejar x_1 y x_2, obtenemos

 

\displaystyle x_1 = 7, \qquad y_1 = -1

 

Por lo tanto, A(7, -1).

 

3 Considera los puntos A(-2, -3), B(1, 0) y C(6, 5). ¿Se encuentran alineados?

 

Para saber si los puntos están alineados, simplemente verificamos que se cumpla la relación que probamos anteriormente. Primero revisamos la proporción en los componentes x:

 

\displaystyle \frac{1 - (-2)}{6 - (-2)} = \frac{3}{8}

 

y después revisamos la proporción en los componentes y:

 

\displaystyle \frac{0 - (-3)}{5 - (-3)} = \frac{3}{8}

 

Por lo tanto, como las dos proporciones son iguales, concluímos que los puntos están alineados.

 

4 Considera los puntos A(-2, -3), B(1, 4) y C(6, 5). ¿Se encuentran alineados?

 

De forma similar al ejercicio anterior, para saber si los puntos están alineados, verificaremos que se cumpla la relación que probamos anteriormente. Primero revisamos la proporción en los componentes x:

 

\displaystyle \frac{1 - (-2)}{6 - (-2)} = \frac{3}{8}

 

Luego, revisamos la proporción en los componentes y:

 

\displaystyle \frac{4 - (-3)}{5 - (-3)} = \frac{7}{8}

 

En este caso las proporciones no son iguales, por lo tanto, puntos no son colineales.

 

5 Encuentra el valor de a para que los puntos A(2, 1), B(4, 2) y C(6, a) estén alineados.

 

Si los puntos están alineados, entonces tenemos que se cumple

 

\displaystyle \frac{4 - 2}{6 - 2} = \frac{2 - 1}{a - 1}

 

El lado izquierdo de esta igualdad nos da

 

\displaystyle \frac{4 - 2}{6 - 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

 

Por lo tanto, al multiplicar por a - 1 la igualdad, obtenemos

 

\displaystyle (a - 1) \frac{1}{2} = 2 - 1 = 1 \quad \Longrightarrow \quad a - 1 = 2

 

Es decir, a = 3.

 

6 Dados los puntos A(3, 2) y B(5, 4), encuentra un punto C que esté alineado a A y B. Además, el vector \overrightarrow{CA} debe ser \tfrac{3}{2} veces más largo que \overrightarrow{CB}, es decir,

 

\displaystyle \overrightarrow{CA} = \frac{3}{2}\overrightarrow{CB}

 

Notemos que, por el hecho de tener que

 

\displaystyle \overrightarrow{CA} = \frac{3}{2}\overrightarrow{CB}

 

entonces los puntos serán colineales. Denotemos al punto C como C(x, y), entonces

 

\displaystyle \overrightarrow{CA} = (3 - x, 2 - y), \qquad \overrightarrow{CB} = (5 - x, 4 - y)

 

Así, se debe cumplir

 

\displaystyle (3 - x, 2 - y) = \frac{3}{2}(5 - x, 4 - y)

 

de aquí se obtienen las siguientes ecuaciones:

 

\displaystyle 3 - x = \frac{3}{2}(5 - x), \qquad 2 - y = \frac{3}{2}(4 - y)

 

Al resolverlas, obtenemos x = 9 y y = 8. Por lo tanto, el punto C es

 

\displaystyle C(9, 8)

 

Ejercicios de punto medio de dos puntos y baricentros

 

Recordemos que dados dos puntos A(x_1, y_1) y B(x_2, y_2), el punto medio de estos dos puntos se calcula mediante:

 

\displaystyle M\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)

 

En la siguiente figura se puede apreciar el punto medio de A y B:

 

punto medio de A y B

 

Además, se dice que el punto A' es simétrico de A respecto a M si M es el punto medio del segmento \overline{AA'}.

 

En general, si queremos encontrar un punto M que divida el segmento de recta de forma que cumpla una razón

 

\displaystyle \frac{\overline{AM}}{\overline{MB}} = r

 

entonces utilizamos

 

\displaystyle M \left(\frac{x_1 + rx_2}{1 + r}, \frac{y_1 + ry_2}{1 + r} \right)

 

Similarmente, dado un triángulo con vértices A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) y C(x_3, y_3), entonces las coordenadas del baricentro son

 

\displaystyle G\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)

 

El baricentro de un triángulo se observa en la siguiente figura:

 

el baricentro de un triángulo

 

7 Calcula las coordenadas del punto medio del segmento AB, donde A(7, 3) y B(-1, 5).

 

Para este caso, sólo utilizamos la fórmula del punto medio:

 

\displaystyle M\left( \frac{7 - 1}{2}, \frac{3 + 5}{2} \right) = M\left( 3, 4 \right)

 

8 Calcula:

 

a el punto simétrico de A(7, 4) respecto al punto M(3, -11),

 

b el punto simétrico a A(4, -2) respecto de M(2, 6).

 

a Denotemos al punto simétrico de A como B. Entonces M es el punto medio del segmento \overline{AB}. Por tanto, si B tiene coordenadas B(x, y), entonces M se calcula utilizando

 

\displaystyle M = M\left( \frac{7 + x}{2}, \frac{4 + y}{2} \right)

 

Pero, además, se tiene que M(3, -11). Por lo tanto,

 

\displaystyle \frac{7 + x}{2} = 3, \qquad \frac{4 + y}{2} = -11

 

Si multiplicamos por 2 ambas ecuaciones, obtenemos

 

\displaystyle 7 + x = 6, \qquad 4 + y = -22

 

Por lo tanto, al despejar tenemos x = -1 y y = -26. Es decir, el punto simétrico es B(-1, -26).

 

b De forma similar, denotaremos al punto simétrico como B(x, y). Así, M se calcula utilizando

 

\displaystyle M = \left( \frac{4 + x}{2}, \frac{-2 + y}{2} \right)

 

Pero, además, se tiene que M(2, 6). Por lo tanto,

 

\displaystyle \frac{4 + x}{2} = 2, \qquad \frac{-2 + y}{2} = 6

 

Si multiplicamos por 2 ambas ecuaciones, obtenemos

 

\displaystyle 4 + x = 4, \qquad -2 + y = 12

 

Por lo tanto, al despejar tenemos x = 0 y y = 14. Es decir, el punto simétrico es B(0, 14).

 

9 Encuentra las coordenadas del baricentro para:

 

a un triángulo con vértices en A(-3, -2), B(7, 1) y C(2, 7),

 

b el triángulo con vértices A(1, 2), B(-3, 4) y C(-1, 3).

 

En este ejercicio sólo debemos utilizar la fórmula del baricéntro de un triángulo. Así:

 

a Para el primer inciso tenemos

 

\displaystyle G\left( \frac{-3 + 7 + 2}{3}, \frac{-2 + 1 + 7}{3} \right) = G\left( 2, 2 \right)

 

b Mientras que para el segundo inciso tenemos

 

\displaystyle G\left( \frac{1 - 3 - 1}{3}, \frac{2 + 4 + 3}{3} \right) = G\left( -1, 3 \right)

 

10 Calcula los puntos P y Q que dividen al segmento \overline{AB}, cuyos extremos son A(-1, -3) y B(5, 6), en tres partes iguales.

 

Notemos que debemos encontrar dos puntos P_1 y P_2 tales que

 

\displaystyle \overline{AP_1} = \overline{P_1 P_2} = \overline{P_2 B}

 

1 Para encontrar el primer punto, notemos que la razón es

 

\displaystyle \frac{\overline{AP_1} }{ \overline{P_1 B} } = \frac{1}{2}

 

ya que el segmento del denominador mide el doble. Así, utilizamos la fórmula:

 

    \begin{align*} P_1 &= P_1\left( \frac{-1 + \tfrac{1}{2}5 }{1 + \tfrac{1}{2}}, \frac{-3 + \tfrac{1}{2}6 }{1 + \tfrac{1}{2}} \right)\\& = P_1\left( \frac{ \; \tfrac{3}{2} \; }{\tfrac{3}{2}}, \frac{\; 0 \;}{\tfrac{3}{2}} \right)\\& = P_1(1, 0)\end{align*}

 

2 Similarmente, para encontrar el segundo punto ahora la razón es

 

\displaystyle \frac{\overline{AP_2} }{ \overline{P_2 B} } = 2

 

ya que, en este caso, el segmento del numerador mide el doble. Así, utilizamos la fórmula:

 

    \begin{align*} P_2 &= P_2\left( \frac{-1 + 2\cdot 5 }{1 + 2}, \frac{-3 + 2 \cdot 6 }{1 + 2} \right)\\& = P_2\left( \frac{ 9 }{3}, \frac{9}{3} \right)\\& = P_2(3, 3)\end{align*}

 

Por lo tanto, los puntos son P_1(1, 0) y P_2(3, 3).

 

11 Encuentra las coordenadas del punto C, sabiendo que B(2, -2) es el punto medio de \overline{AC} y que A(-3, 1).

 

Denotemos las coordenadas del punto C como C(x, y). Entonces, B se calcula utilizando

 

\displaystyle B\left( \frac{-3 + x}{2}, \frac{1 + y}{2} \right)

 

Además, tenemos que B(2, -2). Por tanto, tenemos las ecuaciones

 

\displaystyle \frac{-3 + x}{2} = 2, \qquad \frac{1 + y}{2} = -2

 

Si multiplicamos por 2 las ecuaciones, tenemos

 

\displaystyle -3 + x = 4, \qquad 1 + y = -4

 

Por lo tanto, al despejarlas, obtenemos que x = 7 y y = -5. Así, el punto es

 

\displaystyle C(7, -5)

 

12 Considera el segmento \overline{AB} con extremos A(2, -1) y B(8, -4). Encuentra las coordenadas del punto C que divide al semento \overline{AB} en dos segmentos tales que \overline{AC} es la mitad de \overline{CB}.

 

Como \overline{AC} es la mitad de \overline{CB}, entonces tenemos

 

\displaystyle \frac{\overline{AC}}{\overline{CB}} = \frac{1}{2}

 

Por tanto, sólo utilizamos la fórmula:

 

    \begin{align*} C(x, y) & = C\left( \frac{2 + \tfrac{1}{2}8}{1 + \tfrac{1}{2}}, \frac{-1 + \tfrac{1}{2}(-4)}{1 + \tfrac{1}{2}} \right)\\& = C\left( \frac{ \; 6 \;}{\tfrac{3}{2}}, \frac{-3}{\tfrac{3}{2}} \right)\\& = C(4, -2)\end{align*}

 

Así, el punto es C(4, -2).

 

13 Si el segmento AB con extremos A(1, 3) y B(7, 5) se divide en cuatro partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de división?

 

Buscaremos 3 puntos P, Q y R tales que

 

\displaystyle \overline{AP} = \overline{PQ} = \overline{QR} = \overline{R B}

 

tal y como se muestra en la siguiente figura:

 

segmento dividido en cuatro partes iguales

 

1 Para calcular P, notemos que

 

\displaystyle \frac{\overline{AP}}{\overline{PB}} = \frac{1}{3}

 

ya que el segmento de A a P medirá la tercera parte del segmento que va de P a B. Así, utilizamos la fórmula para calcular P:

 

    \begin{align*} P & = P\left( \frac{1 + \tfrac{1}{3}7}{1 + \tfrac{1}{3}}, \frac{3 + \tfrac{1}{3}5}{1 + \tfrac{1}{3}} \right)\\& = P\left( \frac{ \; \tfrac{10}{3} \;}{\tfrac{4}{3}}, \frac{\; \tfrac{14}{3} \;}{\tfrac{4}{3}} \right)\\& = P\left( \frac{5}{2}, \frac{7}{2} \right)\end{align*}

 

2 Observemos que Q es el punto medio entre A y B, por lo que se calcula utilizando

 

    \begin{align*} Q & = Q\left( \frac{1 + 7}{2}, \frac{3 + 5}{2} \right)\\& = Q\left( 4, 4 \right)\end{align*}

 

3 Por último, para R tenemos

 

\displaystyle \frac{\overline{AR}}{\overline{RB}} = 3

 

ya que el segmento de A a R medirá tres veces la longitud del segmento que va de R a B. Así, utilizamos la fórmula para calcular R:

 

    \begin{align*} R & = R\left( \frac{1 + 3 \cdot 7}{1 + 3}, \frac{3 + 3 \cdot 5}{1 + 3} \right)\\& = R\left( \frac{ 22 }{4}, \frac{ 18 }{4} \right)\\& = R\left( \frac{11}{2}, \frac{9}{2} \right)\end{align*}

 

Por lo tanto, lo puntos son

 

\displaystyle P\left( \frac{5}{2}, \frac{7}{2} \right), \quad Q\left( 4, 4 \right), \quad R\left( \frac{11}{2}, \frac{9}{2} \right)

 

14 Considera un triángulo donde dos de sus vértices son A(2, 1) y B(1, 0). Si el baricentro del triángulo es G(2/3, 0), ¿cuáles son las coordenadas del tercer vértice C?

 

Denotemos las coordenadas de C como C(x, y). Entonces el baricentro se calcula utilizando

 

\displaystyle G\left( \frac{2 + 1 + x}{3}, \frac{1 + 0 + y}{3} \right) = G\left( \frac{3 + x}{3}, \frac{1 + y}{3} \right)

 

Pero también tenemos que G(2/3, 0), por lo que

 

\displaystyle \frac{3 + x}{3} = \frac{2}{3}, \qquad \frac{1 + y}{3} = 0

 

Multiplicando por 3, obtenemos

 

\displaystyle 3 + x = 2, \qquad 1 + y = 0

 

De aquí se sigue que x = -1 y y = -1. Por lo tanto, el vértice C es

 

\displaystyle C(-1, -1)

 

15 Dados los puntos A(3, 2) y B(5, 4), encuentra un punto C que esté alineado con A y B, y que cumpla con la relación

 

\displaystyle \frac{\overline{AC}}{\overline{CB}} = \frac{3}{2}

 

La fórmula que tenemos para puntos medios o puntos que parten un segmento en una razón dada siempre se utiliza con puntos colineales. Por lo tanto, utilizaremos esa fórmula.

 

Asimismo, veamos que ya se nos proporcionó la razón r, por lo que procedemos a utilizar la fórmula:

 

    \begin{align*} C(x, y) & = C\left( \frac{3 + \tfrac{3}{2} 5}{1 + \tfrac{3}{2}}, \frac{2 + \tfrac{3}{2} 4}{1 + \tfrac{3}{2}} \right)\\& = C\left( \frac{\;\; \frac{6 + 15}{2} \;\;}{\frac{2 + 3}{2}}, \frac{\;\; \frac{4 + 12}{2} \;\;}{\frac{2 + 3}{2}} \right)\\& = C\left( \frac{21}{5}, \frac{16}{5} \right)\\\end{align*}

 

Es decir, el punto C es

 

\displaystyle C\left( \frac{21}{5}, \frac{16}{5} \right)

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗